辽宁省联盟2023届高考模拟调研卷数学（三）.pdf

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学试卷(三)本试卷共4页，2 2小题，满 分1 5 0分.考 试 用 时1 2 0分钟.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A=2)v 3 ,B =x-1 ,则 A uB=()A.川一1%3 B.x|-l x 4 1 C.1 x|x 4|D.x|-l x 0,b 0)的离心率为2,点为左顶点,点尸为右焦点，过点产作x轴的垂线交C于A,B两点，则()A.4 5 B.6 0 5.北京2 0 2 2年冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可爱，某教师用吉祥物的小挂件作为奖品鼓励学生学习，设计奖励方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1,2,3,4,5,6,现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为()1A.1 51B.-51D.256.在四棱锥 一ABC。中，底面4 BC。为正方形，PBC为等边三角形，二面角P-B C 4为3 0 ,则异面直线P C与A B所成角的余弦值为()7.已知A8C 中，Z B A C =12 0,A C =3 A B =3,D C =2 A D,在线段 8。上取点 E,使得 3 E =则 c o s N A E B=()而8.已知函数/（x）为 定 义 在 R 上的偶函数，当xw（O,z。）时，f x）2 x,/（2）=4,则不等式4l（x-l）+2 x 2 1 的解集为（）A.（-l,0）u（3,+o o）B.（-l,l）u（3,+o o）C.（-o o,-l）u（0,3）D.（-1,3）二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.随着我国碳减排行动的逐步推进，我国新能源汽车市场快速发展，新能源汽车产销量大幅上升，20 1 7-20 21 年全国新能源汽车保有量y （单位：万辆）统计数据如下表所示：由表格中数据可知y关于x 的经验回归方程为y 3 3.6 4,则（）年份20 1 7 年20 1 8 年20 1 9 年20 20 年20 21 年年份代码X12345保有量y/万辆1 5 3.426 0.83 8 0.24 9 27 8 4A.心=1 5 0.24B.预测20 23 年底我国新能源汽车保有量高于1 0 0 0 万辆C.20 1 7-20 21 年全国新能源汽车保有量呈增长趋势D.20 21 年新能源汽车保有量的残差（观测值与预测值之差）为 7 1.4 41 0.已知圆 O：f+y2=,圆：（x 一 女）2+（一百攵=4,则（）A.无论上取何值，圆心。始终在直线y =G x 上 1 3 一B.若圆。与圆Ck 有公共点，则实数人的取值范围为C.若圆。与圆 的 公 共 弦 长 为 乎，则 k=1 或=;D.与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两3个圆的外公切线，当=巳时，两圆的外公切线长为2 021 1.已知函数/（x）=2s i n x+）e（其中。0,0 夕 兀）的图像与x 轴相邻两个交点之间的最小jr距禺为一，当x e42,2,JT时，/（X）的图像与X 轴的所有交点的横坐标之和为：，则（A./y j =l-V 2 B/x）在区间卜 看 用 内单调递增C.f C x）的 图 像 关 于 点 一 对 称 D./（x）的图像关于直线x=q对称31 2.已知抛物线C:f=2 p y （p 0）的焦点为R斜率为1的直线4过点尸交C于4,8两点，且点B的横坐标为4,直线4过点B交C于另一点M （异于点A）,交C的准线于点。，直线AM交准线于点E,准线交y轴 于 点 初 则（）25A.C 的方程为 Y=4y B.AB=C.|BD|?对任意x 0,20 23 恒成立则 的 最 小 值 为.1 6 .我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体ABCQE F G 4,其中ABC。