相交线、平行线解析.pdf

相交线、平行线考点解析纵观近几年来全国各地的中考试题，涉及本章内容的常见题型有：填空题、选择题、作图题、计算题、证明题.作为基础知识在综合题中也时有出现.主要考查的内容有直线的位置关系，平行线的判定和性质,角的计算等.由于几何的推理论证是训练逻辑思维能力的基本手段之一，因此本章内容显得十分重要.一、相交线、对顶角例 1、如 图（1）,激4与4 相交于点。，0 M 1,若 a=44。，贝 1 =（)4、56B、46C、45D、44解析本题考察相交线与垂线的概念。由对顶角相等，可将夕转化为其对顶角，/1所以a 与夕互余，所以4=56。，选 4.例 2、如图，直线A 8、C。相交于点。.OE平分4 4。,若NBOC=80。,则/A O E 的度数是（）A.40B.50C.80D.100解析本题主要考察对顶角的性质，由对顶角相等和角的平分线的概念知狗正确.二、平行线的性质与判定例 3、如图，直线a、被直线c 所截，若要a b,需增加条件（填一个即可）.解 析 本题是-道结论开放性试题，旨在考察平行线的判定方法。直 线 如 b 被直线c所截，要使ab成 立,可根据同位角、内错角、同旁内角的关系进行判定，故答案不唯一。例 4、如图，若 A B H C D,E 尸与A 3、C O 分别相交于点E、F,AE P与Z E F D的平分线相交于点P,且N E F D =60,E P F P,则 度.解析：本题综合考察相交线、平行线及角的平分线的性质.因为 A B/CD,所以/ETO+/FE8=180。.因为 Z.EFD=6 0 ,所以 ZFEB=1 80。-60=120%又因为 EP 平分 N E F O,所以/8 E P=LN8EF=60。.2例 5、如图，直线a,b 被直线c 所截，若 a 6,Nl=6 0 ,则 N2=0解析：由对顶角和平行线的性质得N2=60.三、图形的操作题例 6、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.将纸片展开,解析：把一个正方形按如图所示进行四次折叠，将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，展开,得到的图形是C 主要考察同学们的思维想像能力.例 7、如下图，将一副七巧板拼成一只小猫，则下图中乙4。8=.解析 由一副七巧板中的组成的图形是由等腰直角三角形、正方形和一个平行四边形组成的。拼成一只小猫的图案中的乙4。8=90。.四、规律探究例 8、下列每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案，当每条边(包括顶点)上有(2)个圆点时，图案的圆点数为S“.”=2,S2=4 =3,S?=8 ”=4,S4=1 2按此规律推断S关于的关系式为：.解析 通过观察前山图形中的圆点的排列规律，从边上的圆点之和是4的倍数。即 S=4 (-1)(n 2).例 9、搭建如图的单顶帐篷需要1 7 根钢管，这样的帐篷按图、图的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管。解析 搭建如图的单顶帐篷需要1 7 根钢管，搭建如图的单顶帐篷需要(1 7 6)根钢管，搭建如图的单顶帐篷需要(1 7-2 x 6),由此推出更一般结论：串 w顶这样的帐篷需要 1 7-5-1)6 根钢管。“5.1 2”地震发生后，抗震救灾，大量的灾民需要安置，来自全国四面八方的救灾帐篷源源不断的运往灾区.一顶帐篷约需1 0 0 0 元人民币。本题是根据钢管横截面的钢管长度，计算出帐篷的价值.平行线、相交线考点写真平行线、相交线知识是初中几何的基础，也是中考经常考查的知识点之一，题型多以选择题、填空题为主。本文以中考试题为例，对平行线、相交线的考点进行归纳整理，供大家学习时参考。一、平行线性质的直接应用例 1、如图，直线a/b,直线c 与 如 b 相交。若N 1=70。，则N2=。解析：本题是平行线性质的直接应用。因为直线a b,根据两直线平行，内错角相等，所以N2=N1=7O。二、平行线、相交线+对顶角例 2、如图，直线小4 被直线4 所截，且2,若/1=60，则/2 的度数为解析：由/J/，/1=60。这两个条件不能利用平行线的性质直接得出N 2的度数。我们不妨设N 2的对顶角为N 3,则/I、Z 3 是同位角，因为/J/4，根据两直线平行，同位角相等，得/3=/1=60。