2022-2023年艺术生新高考数学讲义 第14讲 等差数列、等比数列基本量（学生版含解析）.pdf

第14讲等差数列、等比数列基本量【知识点总结】一、基本概念l数列(l)定义按照一定顺序排列的一列数就叫做数列(2)数列与函数的关系从函数的角度来看，数列是特殊的函数在y=f(x)中，当自变谥xEN时，所对应的函数值f(1),f(2),f、(3),.就构成一数列，通常记为包，所以数列有些 问题可用函数方法来解决2等差数列(l)定义一般地如果一个数列从第2项起每一项与它前一项的差等千同一常数，则该数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母d表示，即a,+1-a,=d(nE N).(2)等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a,=0i+(n-l)d=nd+(0i-d)，是关千n的言燃型函数或a,=a,.,+(n-m)d，公差d=a,a,（直线的斜率）（m#-n,m,n E N)n-m(3)等差中项若x,A,y成等差数列那么A叫做x与y的等差中项，即A=x+y或2A=x+y在一个等差数列中，从第22 项起（有穷等差数列的末项除外），每一项都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上，等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项(4)等差数列的前n项和s.=包a,)n-.n(n-l)d d _ _ 2.2a1-d=n4+n江n（类似千凡An2+Bn)，是关千2.2 2 2 d n的三然盟函熬（五次视系熬泼且赏数项凇0).S,的图像在过原点的直线(d=O)上或在过原点的抛物线(d丑0)上3等比数列(1)定义一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等千同一个非零常数，则该数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，常用字母q表示，即=q(q引O,nEN)(2)等比数列的通项公式等比数列的通项a=牛q，一l(3)二 qm-n a,I(4)等比中项a,a=c q(c书（al,q引O)，是不含常数项的指数型函数q 如果x,G,y成等 比数列那么G叫做x与y的等比中项，即G2=xy或G土5(两个同号实数的等比中项有两个）(5)等比数列的前n项和二、基本性质1等差数列的性质(1)等差中项的推广当m+n=p+q(m,n,p,qEN.）时，则有a111+a,=aP+a，特别地，当m+n=2p时，则有a/II+an=2ap(2)等差数列线性组合CD设a,1是等差数列，则Ja,+b(J,b ER)也是等差数列设a,b,）是等差数列，则坏a,+A.ib,体，A.iER)也是等差数列(3)等差数列的单调性及前n项和S,，的最值公差dO饥为递增等差数列，S，有最小值，公差dOa,)为递减等差数列，S，1有最大值，公差d=0 a,为常数列特别地若厂，则S有最大值（所有正项或非负项之和），dO 若a1O(4)其他衍生等差数列若已知等差数列a,，公差为d，前n项和为S,，则S,S2,-S,S3,-S2,为等差数列，公差为m2d.3等比数列的性质(I)等比中项的推广若m+n=p+q时，则a111a,=apaq，特别地当m+n=2p时，ama,=a!(2)CD设a,为等比数列，则入a,，（入为非零常数），他，ll.a,？仍为等比数列设(a,与bn)为等 比数列，则a,b,，也为等比数列(3)等比数列a,的单调性（等比数列的单调性由首项al与公比q决定）寸1:10或厂1I lOqI 寸0或厂10时，a为递减数列0 q l a,(4)其他衍生等比数列若已知等比数列a,，公比为q，前n项和为S，则S,S2,-S,S3,-S2,为等比数列，公比为q（当q=-1时，m不为偶数）4等差数列与等比数列的转化(1)若a,为正项等比数列，则logea,(c 0,c:;t:1)为等差数列(2)若a,）为等差数列，则c(c O,c;cl)为等比数列(3)若a,既是等差数列又是等比数列a,)是非零常数列【典型例题】例1.(2022全国高三专题练习）等差数列a,1的首项为l，公差不为0若a2,a3,a6成等比数列，则a,!前6项的和为（)A.-24 B.3 C.3 D.8 例2.(2022全国高三专题练习）已知等差数列a,，的前n项和为S,，且a4+a6=10,则S9=()A.38 B.50 C.36 D.45 例3.