解析几何（解析版）--2021年高考数学（理）.pdf

重难点0 4解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度谀中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题一、单选题1.（2 0 2 0.全国高三专题练习（理）直线x+y +2 =0分别与x轴，轴交于4,5 两点,点 P在圆（x 2）?+y 2 =2上，则 A B P 面积的取值范围是（）A.2,6B.4,8C.72,372D.272,372【答案】A【分析】圆心（2,0）到直线的距离d=|2+0+2|-2V2,所以点P到宜线的距离&GV2,3A/2根据直线的方程可知A5两点的坐标分别为A（2,0）,3（0,2）,所以|4目=2 0,所以 B P的面积 S=g|A 6|4 =6 d、,所以 S e2,6,故选：A.2 22.（2 0 2 0.河北邯郸市高三期末）设 6，工 分别是双曲线C:；-4=1（“0 力 0）的左、右ar b焦点，过点尸2 的直线交双曲线的右支于A,5两点，若|4 6|=3 忸6|,且c o s/A 居=g,则双曲线的离心率为（）A.6 B.叵 C.72 D.在22【答案】B【分析】设 忸 用=机，则|A入|=3m,A Ft=2 a+3m,BF1 =2 a+m ,8由余弦定理得(2。+加)2=(4 m)2+(2 a+3 m)2 x4m(2 a+3 m),解得m=a,.周=5九|AB=4m,BF =3m.4 6月 为直角三角形，2 c =|耳 用=弓3,6=故选：B.r23.（2 0 2 0,天津河北区高三期末）已知双曲线C：Ja2y=1 (tz 0,b0)的一条渐近线过点（3,4）,且双曲线的一个焦点与抛物线y 2=2 0 x的焦点重合，则双曲线的方程为()2 2A,工-匕=19 1 6B.r2-v2-=11 6 9c T-T=13 4【答案】B【分析】因为双曲线C的渐近线y =X过点（3,4）,232 y j所以双曲线c的渐近线为y =?x,设双曲线的方程为三一一241 6f 9 t1 ,乂因为双曲线的一个焦点与抛物线/=2 0%的焦点（5,0）重合,所以c =5 =J 1 6t+9 f，解得f=l，所以双曲线的方程为马一片=1.1 6 9故选：B4.（2 0 2 0四川凉山彝族自治州高三一模（理）抛物线C：y =ad在点（1,。）处的切线方程为2 x -y l =O,则。的焦点坐标为（）4A.B.C.D.?)【答案】B【分析】：y =2 a r,所以y =a?在 点 处 的 切 线 斜 率 为 射,切线2 一y一1 =。的斜率为2,所以2 a =2,a =l,抛物线方程为yX 2,C的焦点坐标为卜,故选：B5.（2 0 2 0全国高三专题 练 习（理）若0b,c是 A3c三个内角的对边，且c s in C =3a s in A+3/?s in B,则直线/：a x-Z?y +c =0 被圆 O：r+#二 口 所截得的弦 长 为（）A.4 7 6 B.2底C.6 D.5【答案】C【分析】由已知c s in C =3 a s in A+3 Z?s in 3,利用正弦定理得：c2=3（a2+b2）圆O：/+）；2=2的圆心为0（0,0）,半径为=2 6,圆心。到直线/的距离dH ca2+b2 Ja2+b2所以直线/被圆0所截得的弦长为2，产 一 解=2.1 1 2 弓=2 7 1 2 3 =6，V a-+b-故选：C.6.(2 0 2 1 天津滨海新区高三月考)已知抛物线G：、2=2 2%()的焦点为凡准线与/v2X轴的交点为 线段EF被双曲线C,:=-之=1(。0 力 0)顶点三等分,且两曲线孰,C,a b的交点连线过曲线G的焦点凡则双曲线c?的离心率为()A.近 B.逑 C.巫 D.叵2 3 2【答案】D【分析】抛物线y 2=2 p x的焦点为尸皮,0),准线方程为x =E(-1,0),E F=p,2 2n因为线段ER被双曲线62：鼻-/=1(“0,6 0)顶点三等分，所以2。