是边长为4的正方形，E F G H 为 矩 形,上、下底面与左、右两侧面均垂直，E F =4,F G =2,A E =B F =C G =D H ,且平面A B C D与平面E F G 4的距离为4,则异面直线B G与C H所 成 角 的 余 弦 值 为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .在数列%中，1 =2 0 ,。”+1=|。一3卜（1）求%的通项公式；（2）求%的前 项和S”.1 8.如图，在平面四边形 ABC。中，C D L D B,C D =l,B=6,D4=2.(I)若 NZM5=6 0 ,求 cosZACB；(2)求+的取值范围.19.近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推出了两套方案，并分别在A,B 两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作.建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了 100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分)，将数据分成6 组：40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,并整理得到如下频率分布直方图：频率(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表)；(2)估计A 小区满意度得分的第80百分位数；(3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低 于 70分说明居民不太赞成推行此方案.现从B 小区内随机抽取5 个人，用 X 表示赞成该小区推行方案的人数，求 X 的分布列及数学期望.20.如图，在多面体以BCFE中，出，平面ABC,P A/C F/B E,且 PA=2CF=4B E,D 为 出 的中点，连接 8Q,P C,点 M,N 满足 P N =2 N C .(1)证明：MN 平面PEF；(2)若 Q4=2AB=28C=4,c o s Z P E F =-,求直线PC与平面PE尸所成角的正弦值.652 1.己知椭圆C：1 +21Cab0左顶点为月，上顶点为8,且|A 8|=J 7,过右焦点尸作直线/.当直线/过点8时，斜率为 6.(1)求C的方程；(2)若/交C于P,。两点，在/上存在一点M,且Q M =F P,则在平面内是否存在两个定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由.2 2.已知函数/(x)=evc o s x.(I)求/(x)在区间(o,内的极大值；(2)令 函 数/(x)=D L 当。逑时，证明：F(X)在区间(0,工)内有且仅有两个零点.e x k 乙)数学(三)一、选择题1.D【解析】由x(x 2)3得f 一2%3 0,解得A =x|l x 0,X +1 X+1A-X即一 j Z O,即(4 x)(x+l)2 0 且x+I WO,解得3 =x l x W4,所以 A u B =x|-l x W4.故选D项.2.C_【解x析r-_】、设.z =a+Z,?.i(m b R),n l则 z ；=a-+-b-=-+-i-)=a-+-h-+h-a-.1,因、为.人复皿数 z；1 +i 1 +i 2 2 2 1 +ii,b-a=1,所以-2a-h2=0,a=-b,z为纯虚数，所以解得又h-aa手b,1+1。0,1 2=1或N=一1,解得力=1或b=1,所以z =l+i或z =l i.故选C项.3.C【解析】由题意得0 =2,即c =2 a,又。2=+/，所以匕2=3。2,设点A在x轴上方，则a又1=3 a,所以|A耳=3 a,|M E|=a +c =3 a,因为Z A f M=9 0。，所以Z A M b =4 5。，所以N A A汨=9 0。.故选C项.4.C【解析】由题知段)的定义域为R,又/(一 月=空 界=/等=/(x),所以色)为奇函数,wi n 4排除A,B项；/(1)=丁 P(A)=g=，故P(4|A)=PC)=：.故选B项.C；C；1 5 v v C6 3 ”P 56.A【解析】如图，由A B C D,得N P C Q为异面直线A 8与P C所成的角或其补角，设E,F分别为BC,A。的中点，连接P E,PF,E F,由底面48 C。为正方形，P B C为等边三角形，得P E LB C,FEX.B C,所以/P E F=3 0.