2021-2022学年高考数学解析几何综合专练-应用四：圆锥曲线的综合之范围问题专练（教师版）.pdf

应用四：圆锥曲线的综合之范围问题专练（解析版）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知是 双 曲 线 C：上的一点，耳，心是C的两个焦点，若丽.丽 0,则 y 的取值范围是（）A.d当B.44）C吟净 D.（考苧【答案】A【分析】利用向量数量积的坐标运算化 简 函 丽 0,由此求得先的取值范围.【详解】由题知 （9 0）,&（6o）,=所 以 斯 丽 =（-6 一%,一%（6-%,一%）=苫；+乂；-3 =3 乂；一 1 0,解得-正 丫 立.3 3故选：A2.在平面直角坐标系 g中，已知点A（0,A/3）,B（0,-/3），动点加满足同=4,则 苏 瓦 的 最 大 值 为（）A.-2 B.0C.1D.2【答案】C【分析】根据题意得出M 的轨迹为椭圆，且方程为$+x2=l .设出点M 的坐标，利用向量数量4积的定义求出 祝 晨 砺，结合椭圆中X，）的取值范围即可求 出 面.荻 的最大值.【详解】2 2易知M 的轨迹为桶圆，其方程为汇+2=1,设M（x,y）,则丁=1-汇,4 4/.MA-MB=3 -y j-/3 -y j=因为y w 2,2 ,所以1 2 4 0,3 ,即 乎 一 2 e -2,1 ,.(丽西=1.f m a x故选：c.3.设A，F，是椭圆C：+$=l的两个焦点，若C上存在点P满足N 片？鸟=1 2 0。，则3 mm的取值范围是()A.(0,1 1 3 1 2,+8)B.(0,1 u 2 x/3,)C.(0,2 5/3,+o o)D.(O,-L12,+O O)【答案】D【分析】分类讨论，由要使椭圆C匕住在点加 满足/=；鸟.1 2 0。，N/WO.6 0。，当假设椭圆的焦点在X轴上，/MJ.1 2 0。，NM Q.6 0 ,t a n N 4M O.t a n 6 0。，当即可求得椭圆的焦点在V轴上时，Z f；M F.1 2 0o,N M Q.6 O。，通过t a n N R A/O,即可求得，的 取值范围.【详解】解：假设椭圆C:+=l的焦点在*轴上，则0?3,3 m假设M位于短轴的端点时，/6Mg取最大值，要使椭圆C上存在点M满足=1 2 0。,M/S.J 2 0 ,.6 0。，t a nZ.FiM O =避 湍L la n6 0。=6 ,3解得：。相，“当椭圆的焦点在丫 轴上时，3 0,直 线0 4的 方 程 为y =&xy=x-2,联 立，,=&彳=/王2 x,_ 81 2=4;王一弘一 8同理可得号=,所以4 一 元2I 阳=0 X hf)2=8直 -卢 W-=8&伫,“I ”1 6-(%+%)+中2|必-3|令 必3 =（x 0）,则左=?，所 以|E F|=8夜+,当。0时，|E F|=8 x/2 x；后+1 2立，当f 0)的焦点，直线/与抛物线C相交于尸，。两点，满 足/尸。=2/4 ，记线段PQ的中点A到抛物线C的准线的距离为“，则 园d的 最 大 值为()A.3 B.6 C.D.-3 3【答案】C【分析】设|P F|=m,|。尸|=，过点P,。分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P ,。，进而得1=!幽=业，再结合余弦定理得|P Q=疗+1+m”，进而根据基本不2 2一工1 等 式 求 解 得-4 x(1)3-4【详解】解：P F=m,Q F=n,过点P，Q分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为产,Q ,则 P P =m,Q Q =，因为点A为线段PQ的中点，所以根据梯形中位线定理得点A到抛物线C的准线的距离为1 =IP*.=四*,2 224因为 NPFQ=T，所以在 P F Q 中，由余弦定理得 I P Q =rtr+n2-2mnc o s =nr+n2+m n ,d1 _ (m+n)2 _(m +)2 _ 1所以|P Q 4(n?2+n2 4-tnn)4 (m+n)2-mn 4 rnn,tn+n)2mn I又因为(z +)2，所以(加 工 尸 当且仅当机=时等号成立，皿上 1=1 d/丛所以1加 4 x(1-：)3,故两造所以 向 的 最大值为日.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，宜线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设|P F|=?,|Q F|=，进而结合抛物线的定于与余弦定理得&=空，PQ=nr+,r+m n,再求最值.8.