=仁，即p =6a,因为两曲线G，g的交点连线过曲线C的焦点几 所以两个交点为(多P)、(p-p)，2 2 2 2将g,p)代入双曲线 一4=1得与=1,2a2 b2 4 a 2 b2r r r.36a2 36a2,.36a2.rri,b2 9所以一-=1.所以9-厂=1，所以r =一4/h2 b2 a2 2所以双曲线G的离心率e =a故选：D7.（2 0 2 0.四川凉山彝族自治州.高三 一 模（理）设椭圆C：=+匕=1（。2）的左、右CT 4焦 点 分 别 为 入，直线/：=%+，交椭圆。于点A，B,若45的周长的最大值为1 2,则。的离心率为（）A.3 B.正 C,2&D.-3 3 3 9【答案】B（分析耳 A B 的周长等于 A B +A Ft+B Ft=A B +2 a-A F2+2 a-B F2 4 a +A B-A F2+BF2）,因为AF2+BF2 A B芍且仅当A,B,F2三点共线时等号成立，所以 4 a +A B +BF2）0）的焦点为F,准线为/,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,8作/的垂线,垂足为C,D.若|4尸|=3忸耳，且三角形。0尸的面积为石，则的值为（）A 2 r V 6 n 2763 3 2 3【答案】c【分析】过点B作/交直线A C于点M,交X轴于点N,设点A（x，y J、*X 2，%），由|/=3|附 得 +勺3卜+外即 X i -3 9 =P.，又因为NFAM,所以M=回所 以 两 1阴-4，所以|NE|=；（x/），所以|O F|=|O N|+1 N同=工2+：（演-w）=,由可解得%=彳 二*2=/，Q在汝 A B M中，=菁+%2+=，所以“。=：竽2/=6，解得=*或 =一 母（舍去），故选：c二、填空题29.（2021江苏泰州市高三期末）在平面直角坐标系x O y中，已知双曲线：2一2_ =1的7两 个 焦 点 分 别 为E，F2,以 乙 为圆心，长为半径的圆与双曲线r的一条渐近线交于.OMM,N两 点，若|。0 3。叫，则 岗 的 值 为【答 案】:32【分 析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程，再 求 圆 的 方 程 与 渐 近 线 方 程 联 立 可 得N两点的横坐标，由10M即为横坐标的绝对值的比可得答案.0 N【详 解】由己知得/=1,=7,C2=8,2c =40，6(-2&,0),g(20,0),取双曲线的一条渐近线y =,所以圆的方程为k一2&+丁=32，由y=#ix4 历k_2夜y+/=3 2整理得一 0一6 =0,解 得 与=当，/=6，OM _1 0M X372取双曲线的另一条渐近线y =J 7 x，y=-yflx/L2,整理得 2 f 一&X -6 =0 与(x-2 V 2)+y=3 2OM 3上 同 嫁 上|ON|一耳.3故答案为：.21 0.(2020河 南 高 三 其 他 模 拟(理)已 知F是 椭 圆C：5+，=1 (a b 0)的左焦点，4 B是 椭 圆C过 尸 的 弦，A B的垂直平分线交x轴 于 点P.若 屈=2万，且P为。F的中点,则 椭 圆C的离心率为.【答 案】y【解 析】【分 析】如图，设椭圆的右焦点为G，连接4 G,B G,过点。作O C P H,交4 B于。，则点，为D F中点.设|B F|=2m,A AF=4m,AH=3m,AD=2m,DH=HF=m.所以点。是4尸中点,因为|0尸|=0G,所以4G0D,.4B4G=*由椭圆的定义得 AG=2a-4m,B G =2a-2m.在直角 AAFG 中，(4TTI)2+(2a-4m)2=4c2,所以 2mZ am=(1)4 4在直角 ABG+,(6m)2+(2a 6m)2=(2a 2m)2所以m6把m=代 入(1)得5Q2=9c2,A M。故答案为：亨.2 211.(2020浙江高三期中)若椭圆工+=1(./,0)与双曲线a b无 2 v2/一 方=1(4 0,白 0)有相同的焦点后，K,点P是两条曲线的一个交点,尸鸟=,椭圆的离心率为q,双曲线的离心率为e?,e=2,则e；+e；=【答案】8【分析】不妨设尸在第一象限，再设PQ=s,P F i=t,由椭圆的定义可得s+f=2o,由双曲线的定义可得s-Z=2m,解得 s=a+ai，t=a-ai,71由 NRPF2=一,2在三角形F F F 2中，利用勾股定理可得4 c 2=$2+/=（。