设48=2,则P E =百，由余弦定理得尸尸=1,X PF1AD,FD=,所以P 0=J5,4+4-2 3又 PC=C D=2,所以c o s/P C =-=-.故选 A 项.2x2x2 47.D【解析】由题意知N A E B是向量A E与向量B O的夹角，B D =B A+A D =-A B +-A C,33 1 1A E=A B+B E =A B +-B D =-A B +-A C,4 4 4B D-A E -A B +-A c (-A B +-A c -(-A B -A B A C +-A C -,I 3 八4 4 J 41 3 3 J 4s 河|=/*泊.V 73n./4 BD AE 4 p2A*小 小 一 e则 c o s NAEB-r；r -故选 D 项.H网国叵74A D C8.A【解析】因为/(x)2x,所以/(x)-2x 0,构造函数9(x)寸x)f,当xC(0,+8)时，尸寸(%)一2尤0,尸(x)在区间(0,+8)内单调递增，且尸(2)=0,又八元)是定义在R上的偶函数，所以尸(x)是定义在R上的偶函数，所以F(x)在区间(一8,0)内单调递减，且尸(一2)=0.不等式顼整理得求无一l)+2?-x,-%0,即 x g 1)一(了-1)2 0,当 x 0 时，/一 1)一(彳-1)2 0,则 xl 2,解得 x 3；当 x 0 时，儿r-1)一(1)2 0,则一2 彳-1 0,解得一1 1,又 x 0,所以一l x 丁+乂的解集为(一1,0)口(3,+8).故选A项.二、选择题9.BC D【解析】由题得嚏=3,亍=41 4.08,代入可得方=1 49.24,A项错误；2023 年的年份代码为7,代入y=1 49.24x3 3.64得 y=1 0 1 L 0 4,高 于 1 000万辆，B 项正确；C 项显然正确；将 4 5,代入y=1 49.24x-3 3.64得 y=7 1 2.56,相应的残差为 7 8 4-7 1 2.56=7 1.44,D 项正确，故选 B C D 项.1 0.AC D【解析】圆心C*的坐标为卜,也 攵)，在直线 =G x 上，A项正确；若 圆。与圆Ci 有公共点，则 1 W|O Q|W 3,所以1 4/公+3/3,解得一一4%一一或一4 女二，B项错误；将圆0 与圆Q 的2 2 2 2方 程 作 差 可 得 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程 为 2日+2 6 6-4 公+3 =0,则 圆 心。到直线的距离时，圆。与圆C*外切，圆心距为3,半径差为1,则外公切线长为3 2 =2 四,D项正确.故选A C D项.1 1.AB【解析】令人x）=0,则s i n（yx+/）=兀,所以 口%+=+2%乃，&e z 或G X+0=3 乃21乙 人 兀，471 2-（P+2攵 乃3%-9 +2k 兀k Z,解得 -,Y Z 或无C D二 4-,k e z,所以人x)的图像与x 轴相邻两个交点之C D间的最小距离为三，所 以 工=工，解 得。=2,所以 x)=2 s i n(2 x+e)-J 5,所以於)的周期2a)2a)2万T =7 1,当2Jl 29 2)1 2 x+W(-7T+*,万+0),令 於)=0,即s in(2 x+)=T 又。/-c 3 b -兀(p 4 3兀 兀 卬 3兀 卬 兀,0 7 1(p/2 ,f f =1 V2 ,A 项正确；由工 x 工，得 工2 +2 0,解得p=2,所 以C的方程为f=4y,A项正确：准线方程为y=-1,8(4,4),F(0,1),直线6的方程为y =；尤+1,与=4y联立解得x=-l或户4,所以A(1,；),则|A B|=J(4+l p +(4 ；2 54(2 1 m_ 1B项正确；设点用 m,，由题意知?#1且帆#4,所以直线 =-(x+1),令尸一(4 J4 4 v 71,得 x=一m +4m-1，即E(-若所I以|NE|=.同理可得。(若 1|N|所以|NZ)HNE卜4 m-4m +4m +4m-l2 、5 1 7,-1，所以|A E|=-,3 7 4S /I-Q忸*三 一,则|BD|A E|,C项错误.故选A B D项.三、填空题1 2 213.-【解 析】由 l o g53=,得 x=-=2 1o g3 5=l o g3 2 5,则5x l o g5 33*x 2 7 5=3啕2 5 x3 o g,2 5=2 5x2 5 =2 5”=514.4(答案不唯一解析】(X-石R联+福的展开式的 通 项 公 式 为（+i=C；（哄）n-r。