线性代数期末考试试卷答案合集.pdf
X X X大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分)1 -3 11、若 0 5 x=0,则=o-1 2-2耳+%3=02.若齐次线性方程组(玉+；1+邑=0只有零解,则尤应满足 OX,+x2+x3=03已知矩阵A,B,C=(%)s x，满足A C=C 5,则A与8分别就是 阶矩阵。/a”al24.矩阵A=a2l a2 2的行向量组线性。4 3 1 a3 2 )5.阶方阵4满足-3 A E=0,则A-1=。二、判断正误(正确的在括号内填“J，错误的在括号内填“X”。每小题2分，共10分)1、若行列式。中每个元素都大于零,则。0。()2、零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。()3、向 量 组 的，4 中，如果与“对应的分量成比例，则向量组/，生，4线性相关。()0 1 0 0-1 0 0 0 ,4、A=，则 A T=A。()0 0 0 10 0 1 05、若X为可逆矩阵A的特征值，则A T的特征值为;I。()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)1、设A为阶矩阵，且 网=2,则 4田=()。2 2-】2后 42、维向量组(3 4 s 4 n)线性无关的充要条件就是()。4,中任意两个向量都线性无关 四,%中存在一个向量不能用其余向量线性表示 a,a,中任一个向量都不能用其余向量线性表示 at,a?，中不含零向量3、下列命题中正确的就是（）.任 意 个“+1维向量线性相关 任意个+1维向量线性无关 任意+1个 维向量线性相关任 意+1个”维向量线性无关4、设A,8均为n阶方阵，下面结论正确的就是（若A,5均可逆，则A +5可逆 若A +B可逆，则可逆）。若A,8均可逆，则A 6可逆 若A+B可逆，则均可逆()5、若匕，v2,匕，,就是线性方程组A X=O的基础解系，则匕+%+匕+乜 就 是A X=O的解向量基础解系 通解 A的行向量四、计 算 题（每小题9分，共6 3分）x+a bc dax+bc d1、计算行列式oabx +c dabc x+d解.%b cdx-a+b+c+db cda x+b cdx+a+b+c+dx-b cda b x+cdx+a+h+c+c lh x+cda b cx+dx+a+b+c+db cx+d1 bc d b c d1 x+hc d0 x 0 0=(x +o +b +c +d)=(x +a +/?+c +d)=(x +a +b +c +d)d1 bx+c d0 0 x01 bc x +d0 0 0 x求8。30r2、设 4 3=4 +23,且4 =11o*14 J解、(A 2E)3 =A(A-2E)-1-2-1-5-2-2-2-2-1,B=(A-2EY A=4-3-2-111-2233、设3=100-1 01 -10 1o)0-1,c=2001203124、31且矩阵X满足关系式X（C-B）=E,求X。100 0100 02j4、问a取何值时,下列向量组线性相关?(1a-2j_2，。2 =a1j_-1;8、r g。9、解:第一行减第二行，第三行减第四行得:x x 0 01 l-x 1 1D=0 0y y1 1 1 1-yx 0 0 0第二列减第一列，第四列减第三列得：。=1 7 1，0 0 y 01 0 1 -y（4 分）按第一行展开得 X 1 0D=x 0 y 00 1 -y按第三列展开得 x 0D=-xy&分）1 y1 0、解:把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子5,+3，再通过行列式的变换化为3=1 7上三角形行列式=+3 （4 分）（=1 7四、证明题1 1、证明：(1)、因为a 2 ,%，。3线性无关，所 以12,4线性无关。，又%,%,a?线性相关，故 必 能 由%，阳线性表出。(4 分)r(at,a2,4)=3 ,(2)、(反正法)若不，则a 能 由%，%,。3线性表出，不妨设 oc4=+k2a2+%3 a 3 由(1)知，%能 由 巴,线性表出，不妨设%=4a 2 +f2 a 3。所以=院(tta2+t2%)+k2a2+k3a3,这表明。2，。3，a 4线性相关,矛盾。1 2、证明(1)(E +/(A)(E+A)=E +(E A)(E +A)T(E +A)=(E+A)+(E-A)(E +A)T(E+A)=(E +A)+(E-A)=2 E(4 分)(2)f(f(A)=E-f(A)E+f(A)-由得：E +/(4)=g(E +A),代入上式得(冷)=后 3-颂 如”扣+加 扣+加()3+,如+&=(E +A)-：(E-A)=A2 2五、解答题1 3、解：(1)由|花一川=0得A的特征值为4 =1,4=2,4=5。(4 分)(4 分)，0、(2)4=1 的特征向量为。=-1=2 的特征向量为幺=1 o=5 的特征向量为刍(3)因为特征值不相等，则。4，刍正交。