(2022全国高三专题练习）等比数列a,，的前n项和为S,，已知S3=a2+1 Oa,as=9,则a1=()l-3 A B.l-3 1-9 c D.l-9 例4.(2022全国高三专题练习）设等比数列a,，的前n项和记为S,，若S10:Ss=l:2，则S15:s5=()3-4 A 2-3.B 1一2.c I-3.D 例5.(2020全国高考真题（理）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块例6.(2019海南嘉积中学高三阶段练习）已知凡是等差数列a,1前n项和，生8,a6=-2,当凡取得最小值时n=().A.2 B.14 C.7 D.6或7例7.(2022全国高三专题练习）已知数列忆、丸都是等差数列，设a,的前n项和为S,丸的s_ 2n+1 前n项和为T,，若-;-=a Tn 3n+2，贝lj一b()5 A.19 29 B.ll 25 C.11 17 2-3 D 例8.(2022全国高三专题练习）已知正项数列a,满足a1=l,a2=2,且对任意的正整数n,I+a，盓是式和a，认的等差中项，证明：忆，+I-式是等差数列，并求an的通项公式例9.(2022全国高三专题练习）已知数列忆满足a,=1,且点(a,a,+12”)在函数f(x)=3x的图象上，求证：生l是等比数列，并求a,的通项公式：例lO(22/22：国高三专题练习）有下列三个条件数列a,，2是公比为占的等比数列，三是公差为1的等差数列，S，,2a,，-l，在这三个条件中任选一个，补充在题中”“处，使问题完整，并加以解答3 设数列忆的前n项和为S11,a1=I,对任意的nEN.，都有已知数列丸满足bn=(2),a a,是否存在kEN*，使得对任意的nEN*，都有-5-？若存在，试求出k的值；若不存在，诸说明理由b b 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【技能提升训练】一、单选题s s 1.(2022全国高三专题练习）在等差数列忆中，（11=-2021,其前n，项和为S,，若_!Q_=2,则S202110 8 等千（)A.202 B.-2021 C.-2020 D.2020 2.(2022全国高三专题练习）已知数列包是等比数列，数列丸是等差数列，若a4as a.;=-33,b4+b8+b9=2冗，则tanb4+bw=()a3 a11-1 A.-$B.$C.石3 石3D 3.(2022全国高三专题练习）记等差数列all的前n，项和为S,，若a6=16,S5=35，则a1的公差为()A.3 B.2 C.2 D.-3 4.(2021-湖北高三阶段练习）已知S,，是等差数列a,的前11项和，若a2+aw=l0,则s,1=c)A.22 B.45 C.50 D.55 5.(2021四川遂宁模拟预测（理）已知数列a,1的前n项和S,，且a,满足2a,+1=a,+a,+2,a5-a3=2,若S4=4S2,则a9=()A.9 17-2 B C.10 D.19 2 6.(2022全国高三专题练习）设等差数列a,小b,)的前n项和分别为S,“T,，若对任意的nEN,都S上,-2n-3 a2 a14)有T/1-4n-3,则b3+b13十比bll的值为（A.29 B.13 C.9 D.19 45 29 19 30 7.(2022全国高三专题练习）等差数列知中，a1+3a叶叩120,则2a9-a10的值是（)A.20 B.22 C.24 D.8 8.(2022全国高三专题练习）设忆是等差数列，且a,+a2=12,a3+a4=I 8,则as+a6=()A.-12 B.O C.6 D.24 9.(2022全国高三专题练习）已知等差数列忆的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为（)A.28 B.29 C.30 D.31 10.(2022全国高三专题练习）等差数列all的前n项和为S,若劝nEN飞，I:,;s7 则数列叶的通项公式可能是()A.a.=l6-3n B.a11=l5-2n C.a,=2n-14 D.a,=2n-15 s s 11.(2021贵州毕节模拟预侧（文）等差数列a,的前n项和为S,，若二皿=-型廿l且al=3，则（2021 2020 A.a,=2n+l B.a,=n+l C.S,.=2n2+n D.S,=4n2-n S.2n 12.(2021安徽定远高三阶段练习（理）等差数列伈和位，的前n项和分别为S,，和T,，且一-，Tn 3n+l a 则?