+4f （q 一 产=2a2 +2 az.“2 24=+，e e2化简-2 2=2=2，又由 6 1 6 2=2,e e2 e e2所以e：=8 .故答案为：8.2 21 2.（2020北京海淀区人大附中高三期中）椭圆C：=+与=1（。人0）的左、右焦a b 点分别为耳，尸2,点 在椭圆上且同时满足：是等腰三角形；6Kp是钝角三角形；线 段 耳 工 为 月 产2 P的腰；椭圆C上恰好有4个不同的点p.则椭圆c的 离 心 率 的 取 值 范 围 是.【答案】。夜-1）【分析】如图，根据椭圆的对称性知，点P及关于x轴，y轴，原点对称的其它3点，即为椭圆C满足条件的4个不同的点.根据题意可知耳玛尸是以式工，4 P为两腰的等腰三角形，故4 P =耳6=2 c,即点/在以耳为圆心，F,F2为半径的圆上,由题知以耳为圆心，2 c为半径的圆与椭圆有两个交点，即可存在两个满足条件的等腰耳玛P,此时必有与PA6，即2 c a c,即a 3 c,所以离心率e；又/耳玛为钝角，则c o s N P 6 B +(2 c)2 (2 a -2 c产，整理得02 +2敬 一/0,两边同除以优 得，?2+2 e-l 0.解得：Oe0 1综上，可知椭圆C的离心率的取值范围是,e 人 0)的离心率为叵,且直线2 +上=1与圆V+y 2 =2相切.2 a b-(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/与椭圆。相交于不同的两点A，3,M为线段A3的中点，。为坐标原点,射 线 与 椭 圆。相交于点P,且。点 在 以 为 直 径 的 圆 上.记A O M,B O尸的面s.积分别为S1,S2,求U的取值范围.【答案】+=1:(2)当 W6 3 3 3【分析】：(1).椭圆的离心率 为 巫2 直线+?=1与圆/+y2=2相切，a b又 C2+Z 7 2 =:=6 =3 2 2，椭圆C的方程为二+上=1.6 3(2)为线段AB的中点，.,3=(i)当直线/的斜率不存在时，,，=变（，为半焦距）.a 2.J_ J-a2 b2SAAOM 幽S&BO P QH由。4,0 5及椭圆的对称性,s则 x：=2,xj,=6,(ii)当直线/的斜率存在时A(X，X)，3(%,%)y=kx+m由/丁 _ ,消去y,得6+y 不 妨 设 所 在 直 线 的 方 程 为y=x,得K=2.|0M|V3O P|T 设直线 I:y=kx+mm w 0）,（2 Z:2+1）X2+4kmx+2trr-6 =0.:.=16女2巾2 8（2女2 +1）（/?3）=8（6女2 77?+3）0,即 6k2-n r+30.4km 2/n2-6 4+X）,，X.Xy 7 2 f+1 1-2公+1:点。在以AB为直径的圆上，OA O8=0，即玉 入2 +%=0XX2+%=（1 +女2）玉 工2 +.7（玉 +工2）+/2=0.,/,，八 2w 6,.11 +A：-）-+km、7 2k2+14km 2公+J+nr=0.化简，得机2 =2女2+2.经检验满足公0成立.线段AB的中点M-2km m）2 r+1 2/+J当左=0 时，m2=2-此时=-L=.S2 6 3当人。0时，射线QM所在的了L线方程为y=-y x.乙K由,1V =-X2k2 2土+匕=16 3消去y,得片12k22公+132r+1综上，1t的取值范围为 淮*3 31 4.（2 02 0.上海浦东新区.高三一模）已知椭圆G：二+;/=,6、居 为 G的左、右焦4点.（1）求椭圆C,的焦距；（2）点QG#为椭圆G 一点，与。Q平行的直线/与椭圆G 交于两点4、8,若0 B面积为1,求直线/的方程；（3）已知椭圆G与双曲线。2：/-：/=1在第一象限的交点为加（如，加），椭 圆 a 和双曲线c2上满足|x|xM|的所有点a y）组成曲线C.若点N 是曲线C上一动点，求N FN F 的取值范围.【答案】2 7 3；（2）y =；xl；（3）一 言+o o【分析】（1）由椭圆G的方程知：C=J 7 M=3,即焦距为2 c =2 石.