(3 分)(2 分)将 4 4 单位化得P(2分)(5)取 P =(p,p2，pj=01一 般1、V2100、01一逝1五（6）P APn o o）0 2 0(0 014、解:该非齐次线性方程组Ax=b对应的齐次方程组为Ar=0（1分）因R(A)=3,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都就是它的基础解系。（5分）另一方面,记向量J=2 一(%+小)，则A J =4（2彷 _ 3）=2Ai -73=2 b-b-b =0直接计算得J=(3,4,5,6),/0,J就就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知,原方程组的通解为x=4 +=k34562345,k G R。（7分）15、解:将与联立得非齐次线性方程组:尤 +%+%3=，玉+2X2+ax3=0,x+4x,+a2x3=0,%+2x,+x3=a 1.若此非齐次线性方程组有解，则与有公共解，且的解即为所求全部公共解、对的增广矩阵可作初等行变换得：2420、00a 1,0000 7-11 a0、00a 1,（4分）1 当”=1时，有(4)=,)=2 3,方程组有解，即与有公共解，其全部公共解即为的通解,此时00000000、001-1、则方程组为齐次线性方程组,其基础解系为：0-1、所以与的全部公共解为左0 ,A 为任意常数、（4 分）2 当。=2时，有r（A）=r（X）=3,方程组有唯一解，此时 100、0010000100、1-10,(0、故方程组的解为：1 ,即与有唯一公共解工=-V0、1-1.(4分)线性代数习题与答案第 一 部 分 选 择 题（共 28分）一、单项选择题（本大题共14小题,每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个就是符合题目要求的.请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1 0 0、2、设矩阵A=0 2 0，则A i等于（）1、设行列式a na12=m,a13 all=n,则行列式aII al2+a13等于（)a21a22a23 a21a21 a22+a23A、m+nB、一 (m+n)C n-mD、m-noO1O1-201-30Or、Ao01-2o1o1-30ooO1-oO101-2oO1-301oO1-2oO、BD3-1 2、3、设矩阵A=1 0 -1 ,A*就是A的伴随矩阵，则A*中位于（1,2）的元素就是（）、-2 I 4A、-6B、6C、2 D、-24、设A就是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有（）A、A=0 B、B r C 时 A=0C、A w O 时 B=C D、|A|x 0 时 B=C5、己知3 X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A D等于（）A、1B、2C、3D、46、设两个向量组a Y 2,i s与0|,8 ”,久均线性相关,则（）A、有不全为0的数A.b X 2,，入 使入1 a +入2 a 2+3 a S=O与入1 B 1+A 2 B 2+S=OB、有不全为。的数入i,入2,，入s使入i（a 1+B 1）+入2（a 2+B 2）+入s（a s+B 0）=0C、有不全为 0 的数 X i,入 2,3使入 i（a 1-6 i）+入2（a 2-6 2）+、s（a s-8 s）=0D、有不全为0的数X 入2,，L与不全为0的数U I,口 2,，人 使 a ,+X 2 a 2+-+X s a s=0与u 1 B 1+28 2+11sBs=07、设矩阵A的秩为r,则A中（）A、所有r-1阶子式都不为0 B、所有r-l阶子式全为0C、至少有一个r阶子式不等于0 D、所有r阶子式都不为08、设A x=b就是一非齐次线性方程组,4 1,n 2就是其任意2个解，则下列结论错误的就是（）A、。1+4 2就是A x=o的一个解c、n 1-就是A x=o的一个解9、设n阶方阵A不可逆，则必有（）A、秩（A）nC、A=0B、,n i+，就是A x=b的一个解2 2D、2 n 1-。2就是A x=b的-个解B、秩（A）=n-1D、方程组A x=O只有零解1 0、设A就是一个n（2 3）阶方阵，下列陈述中正确的就是（）A、如存在数人与向量a使A a =A a ,则a就是A的属于特征值人的特征向量B、如存在数人与非零向量a ,使（A E-A）a =0,则 人就是A的特征值C、A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D、如入2,入3就是A的3个互不相同的特征值,a I,a 2,a 3依次就是A的属于X1,X2,A3的特征向量,则a a 2,a 3有可能线性相关1 1、设入o就是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于入。