，再根据对顶角相等，所以N2=/3=60。三、平行线、相交线+垂直例 3、如图，直线/J/，ABLCD,Z l=34,则N 2的度数是解析：本题比较复杂，找到N l、N 2之间的关系是正确解决问题的关键。过 A8、8的交点作人的平行线4,如图，因为/J2，/J/。，根据平行于同一直线的两直线平行，所以4,所以由两直线平行，同位角相等，得N 2=/3,由两直线平行，内错角相等，得N 1=N 4,又因为AB1CD,Z 3+Z 4=90,所以Nl+N2=90,因为N l=34,所以N2=90-34=56。四、平行线、相交线+对顶角、周角例 4、如图，已知 a 儿 Zl=70,Z 2=4 0,则N3=解析：设N 2的对顶角为/4,根据对顶角相等，得N4=/2=40。，设N 4的内错角为/5,因为ab,根 据 两 直 线 平 行，内错角相等，所 以N5=N4=40。，因 为N l、N 3、Z 5构 成 一 个 周 角，所以Z l+Z 3+Z 5=18 0,所以N 3=l80-70-=40=70。“平行线与相交线”考点揭秘平行线与相交线是平面几何的重点内容，是今后深入学习三角形、四边形等几何知识的基础，也是各级考试的热点，同学们一定要牢固掌握本部分知识，熟练运用它们解决问题.下面举例加以说明.一、考查相交线例 1在直线A 8上任取一点0,过点。作射线。C,0 D,使。C L 0。，当N4OC=30时，的度 数 是().A.60 B.120 C.60或 90 D.60或 120分析:本题没有图形,OC,O D 的位置不确定，存在两种情况，画出图形，再分类讨论才能解决.解:如 图 1(1)所示，因 为 OC，。，所 以 NCO D=90。，因为/AOC=30。，所 以 4 4。=120,则ABOD=60；如图 1(2),因为 OCJ_OZ),所 以 ZCOD=90,因为 ZAOC=30。，所以ZAOD=90-ZAOC=60，所以 ZBOD=120.故答案选 D.评注:正确画出示意图，活用分类讨论思想及垂线的性质，才能顺利解决这类问题.二、考查与平行线有关的角例 2 如图2,在所标识的角中，同位角是().4.N1 和 N2 B.N1 和 N3 C.N1 和 N4 D.N 2和 N3分析:根据同位角的定义，同位角必须在同一直线的同侧，且由三线八角相交形成.显然A,B,D 均不符解:依题意,NBOC=2ZBO E=2x55=110，则 NBOD=180。NBOC=70。.答案选 C；答案选C.评注:根据定义及角的特点，正确识别同位角、内错角和同旁内角，是计算和推理的前提.是顺利解决这类问题的关键.三、考查平行线的条件和特征例 3 如图 3,已知N3=N4,Z 2=8 0,则/1=()480 B.70 C,60 D.50分析:先根据已知判定直线。力互相平行，再利用平行线的特征得出结论.解:因为/3=/4,所以。8，因为N 2=80,所以N 5=80,所以Nl=N5=80答案选人评注:直线平行线的条件和平行线的特征是几何推理和计算的重要理论依据，我们一定要掌握，灵活应用它们解决问题.四、考查平行线知识的应用例 4 如图4 所示，把一个长方形纸片沿E尸折叠后，点。，C 分别落在D,C 的位置.若乙EFB=65,则NAE。等于（）A.70 B.65 C.50 D .25分 析：因 为 AOBC,所 以/8 =/。）=65。，又 因 为折叠前后NDEF=Z D E F,所以 ZDEF=65,所以 ZAE=180-2 NFED=180-130=50.解:答案选C.评注:抓住折叠的特点，灵活应用平行线的性质进行推理是顺利解决问题的关键.平行线与相交线考点聚焦考点一、余角概念的运用【例 1】如图，/。6 是一条直线，N A O C=9 0 ,乙 D O E=9 0 ,问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？【思考与分析】由互为余角的定义，只需找出图中和为90。的角即可.解：因为 N 4 O C=9 0。，Z.A O B 8 0,所以 N 3。=9 0。，N 1 与N 2、Z 3 与N 4 互余.因 为 N O E=9 0。，所 以 N 2与N 3 互余.因为 Z 1+Z Z?（9,+Z 4=1 8 0,Z.D O E=0,所 以 N 1 +N 4=9 0。.即N 1与N 4 互余.可以得到互余的角有：/1 与/2,N 2 与/3,N 3 与/4,/4 与/1.因 为 N 1与N 2互余，N 2 与N 3互余，所 以 N 1=N 3 （同角的余角相等）.