已知双曲线-q=1 的右焦点为尸，M（4,3后）,直线M尸与y 轴交于点N,点尸为双曲线上一动点，且 以|3石，直线MP与以MN为直径的圆交于点M、。，则|PM|PQ|的最大值为（）A.48 B.49 C.50 D.42【答案】A【分析】由已知可确定N 点坐标，从 而 确 定 以 为 直 径 的 圆，连接NQ,NP,PF,可将|冏/尸。转化为-丽 丽，进一步利用向量的线性运算得到|PM|P 0 =49-而 2,由双曲线性质可确定结果；【详解】由双曲线方程知：右焦点F（2,O）,M（4,3石）在双曲线上，直线“方程为丫 =孚（-2）,令x=O,解得：y=-3斯，.%（）,-3方）；以MN为直径的圆的圆心为尸，且附 臼=7.连接 NQ,NP,PF,2 在以 MN为直径的圆上，；.M Q，NQ,.|PQ|=|而|.cos（7r-NMPN）,:.PM-P=PMPN-cos-ZMPN）=-P M-P N =-（PF+F M y（PF+FN=F M2-P F2=49-P F2；.P为双曲线上一点，且|%|/，+ao)【答 案】D【分 析】2)由直线/：y =与 椭 圆C：三+二=1至多有一个公共点，即联立方程 (),化简5 4整理得直-型21,即可理解为双曲线反-生=1外 部 的 点(可 行 域)，转化为线性4 4 4 4规划的题，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到z =k +,w的取值范2围.【详 解】y=kx+m联 立 方 程X?y2+=11 5 4化筒整理得：(5/+4)+1 0的a+5 m 2-2 0=0因为直线/：y =辰+机与 椭 圆C：=1 至多有一个公共点,2:7 2所 以 =(1 0W-4(5 k2+4)(5/-2 0)1,4 4即 点(利，幻 满 足 双 曲 线 工-竺=1外部的点，即可行域，如图所示，旭 为X轴，后为y4 4轴,由图可知，当直线k=-竟+需与双曲线.-牛=【相切时为临界条件.k联 立，2 2 zm2 5k2-=14 4化简整理得：/-4 z z +2 z 2 -4 =0由题知，A =(4 z)2-4(2 z 2-4)=8 z 2-1 6 =0,解 得z =土四若可行域是双曲线公-左=1右支外部的点，即临界条件切线需要往上平移，即ZN0；4 4若可行域是双曲线尤-史=1左支外部的点，即临界条件切线需要往下平移，即4 4Z 0,y 0时，=1其图像位于焦点在x轴上的双曲线第四象限，32当x 0时，-丁 =其图像位于焦点在丁轴上的双曲线第二象限，3当x 0,y 0时，一 片 一 炉=1其图像不存在，3任意一点(x，y)到直线石x+y -4 =0的距离d =所 以 网+y _ 4|=2 d结合图像可得|百 元+丫-4|的范围就是图像上一点到直线J+y-4=0距离范围的2倍,双曲线V-上=1,二-/=1其中一条渐近 线 瓜+y =0与直线B x+y-4=0平行3 3通过图形可得当曲线上一点位于尸时，2 d取得最小值当曲线上一点靠近双曲线的渐近线瓜+y =0时2 d取得最大值，不能取等号_ 2设 后+y +c =O(c v()与q +f =1其图像在第一象限相切于点夕6x+y+c=0由 +40=0上一个动点，则|制+归。|的最大值为【答案】12【分析】根据椭圆定义及圆心位置、半径，应用分析法要使I I+1 P Q I最大只需让I P M I-1 P鸟I最大即可，由数形结合的方法分析知P，%M共线时有最大值，进而求目标式的最大值.【详 解】由题意得：耳(-2,0),5(2,0),根据椭圆的定义得|尸耳1+1尸鸟|=2 a =6,：.PF,=6-PF2,圆M:炉+y 2-1 0 x-8 y +4 0 =0变 形 得(X5)2+(y 4)2 =1,即圆心A f(5,4),半 径r =l,要 使|刊+|PQ|最 大，即|P/+|PM|+r最 大,又|P甲+|P M|=6|苞|+|P M.使|尸河|-|尸工|最大即可.如图所示：9 5.当 P,%M 共 线 时，1 P M i -1 P g I 有最大值为|F2M k V(5-2)2+42=5，.|尸甲+|2加|=6-|鸟|+|2加|的最大值为5+6=1 1,：.PFt +PQ的最大值，即|甲+|P M|+r的 最 大 值 为1 1+1=1 2,故答案为：1 21 3.点A、8分 别 为 椭 圆 +丁=的左右顶点，直 线 工=股+?与 椭 圆 相 交 于P、。两4 5点,记 直 线A P.B Q的斜率分别为勺.