-=b 2_3 A 9-14 B C.20 31 7-9 D 13.(2022全国高三专题练习）设等差数列忆的前n项和为S,，若4+a,=a2+a5,则s,1=c)A.28 B.34 C.40 D.44 14.(2021广东广州高三阶段练习）已知S,，是等差数列忆的前n项和，a,0,SI 1 O,a泣4+2a3as+Cl4a6=25，那么a3+a5=(A.5 B.JO C.15 D.20 21.(2021陕西安康高三期中（理）等比数列a,的前n项和为S,a,=1,S3=3,则()A.1 B.5 C.或31D.5或1122.(202四川双流中学高三阶段练习（理）已知忆为等比数列，凡是它的前n项和若生生2a,5 且凸与纯的等差中项为，则S5=()4 A.29 B.31 C.33 D.35 23.(2021西藏拉萨那曲第二高级中学高三阶段练习（文）记等比数列忆的前n项和为S，若a2=，4 s 3=，则公比q=(8 A.!2 l-2 B C.2 2 或J_2 D 24.(2021山西运城高三期中（文）数列a,1中，a1=2,对任意m,n E N+,a,+,=a,all若ak+I+ak+2+ak+IO=215-25，则k=()A.2 B.3 C.4 D.5 25.(2021辽宁大连市第一中学高三期中）等比数列an的前n项和为S,，若SIi=t-211-I-，则t=()A.2 B.-2 C.I D.-1 3 26.(2022全国高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列忆满足a3、a4、2a5成等2 差数列其前n项和为S,，且31,则（)A.a11千）r-4B.all=2一32 n C.S_=32 1 n-2”一5D.S,=2-4-16 5 27.(2022全国高三专题练习）已知a,，为等比数列，且气a3=2a1,a4与孕的等差中项为，则a尸4()A.l B.2 C.31 l一2D 28.(2022浙江荷三专题练习）已知l,a,a2,9四个实数成等差数列，1,b,b2,b3,9五个数成等比数列，则b2(a广m)等千()A.8 B.-8 C.士89-8 D 二、多选题29.(2022江苏高三专题练习）等差数列忆是递增数列，公差为d,前n项和为S,，满足a7=3a5,下列选项正确的是（)A.dO B.01 0时n的最小值为8三、填空题a 30.(2022全国高三专题练习）在等比数列忆中，3a1,a5她成等差数列，则?-2 a7 31.(2022全国高三专题练习）已知S,，为等差数列包的前n项和，且鸟35,a产生a4=39,则当S,，取最大值时，n的值为.32.(2022上海宝山一模）已知数列(an)的前n项和为S,，且满足a,.=1+(n-1)d,5a2=a8,则S，,=33.(2022全国高三专题练习）设等差数列忆的前n项和为S,S9=18,S11=240,a,_4=30,则n=34.(2022全国高三专题练习）已知等差数列忆的前n项和S,，有最小值，且l0 a12 成立的n的最小值是.35.(2022全国高三专题练习）在等差数列all)中，S8=100,S16=392,求沁-36.(2022全国高三专题练习）已知公比大于1的等比数列忆满足a凸1.44,a2+a4=30,则公比q等于.37.(2022全国高三专题练习）在等比数列伽中，各项均为正值，且a6a10+a3as=41.a叱8=5，则a4+as=_.38.(2021海南三亚华侨学校高三阶段练习）若数列a,为等比数列，且lZi+a2=1,+a4=4,则a9+aw=_.39.(2022全国高三专题练习）已知等比数列动中，凡为其前n项之和，S10=20,S20=80,则沁40.(2021江苏无锡市第一中学高三阶段练习）已知等比数列a,的前n项和S11=ax3”2则a=四、解答题41.(2022全国高三专题练习）已知数列a,的各项均为正数，记S/，为a,的前n项和，从下面CD中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列a,是等差数列：数列Js:是等差数列；a,=3a1.42.(2022全国高三专题练习）已知数列a,，中，a1=2,a,+1=a11+211+2.(1)证明数列all2”为等差数列；(2)若数列a,，前n项和Snn2n+31,求n的最小值43.(2021江西南昌模拟预测（文）已知等差数列a,的前n项和为S,Cl5+G 9=2,S3=57(1)求数列叶的通项公式a,;(2)求数列因的前n项和T.44.