因为N 3 与N 4 互余，N 3 与N 2 互余，所 以 N 2=N 4 （同角的余角相等）.可以得出相等的角有：N 1=N 3,N 2=N 4,Z.A O C=Z.D O E=A B O C.考点二、对顶角的定义及其性质的运用【例2】如图，已知直线4 6,C D,M N相交于。，若N 1=2 2。，N 2=4 6。，则N 3 的度数为（）A.Z 1 =N 3B.X.2=N 3C.N 4=N 5D.Z 2+Z 4=1 8 0【思考与解】这道题主要考查平行线的判定方法，观察图形，发现N 1和N 3 是一组内错角，Z 4和N 5 是一组同位角，N 2 和N 4 是一组同旁内角，而N 2 和N 3三种角都不是.因此不能判定直线八/1 2.所以应选反考点三：垂线的定义和性质【例3】如图，已知FE_LAB于 E,CD是过E 的直线，且NAEC=120。，贝 i j NDE F=.【思考与分析】我们仔细阅读题目，经过思考发现有两种解法，第一种主要利用垂直的定义和对顶角的性质，因为NAEC和ND EB是对顶角，NAEC=NOEB=120。,又 因 为 FE1.AB,N8EF=90。,所以ZEF=120-90o=30；第二种解法主要利用垂直的定义和邻补角的定义，由N 4EC和NAED互为邻补角，可得NAEZ）=60,再由 FE_LAB 于 E,可得NAEF=9O,贝 UNEF=9060=30.解：NOEF=30。.【小结】本题主要考察我们是否掌握了角与角之间的关系，解答这类题目时，我们要清楚地知道有关概念，比如垂直，对顶角，邻补角等.考点四：平行线的性质与判定【例4】如图，如果N1=N2,NC=N。，那么NA=NF吗？为什么？2D【思考与分析】我们从已知条件入手分析题目.N 2和N 3互为对顶角，N 2 =N 3,由N 1 =N 2可得N 1 =N 3,而N 1和N 3是一对同位角，由平行线的判定条件可知B O/C E,再根据平行线的性质可得N 4=N C.又因为已知N C=N。，我们可以得到N4=NO,从而D F/C A,从而可以推出N A=N F.解：因为N 1 =N 2,Z 2=Z 3,所以N 1 =N 3.所以 BDII CE.所以N 4=N C.又因为N C=N。,所以N 4=N。所以 DF/CA.所以N 4=N F.相交线、平行线考点赏析两直线相交和平行是平面几何的基础内容，平行线的判定与性质、相交线的性质是考试中的重要内容。现举例说明，供同学们参考:一、计算题例1、如 图1,直线A 8,C C被E F所截，旦ABll CD,如果N l=1 3 5。，那么N 2=解：N2与N3是对顶角：.N 2=N 3:AB CD/.Z 1=Z 3 （两直线平行，同位角相等）.Z 2=Z 1=1 3 5 .点评：此题主要考查了“两直线平行，同位角相等”和“对顶角相等”两个知识点。二、概念题例2、已知：如 图2,下列条件中，不能判断直线/|/2 的 是（）图2A.Z1=Z3B.N2=N3C.Z4=Z5D.Z2+Z4=180解：观察图形可知，N1=N3是内错角相等，N4=N5是同位角相等，N2+N4=180是同旁内角互补，能判定直线/A，所以不能判定直线/，2的是B,故选8.点评：此题主要考查了两直线平行的条件的理解与应用。三、推理题例 3、如图所示，直线a 11b,求N A 的度数。解：过 A 点作a：a/b：.ADH b.NACE=NCAO=60。（两直线平行，内错角相等）：ADH a.NABF=N8AO=20。（两直线平行，内错角相等）N C4B=N CAO-N BAD=60-20=40.点评：此题主要通过作辅助线，构造平行线的基本图形,图3从而利用平行线的性质解决。四、方位题例 4、如图4,在月、8 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从 4 地测得8 地的走向是南偏东52。，现力、8 两地要同时开工,若干天后公路准确对接，则 B 地所修公路的走向应该是（）A.北偏西52。B.南偏东52。C.西偏北52。D 北偏西38。解：根据内错角相等，两直线平行.所以应选A.点评：此题主要考查平行线判定在实际中的应用，同时又考查了方位角的概念。五、操作画图题例 5、一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能 是（）A、第一次向左拐30。，第二次向右拐30。B、第一次向右拐50。