&,则状0 +正1的最小值为【答 案】y【分 析】设P G，y)、Q缶,%)，联立=，由韦达定理可得,+%，设直线AQx*1 2*+4/=46 W 192m2 256 一记25(/M2+4)25(w2+4)25因 止 匕，6 +，=好+16公 2 2J l6 k*=216 0)的右焦点为F，左顶点为A,上顶点为8,若点。在直线A8上，且 O F L x 轴，。为坐标原点，且砥3=状“，若离心率贝!M的取值范围为【答案】(*)【分析】求出点。的坐标，由原=状”可得2=1 1结合e e 2,可求得实数；I 的取值范e+1 13 2)围.的斜率为,求得上二白,&=上 不，从而可将 用 人表示，求 出 再 结 合 基本不等式即可得出答案.【详解】解：设P(5,7)、。仇,人),_ 6联立,)5,消去x 并整理得(+4)V+1,加 y 一笔=0,X2+4/=4 5 2512 64由韦达定理可得X+%=一正司,2=一 再 询,设直线A。的斜率为 人 则 人 晨,t诉 N h k=B _ =L=_=_1-2 x,+2 X2-2 X-4(4-4 y；)-4 4k.k=_ 2=-%=_而 1 X+2 X,+2(16 V 16、2,16w?/X 2561-I wy,+y II wy2+y I rn+y2)+642 5(/+4)i【详解】点A（0,0）、矶0力），直 线 的 方 程 为 二+：=1,即y=&x+6,-a b a直线。尸的方程为x=c,将X=c代入直线43的方程得）=+匕，即点。，,如+ak a故be.+bacb(a+c),ac因为怎*=成，即 3=2 +C），可得/=一=一y=l一 一 彳（；，!）.a ac a+c e+l e+1 4 3J故答案为：（；，；）.1 5.设椭圆C:?+y2=l的左焦点为下，直线/：y=依化工0）与椭圆C交于A、B两点,则AEB周长的取值范围是【答案】（6,8）【分析】求出|4叫的取值范围，结合椭圆的定义可求得加右周长的取值范围.【详解】设椭圆C的右焦点为F，连接AE、BF,因为A3、EF的中点为坐标原点，故四边形AF3F为平行四边形，所以，忸耳=|A F,由椭圆的定义可得|AF|+|AF=2a=4,因为直线丁 =依 化W O）与椭圆C关于原点对称，则点A、B也关于原点对称,设点4（%）,则0 c x 4,所以，1 4同=+y；=2,片+1-*=+1 6（2,4）,所以，AA7的周长为|A F|+|A F|+|A且=4+|A B|6,8）.故答案为:（6,8）.1 6.已知动圆C 经过点尸（0,1）,且与直线y =7相切.若直线3 x-4y +2 0 =0与圆C有公共点，则 圆 C 的面积的最小值为.【答案】4万【分析】由抛物线定义求得圆心C的轨迹方程，再由直线与圆有公共点求得半径的最小值，即得面积最小值.【详解】由己知圆心C的轨迹是以尸为焦点，直线），=-1为准线的抛物线，其方程为Y=4 y,设圆心为C（a,b）,则。=巴,圆半径为r =6+1 =幺+1,4 4因为直线3 x-4y +2 0 =0与圆C有公共点,|3 a-4+2 0|(T”所 以以 历；由J 4 r =4+1因为圆C与直线y=-1相切，因此要使得圆半径最小，c（a,b）与。（0,0）需同在不等式3 x-4y +2 0 0表示的平面区域内，由此得一+3”+20 4寸+,解得或日，5 4 3。=-2时，b=l9 r=2；。=与时 尸 2,不合题意,所以圆面积的最小值是S =*=47.故答案为：4万.线 的 右 支 交 于4,8两 点，记A K E的内切圆。的半径为的内切圆0?的半径为4，圆。|的面积为S 1,圆。2的面积为邑，则.。的取值范围是（，葛）直 线。0 2与*轴垂直 若4 +4 =2,则|蜴=6 +$2的 取 值 范 围 是2万,等）【答 案】【分 析】根据双曲线渐近线的倾斜角判断；利用双曲线的性质和切线长的定义判断；根据平面几何的知识得=乙4 6 8=后，再根据直角三角形相似求得弓=弓=1判断：根 据t a n NO典E =：=”忤得 范围，再根据基本不等式求解即可.【详 解】解：如 图，设A ,A K，K鸟 与 圆 的切点分别为由切线的性质得0 E的横坐标相等，|AM|=|/W|,|ME|=|EE|,|8E|=|EN|,由双曲线的定义得|M|-1 你|=2,所以|M 制TEN=2,所以由国一优同=%,设E（%,0）,则与+ME-(当且仅当M、N、E共线时取等号)，最后根据|M E|+|“用 习 药|求得I M V I-I”用的最小值.