(2021全国高三专题练习）已知等差数列a,，）的前n项和为S,，且a6=-5,S4=-62(1)求an)通项公式；(2)求数列Ian I)的前n项和T”45.(2022全国高三专题练习）已知数列a,的前n项和为Sn=33n-n2.(1)求证：数列忆是等差数列；(2)求凡的最大值及取得最大值时n的值46.(2022全国高三专题练习）已知数列叶，九满足：a11.+1+1=2a11+n,b11-an=n,b1=2证明数列丸是等比数列，并求数列b,的通项；47.(2020湖南长沙一中高三阶段练习）数列忆满足：3 a,一，2a,+1=a,+n+2.2(I)记丸an-n,求证：数列九为等比数列；(2)记凡为数列a,的前n项和，求S,.3 48.(2022全国高三专题练习）已知数列(a11)满足a1=:;,3a,2a，田，ana,l+1成等差数列，证明数列7 且l是等比数列，并求a11)的通项公式49.(2022全国商三专题练习）已知数列“小仇，其中a1=3,b,=-1,且满足a,=-;-(3a11-1-b11-2 1),b11=抒(an-I3h11一1),nEN*,n22求证：数列an-b11)为等比数列50.(2022浙江高三专题练习）已知忆是等差数列，a1=1,a4=10,且（11,ak(k e N*),a6是等比数列九的前3项(l)求数列a,丸的通项公式；(2)数列忆是由数列包的项删去数列九的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列(,1的前20项的和第14讲等差数列、等比数列基本量【知识点总结】一、基本概念l数列(l)定义按照一定顺序排列的一列数就叫做数列(2)数列与函数的关系.从函数的角度来看，数列是特殊的函数在y=f(x)中，当自变谥xEN时，所对应的函数值f(1),f(2),f、(3),.就构成一数列，通常记为an，所以数列有些问题可用函数方法来解决2等差数列(l)定义一般地如果一个数列从第2项起每一项与它前一项的差等千同一常数，则该数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母d表示，即a,+1-a,=d(nE N).(2)等差数列的通项公式若等差数列a,，的首项是u1，公差是d，则其通项公式为a,=0i+(n-l)d=nd+(0i-d)，是关千n的二燃型函数或a,=a,.,+(n-m)d，公差d=a,a,（直线的斜率）（m#-n,m,n E N)n-m(3)等差中项若x,A,y成等差数列那么A叫做x与y的等差中项，即A=x+y或2A=x+y在一个等差数列中，从第22 项起（有穷等差数列的末项除外），每一项都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上，等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项(4)等差数列的前n项和S=包a,)n-,n(n-l)d d _ _ 2,2a1-d=n4+n江n（类似千凡An2+Bn)，是关千2.2 2 2 d n的二次型函数仁：次项系数为且常数项为0)S的图像在过原点的直线(d=O)上或在过原点的抛物线.2.“(d丑0)上3等比数列(1)定义一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等千同一个非零常数，则该数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，常用字母q表示，即=q(q引O,nEN)(2)等比数列的通项公式等比数列的通项a=牛q，一l(3)二 qm-n a,I(4)等比中项a,a=c q(c书（al,q引O)，是不含常数项的指数型函数q 如果x,G,y成等比数列那么G叫做x与y的等比中项，即G2=xy或G土i示两个同号实数的等比中项有两个）(5)等比数列的前n项和S=勹(q-q;，l:=a11-(q*l)二、基本性质l等差数列的性质(l)等差中项的推广当m+n=p+q(m,n,p,q EN*)时，则有a,+a,=a1,+aq，特别地，当m+n=2p时，则有a,+a,=2aP.(2)等差数列线性组合CD设a,)是等差数列，则Aa+b（入，bE R)也是等差数列设a,b,，）是等差数列，则加an十Aib,（A,A-iER)也是等差数列(3)等差数列的单调性及前n顶和S,，的最值公差d 0?a,为递增等差数列，S,有最小值，公差d0，则S有最大值（所有正项或非负项之和），dO 若1 0”(4)其他衍生等差数列，若已知等差数列an，公差为d，前n项和为Sn，则Sm,S2111-Sm,S.1m-S2111,为等差数列，公差为m2d.3等比数列的性质(1)等比中项的推广若m+n=p+q时，则a111a11=a,)丸，特别地当m+n=2p 时，a111a11=a!