丫-7一=C/k ,取 =4,r=l ,得=&,可得X（尤一五 也+5）的展开式的常数项为.：=4,所以的一个值可以是4.15.9【解析】由题知q a,=2,则/。川=2 x 2 T =2,所以。用 什，=2 7,所 以 吐 =2,所以数列%4,i 是 以 1 为首项，2为公比的等比数列，数列%“是 以 2为首项，2为公比的等比数列，则S2 n+=(t tl+3+生+1)+(%+/+a2 n-F1-22 x(l-2n)1-22n+2-3,“2，=2 x2 T =2,那么 X 2=J=1.4 x 2”邑”+|+2-1对 任 意 x G （0,2 0 2 3 恒 成 立，则只需x-l即可，令“X）m ax,则 r）在区间（0,2 0 2 3 上单调递增，所以2 0 2 22 0 2 39，因为l-2,+1X1-3X 1xx1 2 0 2 2 1 1所以17，即 一7 2 0 2 3,解得29,又eN*,所以的最小值为9.2 计2 2 0 2 3 2,+2 2 0 2 316.驾史【解析】如图，把此六面体补成正方体，连接A H,AC,由题可知A/B G,所以是165异面直线B G 与 C H 所成角或其补角，在 A H C 中，AW =/32+42=5,C H =/12+42+42.AC =4 0,则 c o s NA/Z CA H2+C H2-A C2 2 5+33-32 137332x A H x C H2 x 5 x 7 3 3 -165四、解答题17.解：(1)因为q=20,且 2 0 3X 6=2 0,2 0-3X 7=-l 0,所以当 W 7 时，an+l=a,-3,此时 4 是以2 0 为首项，3为公差的等差数列，则q=2 0-3 x（1）=2 3-3；当 九 2 8 时，q =田 一3|=2 3|=1，%=小 3|=口 3|=2，%=|佝3=|2-3=1，fl1)=1-31=11-31=2,，可得数列%是个摆动数列，则4=3+(T).23-3,7,综上，an=8.2/、山一q o(20+23-3)43 3/(2)当W7 时，Sn-=-；”2 2.、l 、i+堂乙 c c 1 72-7 _ -7 _ 371-21 3+133当力2 8,且为奇数时，5=57+1 x-F2X=77H-=-7 2 2 2 2当 心8,且为偶数时，S,=“+也产+1=即产，所以S.3 265+(1)-2+4 综上，Sn=43-3 2,8.18.解：（1）在 A B Q中，因 为0 8 =6 ,DA=2,N AB=60 ,由 余 弦 定 理 得(V3 J-=22+AB2-2 x 2 x AB cos 60,解得 AB=1,由 AB?+=D/V,得 AB，D B,此时 Rt/XCCB空RtZxAB。，可得乙4BC=120.在ABC 中，AB=1,BC=2,由余弦定理得 AC?=/2xlx2xcosl20=7,解得 AC=J 7,所以csZACB=2力=2 x 2 x j7 147 T(2)设NAO8二仇由题意可知0。/3cos0,在ACO 中,乙ADC=8*,由余弦定理得AC?=22+12-2x2xlxcose+)=5+4sin。，所以 AB2+8C2+AC2=7 -4 6 c o s O +5+4 sin e+22=16+8sin。一日，因为0 。工，所以一工。一 生(工，-|-,2 3 36 2 I 3 j 2所以AB?+BC2+的取值范围是(6 一 473,20).1 9.解：(1)设 A 小区方案一满意度平均分为申,则嚏=(45X0.006+55X0.014+65X0.018+75X0.032+85 X 0.020+95 X 0.010)X 10=72.6,设 B 小区方案二满意度平均分为 y,则 y=(45X0.005+55X0.005+65X0.010+75X0.040+85X0.030+95X0.010)X 10=76.5,因为 72.676.5,所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.(2)因为前 4 组的频率之和为 0.06+0.14+0.18+0.32=0.7 0.8,所以第80百分位数在第5 组，设第80百分位数为x,则 0.7+(X-80)X0.020=0.8,解得4 8 5,所以A 小区满意度得分的第80百分位数为 85分.