，第二次向左拐130。C、第一次向右拐50。，第二次向右拐130。D、第一次向左拐50。，第二次向左拐130。分析：解决此题的关键是准确地画出示意图，如图5：图5解：选 A.六、开放创新题例 6、有三条直线a,b,c,且a b,bII c,all c,b_Lc,a_Lc.以其中两个为条件，其中一个为结论，请你写出尽可能多的正确命题。分析:此题属于条件、结论全开放的题目，由给出的这些条件让同学们自己组装正确即可.点评：此题主要考查了学生的分析、探究、综合、发散等创新思维能力，学生必须具有一定的归纳、探索及思考能力才能顺利解决问题。相交线与平行线考点面面观相交线与平行线是初中数学基本知识点之一，也是中考常考的内容，常以填空题和选择题出现，现以中考题为例举例说明.考点一垂直的概念例 1在直线AB上任取一点O,过点。作射线。C、O D,使 OC_L。，当NAOC=30。时，的度数 是（）.4.60 B.120 C.60或 90 D.60或 120。解析：由于本题没有给出图形，做题时最好画出图形.我们可分两种情况来解答.如图1,因为OCJL。,所以 NCO=90。.又因为 NAOC+NCO+N8OC=180。，所以 N8OD=60。：如图 2,因为 O C 工 O D,所以NCOC=90。，所以/4。=60。，所以/8。=120。.故选 D评注：有垂直，就有90。的角，在垂直问题中经常用到.同时，本题考查了数形结合思想和分类讨论思想.考点二对顶角的性质例2如图3,直线AB、CO相交于点O,Z 1=5 0,则N2解析：根据对顶角相等的性质，可得N2=N1=5O.评注：对顶角的性质在做几何题时经常用到，可一定掌握.考点三平行线的性质例3如图3,直线A 3、C C相交于点E,D F/A B.若NAEC=100。，则N。等 于().A.70 B.80 C.90 D.100图4解析：利用对顶角相等的性质可得NBEQ=N4EC=100。，再利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”即可求得N O的度数.因为。尸 A B,所以NO+N8EO=180.又因为NBEO=NAEC=100。，所以/。=180。-/3后。=180。-100。=80。.故选 B.评注：本题还可以根据邻补角的定义求得N B E C和AEO的度数，再利用平行线的性质“两直线平行，同位角相等 与 两直线平行，内错角相等“求得N。的度数，同学们不妨试一下.考点四平行线的判定例 4 如图 5,已知N1=N 2,N 3=8 0,则N 4=().A.80 B.70 C.60 D.50/2 匕算5 4 a1图5解析：利用对顶角相等得N 2=N 5,再利用平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行”得最后利用平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可求得N 4的度数.因为N1=N2,N1=N5,所以N2=N5,所以所以N4=N3=80.故选A.评注：本题综合运用了平行线的判定和性质，做题时两者不能混淆.考点5 添加辅助线后再利用平行线的性质例 5 如图 6,2/匕，N1=120,Z 2=100,则N 3=()A.20 B.40 C.50 D.60解析：要求N 3的度数，必须从己知条件寻找N 3与N1,N 2的关系，可考虑作OA/乙，再利用平行线的性质，找出N 3和已知角的关系，使问题得到解决.过点。作 04 乙，因为。i /2,所以 OA/I 2，所以 N1+N40C=180.所以 N A OC=1 80-Z1=180-l 20=60.所以 N A。8=100。-N 4 OC=100。-60。=40。.因为 OA。i,所以N3=N4OB0O。.故选 B.评注：本题巧妙运用添加辅助线的方法解决了平行线的有关问题，添加辅助线在今后的学习中经常遇到，希望同学们认真体会.考点6平移作图例 6 如图7,在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个48C,ZkABC的顶点均与小正方形的顶点重合.在方格纸中，将ABC向下平移5 个单位长度得到 A|B|G，请画出图7解析：本题在网格内作图，比较简单，只要分别作出点A,B,C向下平移5个单位后的对应点，然后再分别连接这三个点即可.画出 AlBCi如图8.图8评注：有关平移作图问题，一定要注意平移方向和平移距离.