(2)设a,，)为等比数列，则入a,1（入为非零常数），1a,II，a,11”仍为等比数列设a,1与b,1为等 比数列，则a,1b,1也为等比数列(3)等比数列a,，)的单调性（等比数列的单调性由首项a1与公比q决定）寸0或ll.Oq0 或al0时，a，)为递减数列Oql(4)其他衍生等比数列若已知等比数列all，公比为q，前n项和为S,1，则s111,s2111-s111,s3111-s2111为等比数列，公比为矿（当q=-1时，m不为偶数）4等差数列与等比数列的转化(1)若a,，为正项等比数列，则logea,(c O,c#-l)为等差数列(2)若a,，为等差数列，则c0(c0,c#-l)为等比数列(3)若a,既是等差数列又是等比数列-a,l)是非零常数列【典型例题】例1.(2022全国高三专题练习）等差数列a11)的首项为1，公差不为0若a2,a3,a6成等比数列，则a11前6项的和为（)A.24 B.3 C.3 D.8【答案】A【详解】根据题意得忒a2a6，即（a叶2时（a叶(/)(a叶5d),解得d=O（含去），d2,6x5.6x5 所以数列a,)的前6项和为s6=6a,+d=6xl+x(-2)=-24 2 2 故选：A例2.(2022全国高三专题练习）已知等差数列a,的前n项和为S,，且a4+a6=10,则S9=()A.38 B.50 C.36 D.45【答案】D【详解】S9=9x(a1飞）9x(a4飞）9xl02=2=2=45 故选：D 例3.(2022全国高三专题练习）等比数列a的前n项和为S,已知S3=a计1Oa,as=9,则a尸()l j C.一l A.-B-3.3 9【答案】C【详解】因为S3=a2+10匹所以a,+a2+a3=a2+I Oa,即a3=9a1,即a矿9ai,解得q2=9,又因为as=9,所以a矿9,I 解得4=9,故选：C.D.1-9 例4.(2022全国高三专题练习）设等比数列a,的前n项和记为Sn，若S,o:Ss=l:2，则S15:s5=()3 A.-4【答案】A【详解】解析？数列（仙为哼比数列，且其前n项和记为Sn,2-3 B _2 c l-3 D:.Ss,S10-Ss,S1s显成等比数列:S10.岛I:2，即 S1o=Ss,S1 0-Ss 1:哼比数列Ss,S10-S5,S1s-S10的公比为-=-S5 2 I l:.S15-S10二一(S10-Ss)=-:-Ss.2 4 3 s15=-S5+Sn=-S5 4 3.s15:S5=-.4 故选：A.例5.(2020全国高考真题（理）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇而形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）()A.3699块【答案】C【详解】B.3474块C.3402块设第n环天石心块数为Cl,，第一层共有n环，D.3339块则a,，是以9为首项，9为公差的等茬数列，a,=9+(n-l)x9=9n,设凡为a,)的前n项和，则第一层、第二层、第三压的块数分别为S,I,S2/lSll,S311-S初，阳为下层比中层多729块，所以S3-S211=S2-Sn+729,即3n(9+27n)_ 2n(9+18n)2n(9+18n)n(9+9n)2 2=2 2+729 即9n2=729,解得n=9,所以s3=s21=故选：C 27(9+9x27)=3402.2 例6.(2019海南嘉积中学高三阶段练习）已知S,，是等差数列忆前n项和，a3=-8,a6=-2，当S，I取得最小值时n=(A.2【答案】D【详解】).B.14 C.7 D.6或7设等差数列忆的公差为d,:a3=-8,a6=-2,:.a1+2d=-8,a1+5d=-2,联立解得：al=12,d=2,:.a11=-12+2(n-l)=2n-14,令a,=2n-14:0，解得n:7.当 凡取得最小值时n=6或7.故选：D.例7.(2022全国高三专题练习）已知数列a”、丸都是等差数列，设all的前n项和为S,，位，的S 2n+l 前n项和为T,，若=T,3n+2=a5-b5 _-贝)A.19 29 B.IJ _ 25 C.I I 17 D.2-3【答案】A【详解】S 2n+l II -=T,3n+2 9(a1+心a5 _ 2a5 _ a,+a9 _ 2 _ S9 _ 2 x 9+1 _ 19 一=b5 2b5 b1+b9 9(b，十体）飞3x9+2 29 2 故选：A 例8.