(3)由题意可知方案二中，满意度不低于70 分的频率为0.8,低 于 70分的频率为0.2,现 从 B 小区内随机抽取5 个人，则 XX 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,P(x=o)=、51)31 2 5,P(x=i)=咱5=46 2 5 ,P=2)=嘿丫(、)1 5？I4 32 6 2 5 1尸(X =3)=C：C心1128-6 2 5 ,(AP(X =4)=C；-3务2 5 66 2 5，P=5)=噬丫1-1 0 2 4)5 -31 2 5，X的分布列为X01234P13125462532625128625102431254由二项分布知E(X)=5xg=4.PN PA20.(1)证明：连接AF交PC于点N,因为B 4CE,PA=2CF,所以=2,又PN=2NC,NC CF则点M与点N重合，所以AN=2NF,同理，连接AE交于点M,得AM=2ME,所以MN EF,又 的V(Z平面PER Ebu平面尸E F,所以M?V平面PEF.(2)解：由题意可知 PE=JAB2+PA=722+32=V13EF=JBC2+CF)=石,在尸中，PF2=P2+EF2-2PE xE FxcosZ PE F=13+5-2 x 7 1 3 x 7 5 x =12,65(I 丫AC1=PF2-PA=8,所以 AC2=AB?+BC2,所以 A8_LBC,以 B 为坐标原点，BC,BA,BE所在的12 直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以 P(0,2,4),E(0,0,1),FQ,0,2),C(2,0,0),PC=(2,2,T),EF=(2,0,1),EF t n 2x+z 0P=(O,2,3),设平面PE尸的法向量为 =(x,y,z),贝 心 不妨取x=l,则尸3,z=E P =2y+3z=0,-2,即=(1,3,2),设直线PC与平面尸所所成的角为仇.J|2xl+(-分*?*)*.2)|4 一 国、/P 1 百+(-2)2+(-4小2+32+(2)2 276x714 21所以直线P C与平面P E F所成角的正弦值为工-21院+/=7,2 221.解：由题意知|b r-又 =加+。2,解得a=2,=JL c=l,所 以C的 方 程 为 二+二=1.-=-73,4 3、C(2)由题得F(l,0),当直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为广9+1,P(x”?),。(及，刃)，M(x,y),联立*“=冲 +16 mX2 y2 得（3帆2+4）/+6阳 9=0,由根与系数的关系可得y+%=，则+=1,、7 3疗 +44 3x1+x2=7n(y1)+2=-一，因为 Q M=F P,所以(九一必，yy2)=(x 1,y 0),即无一怒二加一I,厂 疗 州 0八口,即n 1 8 1 4-3m2 =%+%=一6m,又 _ 16 _ 24m2+9m4 _ 48/n2 _ （-6m）-（3m2+4）2（3m2+4）2 （3/n2+4）22 2=1 5，即d+=l,4 4则点例是以1-g,0),(则 为 焦 点，长轴长为2的椭圆上的点.当直线/的斜率为0时，/与C相交于尸(一2,0),2(2,0)或P(2,0),Q(2,0),因为QM=b P,则点M为(-1,0),此时点M也是以(-3,。)，(g,。为焦点，长轴长为2的椭圆上的点，所以存在两个定点分别为(-g,o),J,。，点M到这两个定点的距离之和为定值2.22.（1）解:由题得/（x）=ev（cosx-sinx）=V2eA cos x+当卜j,/a)o,当时，/a)v o,所以a)在区间0,7)内单调递增，在区间内单调递减，所以大x)的极大值为/、i n l/4（x）1 1 orcosx-1（2）证明：/（工）=acosx =-eA x x x设(x)=o x c o s x 1,贝ij 厅(x)=a(c o s x-x s i n x),令 0(x)=c o s x x s i n x ,则0 (x)=-2 s i n x-x c o s x vO(O x 0,y=-1-0,即 (x)0,(x)在区间(0,xo)内单调递增；当x e。弓)时，(x)0,即(x)0,/?。)在 区 间 内 单 调 递 减.又/?(0)=-1V0,/工=1 迪，所 以 任=叵 一1 叵 X 逑-1=0,V 2 J 兀(41 8 8 7 t所以(x)在区间(0,?),(7,5)内各有一个零点，即尸(x)在区间(o,J内有且仅有两个零点.