的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）A、k W 3B、k 31 2、设A就是正交矩阵，则下列结论错误的就是（）A、|A|2必 为1 B、内 必 为1C、A-=AT D、A的行（列）向量组就是正交单位向量组1 3、设A就是实对称矩阵,C就是实可逆矩阵,B=C T A C、则（）A、A与B相似B、A与B不等价C、A与B有相同的特征值D、A 与 B 合同1 4、下列矩阵中就是正定矩阵的为()23A、B、3C、0 002-30)-35;D、1 1 n1 2 0J 0 2;第二部分非选择题(共72分)二、填空题(本大题共1 0 小题,每小题2 分 共 20 分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。1 5、1 1 13 5 69 25 361 6、设 A=1 -1 11 1 -I1 2 3-1 -2 4,、则 A+2B=1 7设 A=(a j j)3 x 3,|A|=2,Ai j 表示|A|中元素ay 的 代 数 余 子 式(i,j=l,2,3),则(a A 2 1+a 12 A22+a 3 A23)2+(a21A 2 1+a22 A22+a23 A23)2+(a31 A 2 1 +a32 A22+a33 A 23)2二、1 8、设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关，则 a=、1 9、设 A 就 是3 X 4矩阵,其秩为3,若2为非齐次线性方程组A x=b 的 2 个不同的解，则它的通解为、20、设 A就 是mX n矩阵,A的 秩 为 r(1-4 -3 V 4 2 3 W 3 -8-6 A所以 B=(A-2E)-A=1 -5-3 1 10=2 -9 -6 .1-1 6 4 J I-1 2 3)1-2 1 2 9；(-2 13 0 仅-5 3 -21 p 0 3 5)(1 0 3 5)封 1 -3 0 -1 1 -3 0 -1 0 1 1 2 0 1 1 228 斛-.-0 2 2 4 0 1 1 2 0 0 8 8 0 0 1 1U 4 -1 9 J (0 1 3 -1 1 2；V O 0 -1 4 -1 4；V O 0 0 o j 1 0 0 2、-I I l，所以 a 4=2 a i+i 2+a 3,组合系数为(2,1)、解 二 考虑a 4=x i a j+x 2 x 2+X 3 C 1 3,-2x +x2+3 x 3 =0即卜3X2=-12x 2+2x 3 =43 x|+4 x 2-X 3 =9.方程组有唯一解(2,1,1 )T,组合系数为(2,1,1)、29、解 对矩阵A施行初等行变换_ _、-2-1 0 2、0 0 0 6 -20 3 2 8-2_、1 -2-1 0 2、0 3 2 8-30 0 0 6 -2.0 0 0 -21 7?_rl -2-1 0 2、0 3 2 8-30 0 0 3 -1 0 0 0 0 0;秩(B)=3,所以秩(A 尸秩(B)=3、(2)由于A与 B的列向量组有相同的线性关系，而 B就是阶梯形,B的 第 1、2、4列就是B的列向量组的一个最大线性无关组，故 A的 第 1、2、4列就是A的列向量组的一个最大线性无关组。(A 的第1、2、5 列 或 1、3、4歹 I J,或 1、3、5 列也就是)3 0、解 A的属于特征值入=1 的 2 个线性无关的特征向量为g i=(2,1,0)T,&2=(2,0,1 )T、25/5/5经正交标准化，得 5=-V 5/50 2石/1 5、,。2=4 7 5/1 51回3,入=-8的 一 个 特 征 向 量 为 3=1 j (1/3、2，经单位化得n 3=2/3 .1-2/3；2 6/5 2/1 5/1 51/3)1 0 0、所 求 正交矩阵为T=-7 5/5 4 7 5/1 52/3、对角 矩 阵D二0 1 0、0 V 5/3-2/3;、0 0 一&2石/52V 1 5/1 51/3、(也可取T=0-7 5/32/3、)、石/5-4 V 5/1 5-2/3,3 1、解 f(X|,X 2,X 3)=(X i+2X 2-2X 3)2-2X 22+4 X 2X 3-7 X 32=(X|+2X 2-2X 3)2-2(X 2-X 3)2-5X 32)3 =X3Y1=x 1 +2x2-2x3X1=Y1-2y2 1 -2 O 设 丫2=X?-X 3，即，x2=丫2+丫3x3=Y3，因其系数矩阵=0 1 1可逆，故此线性变换满、0 0 b秩。经此变换即得f(x i,X 2,X 3)的标准形y i2-2y22-5y32、四、证明题(本大题共2小题,每小题5分，共1 0分)3 2、证由于(E-A)(E+A+A 2)=E-A 3=E,所以 E-A 可逆，且(E-A)r=E+A+A2、3 3、证 由假设 A n()=b,A g i=0,A&2=0、(1)A H i=A(n()+&i)=A HO+A g i=b,同理 A q 2=b,所以 n 1,n 2 就是 A x=b 的 2 个解。考虑/o n()+/i n 1+/2 n 2=0,即(/0+/1+/2)n 0+/1 C 1+/2 C 2=0、则4)+/I+/2=0,否则n o将就是A x=o的解,矛盾。所以h 1+Z 2 4 2=0.又由假设,口，g 2线性无关，所以/尸0,/2=0,从 而4)=0 .所以n o,5,n 2线性无关。