(2022全国高三专题练习）已知正项数列all满足a1=l,a2=2,且对任意的正整数n,I+a比是式和a沁的等差中项，证明：an2+l式是等差数列，并求all的通项公式【详解】证明：由题知a!+2+a,;=2(1+a+1),得(a沁a比）（a，？+l-a，了）=2 所以a:1-a,？是以a;-a=3为首项，公差为2的等差数列，即咕十1-a,=3+(n-l)2=2n+l,当n 之 2时，式（a，？-a,:-l)+(a,?-l-a，认）+(ai-a,2)+a;n(n-J)=2(l+2+n-l)+n=2x+n=n.2,2 当n=l时，ai=l也符合题意，所以a,:示，又a,10 所以an=n.例9.(2022全国高三专题练习）已知数列忆满足a,=l,且点(an,Q11+I2”)在函数f(x)=3x的图象上，求证：产是等比数列，并求a,，的通项公式：【详解】由点(a,a吓l-2”)在函数J(x)=3x的图象上，可得a,+1=2+3a,所以生斗竺三1即生兰3生12“2”21+1 2 2n 2 也即匡气巨），a 由al=1，所以4+l=-,3 21.-2 所以生1是首项和公比均为2的等比数列，2”2 畛玉）勹所以an=3n-2;例JO.(2022全国高三专题练习）有下列三个条件：CD数列忆2是公比为上的等比数列，尸上是n 公差为1的等差数列，凡2a,-l,在这三个条件中任选一个，补充在题中”“处，使问题完整，并加以解答3 设数列忆的前n项和为S11,a,=l,对任意的nEN*，都有已知数列b,满足丸（），2 是否存在kEN*，使得对任意的nEN*，都有t5赍？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【详解】a 记C/1=_I!_，从而有C11S ck(nEN勹bII 选择，数列a11-2是公比为占的等比数列，囚为a,=I,所以a,-2=(i)I-I，即a，1=2-(i)II-I 所以釭=G_ 2n+l-2 b,3 0,所以生压2n+I-1 c,.3(2-1)由2+!-1 3(2-1)$1:2n 2:卢1当n=l时，C1=c2,当n2时，C11+l 0,从而二三c 2(2n+l)bn 3 C,3(2n-l).2(2n+1)5 由3(2n-l)s;l2n:5n C,，；当n3时，c心IC,a 所以当n=3时，C，取得最大值，即.!.取得最大值b,I a a 所以存在k=3,使得对任总的nEN*，都有-cK+I,(K 2 2)，得%:5k:5丿，解得k=3Ck C七l22 选择，方法一：S11=2a11-1,则S,+1=2a,，十ll,从而a,1+l=S心1-S11=2a,+i-1-(2a,-1)=2a11+1-2a,即a,+1=2a,.又a1=1,所以数列a,，是首项为I,公比为2的等比数列，所以Q,，=2,I,所以g生厂），一10,从而勹气I,即c,+1 c,bn 33 所以数列c,为单调递增数列，故不存在KEN，使得对任意的nEN.，都有一a,Qk b b n k 方法二：利用房节气4：求解3,a,=2n I,b,r=(2),i)”“-K 气飞气丘勹幻飞主）K 5 l,a a,囚为k,nEN，所以不存在KEN今，使得对任总的neN令，都有一5k b,bk.【技能提升训练】一、单选题s s I.(2022全国高三专题练习）在等差数列a,中，1i=-2021,其前n项和为S,，若4立=2,则S2021IO 8 等于（)A.2021 B.-2021 C.-2020 D.2020【答案】B【分析】山等差数列性质可知数列立为等差数列，山已知等式可求得其公差d=1，结合等差数列通项公式可心，进而得到结果n【详解】了数列a,为等差数列，数列厂叶为等差数列，设其公差为d,SIO$S 又一2d=2,解得：d=l,又=a1=-202),10 8 s.二2021+2020=-1,:.S2021=-2021.2021 故选：8.2.(2022全国高三专题练习）已知数列a,是等比数列，数列b,是等差数列，若a4a8-=-33,b4+bg+b9=2冗，则tanb4+blO=()a3 a11-1 A.