（2）设/:y =g x +/n,代入/+4/=4得9+2，世+2 m2-2 =0,由 =4 相2 8（加2 1）=8 4 m2 0 M|m|得加=1 22所以/:y=xl(3)由x2+4 y 2 =4x2-y2=1解得yM2标571 5设N(x,y)是曲线C上一点，又月（一6,0），居（G,0），=（-V 3-x,-y）,N F2=-x,-y）,N Fi-NF2=x2+y2-3,（|x|当N在曲线V+4 y 2=4（|x因/I）上时，N Fi-NF2 -3 y2,当,=巫 时，二，当y=o时，.呜2=1,5 m i n 54所以 N R.NF 2 -,1 ；当N在曲线V=i（|x闫 乙 ）上时，N F】N F 2=2 y 2-2；当 二 巫 时，（N 6.N E）N F/N Ff5 ）m i n 5综上，N F i N F 2 G-,+o o j.4-,+001 5.(2 0 2 1湖南株洲市高三一模)在平面直角坐标系中，己知圆心为点。的动圆恒过点(1,0),且与直线x =l相切，设动圆的圆心。的轨迹为曲线.(i)求曲线r的方程;(I I )过点尸的两条直线、4与曲线相交于A、B、C、。四点，且、N分别为AB、CO的中点.设4与4的斜率依次为匕、k2,若+a=-1，求证：直 线 恒 过 定 点.【答案】(1)丁=4%；(H)证明见解析.【分析】(I )由题意，设。(x,y),因为圆心为点。的动圆恒过点尸(L 0),且与直线x =-l相切，可得|x +1 1=7(x-l)2+/，化简得 V=4 x .(n)设4,4的方程分别为y =K(x-D，y =(x-i),联 立 方 程 组 仆 1),整理得短f (2 6+4)x +=0 ,=4 x 、所以玉+=”工，则M 件学，3,同理N(与E g婷 I k；K)I k；k2),k,k)kih所 以 皿=7+2_片+2=曰？6 k；由K+g=T,可得=K(i +K)，2(左2+2、所以直线M N的方程为y-厂=勺(1 +K)x-整理得 +2 =匕(1 +4)(%-1),所以直线M N恒过定点(1,-2).1 6.(2 0 2 0浙江台州市台州一中高三期中)如图，已知点尸(4,4)在抛物线M:y 2=2 (p 0)上，过点p作三条直线P AP BJC,与抛物线M分别交于点A,B,C,与x轴分别交于点。,E,G,B.D E=E G.（I）求抛物线M的方程；（ii）设直线PAPC斜率分别为匕，&,若（+；=1，求直线依的方程；皮 皮2S.（H）设P B C,四边形P M C面积分别为H，$2,在（I）的条件下，求寸的取值范围.【答案】（I）J=4 x；5）2 x-y-4 =0；（ID【分析】（1 ）由题知，抛物线”：/=2?4 0 0）上有一点;（4,4）,.-.p=2,即抛物线M的方程为V=4 x；4 4（ii）设石（加,0）,。（加一，,0）,6（加+，,0）,其中1 0,则4=-,k?=-,4 一根+f 4-m-Z1 1 4-/71 由题意，丁+丁 =丁 一 =1，即加=2,（2,0）,k k2 2.PB直线方程为2 x-y -4 二。；y(I I)由(I )知,E(2,o)D(2-t,0),G(2+t,0),t 0,4则R 4方程为y -4 =t+2(x-4),即4 x (r +2)y+4 r 8 =0,由，4 x-(f +2)y +4，-8 =0 ,2 ，.，得y 2-Q +2)y +4/8 =0,y =4 x.yA=t-2,xA=,即 铲 J-2)，4而P C方程为y-42-t(x-4),即4 x-(2 f)y 4 r -8 =0,同理可得C(H 1 2 1,_Z_ 2),4点A到直线PB的距离为4 =L，点C到直线PB的距离为d2=,记 S =SVPBCP B d2d2；|PB|(4+4)4+&6|+f +6t+6设过点P的抛物线M的切线/为y 4 =Z(x 4),由，y 4 =k(x-4),12，得处 2一4)，+1 6-1 6A=0,由旬，得攵=一,/=4 x2所以切线方程为无一2y+4=0,令y=0,得x=-4，二要使过P点的直线与抛物线有两个交点，则有0 /6，S 1 t+6 1 才正丐/)