【详解】如图，由M为椭圆C上任意一点，则阿周+|段=4又N为圆E:(x-3+(y 2)=1上任意一点，则|四住阿同一1 (当且仅当加、N、E共线时取等号)，：.MN-MFtMN-(4-MF2)=MN+MF2-4ME+MF2-5EF2-5,当且仅当M、N、E、尸2共线时等号成立.；心(1,0),(3,2),则|EF21=(3-1)2+(2-0)2=27 2,A MN-MFt的最小值为2 a-5 .故答案为：2&-5.【点睛】思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据楠圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.1 9.如图，已知椭圆+炉=1的左焦点为尸，0为坐标原点，设过点尸且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,B 两 点,线段A3的垂直平分线与x轴交于点G,则点G横坐标 的 取 值 范 围 为.【答案】,别【分析】设直线A 8的方程为y =氏 +。依/0）,设点A&,y J、3（孙 力），将直线AB 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求 出 线 段 的 垂 直 平 分 线 方 程，可求得点G的横坐标，利用不等式的基本性质可求得点G的横坐标的取值范围.【详解】设直线A 8的方程为y =M x+l）（Z*O）,联立y =j l(x+l)整理可得(1 +2 42)/+4、+2%2-2 =0,X 2 ,+V =1I 2 ,因为直线A 8 过椭圆的左焦点尸，所以方程（1 +2 公）/+4/x+2 二-2 =0 有两个不相等的实根.设点A（X Q|）、8（孙为），设 4 B 的中点为N（毛,%）,4 k2 2k2 .,、k则x+w=_T F，餐=一的，直线A B的垂直平分线N G的方程为y-y。=-J（x-x 0）,2 k2 k2 1 1令 y=0 ,贝|J%=%+bo=-7 -2 =-2 =-1 2 -6 0 2 +1 2 +1 2 r +1 2 4 k2+2因为所以-JCXGCO.故点G的横坐标的取值范围（-；,（）故答案为：；，。）2 0.已知6,工分别为双曲线-1=1 的左、右焦点，过尸2的直线与双曲线的右支交于4 8两点，记A f；鸟的内切圆0 1的半径为4，8耳心的内切圆。2的半径为冬，圆。、。2的面积为，、S 2,则的取值范围是.C 1 0 万、【答案】2,-1【分析】首先根据双曲线以及切线性质证明0 0 2轴，然后根据三角形相似关系求出（与4之间的关系，再根据已知条件求出N Q玛E的取值范围，进而求出,丁的取值范围，最后利用函数思想求出T +T的取值范围即可求解.【详解】由双曲线Y-X=l的方程可知，实半轴长。=1,虚半轴长方=G，K（c，0）目.c =2,3设圆。与4鸟分别切于M,N ,E,连 接 如 下 图 所 示：由圆的切线性质可知，I A 7 V R A A/I,I K N H E I,F2M =F2E ,有双曲线定义可知,AFl-AF2=2a=FlN-F2M,即|耳E|-|二E|=2,设 E（x 0,0）,故/=,解得，x0=a,由切线性质可知，。1与E点坐标都为。，同理可知，圆。2也与x轴也切于E点，故轴，且。-。小E三点共线，又由三角形内切圆的性质可知，。浜、0?乙分别为N A死6和N 8心片的角平分线,T T易得，Z OtF2O2=-,从而可得，Q E%。石乃，故77若 二?7号，I 2 1 0 2 七 ,r.1 .1因为|E E J=c-a =l,所以不=4弓=1,弓=二，I rl r因为双曲线/=1的渐近线：y =土石x,所以其倾斜角分别为9和子,3 3 3又因为直线A3与双曲线的右支交于A ,8两点，所以直线AB的倾斜角范围为邑亭），易得“居3 3 6 3所以 ta n NQ 鸟 =然=。（。,6）,E F21 3,）,1 1 1由不+弓-=/+-j,不妨令，=4 2 6（3）,y=t+-,4 3 t易知，y =r+l在（，1）上单调递减，在（1,3）上单调递增，t 3故y =i +：的最小值为先=i =2 ,又因为/=：，=3=y =g,从而、=，+；在,3）上的值域为2,5）,所以 +42的取值范围为与），又因为豆+邑 二 万 +国，所以，+$2的取值范围为2,等.,._ 1 0 7r I故答案为：2-,.三、解答题2 1.已知抛物线C的顶点为。（0,0）,焦点尸（0,1）.（1）求抛物线c的方程；（2）过产作直线交抛物线于4 8两 点.若 直 线O B分别交直线/：丫 =-2于 、N两点，求|MN|的最小值.