-3 B.J3 五3c 五3D【答案】A【分析】设数列a,，)是公比为q的等比数列，数列b,1)是公差为d的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，以及等比数列和等差数列的中项性质，化简已知得Cl,=-3b 2冗b4+b10=，代入tana3 G11-1 即得解【详解】设数列a,，是公比为q的等比数列，数列丸是公差为d的等差数列，若a4 Clg 0,=迈，b4+b8+b9=2冗，则a1矿xalq7XG矿 一3五，bl+3d+bl+7d+bl+8d=2冗，即为a矿 3,b1+6d=,2兀即a7=石，b72冗=3 则tanb4+bl。2b72冗=tan =tan=-fj.(h.aII-l a/-1 故选：A3.(2022全国高三专题练习）记等差数列an的前n，项和为S,，若a6=16,S5=35，则a，的公差为（)A.3 B.2 C.-2 D.-3【答案】A【分析】设等差数列忆的公差为d,将条件转化为a，和d表示，得到方程组，解得d的值【详解】解：设等差数列all的公差为d,囚为a6=16,S5=35,所以a1+5d=165lli+J Od=35 al=1 解得：d=3 故选：A.4.(2021湖北高三阶段练习）已知凡是等差数列a,的前n项和，若,l2+,lIO=10，则乳()A.22【答案】DB.45 C.50 D.55【分析】利用等差中项和等差数列前n项和公式求解【详解】由题意得，生aw=2a6=10,则(16=5 故S11=l la6=55.故选：D5.(2021四川遂宁模拟预测（理）已知数列忆，的前11项和Sn,且忆，满足2an+I=a,+an+2,a5-a3=2,若S4=4S2,则a9=()A.9 17_2 B C.10 D.-19 2【答案】B有【分析】根据2a,+I=a,+Qn+2判断出伈是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案【详解】山2an+I=Q11+Q11+2可知，包是等差数列，设公差为d,所以a5-a3=2d=2d=I,l7 由S4=4S24a1+6=4x(2a1+1)al=，所以彴82 2 2.故选：B.6.(2022全国高三专题练习）设等差数列a，小b,)的前n项和分别为S,1,T，若对任意的nEN,都S,2n-3，则a2,a14=+兀4n-3、从b13戊bll的值为（A.29 45 B.13 29 c.9 19 D.19 30【答案】C【分析】根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答栥【详解】由题意可知b3+b13=b叶如b叶加2b沁a2+1 4=a2+a14 生汪2xl5-3旦2从b13从bll2b8 勾飞s4xl5-3 57 19 故选：C.7.(2022全国高三专题练习）等差数列伽中，a1+3as+a1s=120,则2a9-a10的值是（)A.20【答案】C【分析】B.22 根据等差数列的性质司求【详解】C.24 D.8 因为a1+3a叶a1s=Sas=120,所以“8=24，所以2a9-a1o=a10+as-a1o=as=24.故选：C.8.(2022全国高三专题练习）设all是等差数列，且a,+a2=12,a3+a4=18,则as+a6=()A.-12 B.O C.6 D.24【答案】D【分析】根据等差数列性丿贞可知a产生，生a4a5+a6成等差数列，由此可构造方程求得结果【详解】:a,是等差数列，a1+a2,a3+a4,a5+a6成等差数列，:.2(a3+a4)=(l1气）（生飞），a5+a6=36-12=24.故选：D.9.(2022全国高三专题练习）已知等差数列忆的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为（)A.28 B.29 C.30 D.31【答案】B【分析】本题可设等差数列all共有2n+I项，然后通过S矿悚即可得出结果【详解】设等差数列忆共有2n+l项，则斗a1+a3+a5+a2心，S偶a2+a4+a6+.+a初，中间项为an+)故S奇Sf/lla1+（生一生）（a5-a4)+（生，r+I-Q211)=a1+d+d+-+d=Gi+nd=a，田，a,+1=S奇S偶319-290=29,故选：B.10.(2022全国高三专题练习）等差数列忆的前n项和为S,，若r:In E N,S11:5:S7,则数列忆的通项公式可能是（)A.a.=l6-3n,C.an=2n-14【答案】B【分析】B.a,=15-2n D.a,=2n.-15 由已知可得得a72 0,a$0，逐项排除可得答案【详解】因为忆是等差数列，且Vn E N,S,S7,得a?以0,a8 0,对千A,a7=l6-3x7=-50,a8=152x8=1 0,故错误；对丁D,a7=2x7-15=-10,故错误故选：B.s s I l.(2021贵州毕节模拟预测（文）等差数列忆的前n项和为S，若-皿=-皿+1且al=3，则（)2021 2020 A.a,=2n+l C.,S=2n+n“【答案】A【分析】B.a11=n+1 D.S,=4n2-n s 等差数列前n项和S,，构成的数列公差为原数列公差的一半【详解】设a,的公差为d,:s n(n-1)S11=na1+d S n-1.d d,:.I!.=al+d=-n+a1-,n2 22 s 即-为笐差数列，公差为，d n 2 S S d 由2O2l_ 2O2O=1知=l d=2,2021 2020 2 n n(3+2n+l)故a,=2n+l,S,=n2+2n.2 故选：A.S 2n 12.(2021安徽定远高三阶段练习（理）等差数列a,和九的前n项和分别为凡和T，且=T 3n+l=055_b3 则A.2-3(、丿B.9-14 C.20 31 D.7-9【答栥B【分析】利用等差数列的前n项和公式s2n一1=(2n-l)a,【详解山此能求出结果解：等差数列a11,b,的前n项和分别为S,.,Tn,若生2n b 3n+l 拉，与b,，是两个等差数列，它们的前n项和分别为凡和T,又等差数列的前叮员和公式S2,_1=(2n-I)a,9-14 _ 生从以所S9 9a5 2x9 9 一=-飞9b53x9+1 14 故选：8.【点睛】本题考查两个等差数列的前5项和的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用13.(2022全国高三专题练习）设等差数列忆的前n项和为S,若4+a1=a2+a5,则SIi=、丿A.28【答案】D【分析】B.34 C.40 D.44 根据等差数列的性质a6+a1=a2+a5并结合已知可求出a6冉利川等差数列性质可得Sil=ll(a1+a11)2=lla6,即可求出结果【详解】因为a6+a1=生+a5,所以由4+a1=a2+a5,可得所以a6=4,ll(a1+a11)所以S11=l la6=44,2 故选：D 14.(2021广东广州高三阶段练习）已知凡是等差数列忆的前n，项和，生0,SIi 0,则凡的最小值为（)A.S4【答案】C【分析】B.S5 C.S6 D.S1 根据Sll0，可得a6O,从而可得出答案【详解】ll(a,+a11)解：因为S1 1=1 la6 0,所以a6O,所以dO,所以S,，的最小值为s6故选：C.15.(2022全国高三专题练习）我国明代数学家程大位的算法统宗中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(l贯1000文），问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（)A.30.8贯【答案】A【分析】B.39.2贯C.47.6贯D.64.4贯由题意知甲、乙、1利丁、戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果【详解】解：依次记甲、乙、丙、丁、戊五个人所得钱数为a1,a2,a3,a4,as,山数列an)为等差数列，可记公差为d,依题总得：a1飞飞a4+a5=5(a,+2d)=238,a,-a5=33.6 解得a1=64.4,d=-8.4,所以as=64.4-33.6=30.8,即戊所得钱数为30.8贯故选：A.【点睛】本题考查了等差数列项的性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题16.(2022全国高三专题练习）已知等比数列a,的各项均为正数，且a3=3,则log3 a1+log3 a2+log3生十log3a4+log3 a5=()A 5.2【答案】B【分析】利用等比中项和对数的运算件质可求得结果B.5 C.10 D.15【详解】因为等比数列叶的各项均为正数，且a3=3,所以log昂log心log心log心log心log3(a,生Cl:J a4 a5)=log心log335=5.故选：B.17.(2022浙江高三专题练习）已知数列an是等差数列，数列丸是等比数列，若a1+a6+a11=41t,b2b5b8=8,则COSa4+（仿blb9 的值是（l一2A 8.l一2五2c D.石_2【答案】B【分析】利用等差中项和等比中项的性原分别求得a心丸的值，然后利用特殊角的角函数值可得出结果【详解】由等差中项的性质可得a,+a6+a,=3a6=4冗，.a6 竺3,由等比中项的性