【答案】（1）f=4%（2）逑.5【分析】(1)根据焦点坐标可得P,进而得到抛物线方程；(2)将A B：y =f c r+l与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；求得知,4后,根据阿 叫=血 曷-%，代入韦达定理的结论可整理得到关于的式子，令 依-3 =仆0),结合二次函数最值的求法可求得结果.【详解】(1)设抛物线C的方程为：f=2 p y(p 0),则=1,解得：p=2,抛物线C的方程为f=4 y；(2)由题意知：直线A 8斜率存在，可设其方程为：y=kx+,f y =kx+由 ./消去y整理得：/一4阮一4 二 0，x=4yx+x2=4kx1x2=-4/.|X j -X2|=/(x1+x2)2 XX2 =+1,由 =2解得点M的横坐标为:,y=x-22xj _ 2%j _ 8X|-y r X：4-苍，8同理可得点N的横坐标为：4=K，:.MN=42XM-X.I=V 2 -=8A/2-XX2.4-Xj 4一 尢2 Xj X2-4(4-X2)+168 忘 J/+1附-3|令4Z-3 =f(r x O),则=爹，当f 0时，也 凶=2 0 +：+12及,当 ,半,综上所述，当，=-m，即4=4时，1 MAi的最小值是 半.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的最值问题的求解，解题基本思路是将所求长度表示为关于某一变量的函数的形式，根据函数最值的求解方法求得结果.2 2.如图，过椭圆的左右焦点耳，心分别作长轴的垂线4,4交椭圆于A，耳，&，约，将/1，4两侧的椭圆弧删除再分别以K，E为圆心，线段4 A，心人的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹 在4 4之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在4 4两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为（x土夜尸+/=1.（1）求椭圆段的方程;（2）已知直线/过点”与“椭圆帽”的交于两点为M,N,若 砸+2新=6,求直线/的方程；（3）已知尸为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直 线/经 过 点 与“椭圆帽”交于两点为M,N,若 中.碉=0,求 丽 丽 的取值范围.【答案】（1）9+（2）y=x+y/2 y=-x-4 2；（3）-20,o【分析】（1）设椭圆方程，根据鸟（血,0）,4（&），即可求得方程；（2）根据|布 卜1,|阿 卜2,设点M（x,y）,一&W x W 正 建 立方程组求解M坐标即可得到直线方程；（3）根据题 意 两 丽=1-|啊，转化为求|檀|的范围.【详解】2 2（1）设椭圆的标准方程为=+4 =l,a b 0,/=/+2,a b-由图可得巴（血,0）,4（及 ），所以c =A/2,=1,所以=2,b =c =V 2,a2 2椭圆段的方程：土+工=1,-血4 x 4 0;4 2（2）由题|砌=1,所以|啊=2,设M（x,y）,-7 i 4 x 4 0,4 2 i,解得：x=0或*=4应(舍去)(x-旬 +2=4所以 M(O,0)或所以直线/的方程：y=x+0或y=-x-0；(3)若 评 丽=0,两.丽=(西+帮).(西+诉)=西2+丽.布 =1-|,当M点在右侧圆弧上时，|用可3+2后,当M点在右椭圆弧上时，|穆卜1,3,所以丽.丽e -20,0 2 3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，P 是不在x 轴上的一个动点，过点尸可作抛物线V=4 x的两条切线，两切点A、8 的连线与PO垂直.设直线A8与直线PO与 x 轴【答案】证明见解析;(2)2 0.【分析】(1)设R(%,0)(%0),求直线A8的参数方程，与抛物线联立求4,8的坐标，由此确定切线 以，P8的方程，由直线垂直的斜率关系列方程求R的坐标，由此证明R是-个定点；（2）由（1）求君 的 表 达式，结合基本不等式求其最小值.【详解】解：（1）证明：设R（Xo,O）（xO）,直线A 3的参数方程为x=x(.+tcosa,(，为,参d数”，),y=tsina将代入 y2=4x,得(sin2 ajz2-(4cosa)r-4x0=0.设 A(%+4 cos a,4 sin a),8(%+f2 cos a,芍 sin a),则抛物线y2=4x在点A、B 处的切线方程分别为PA:(%sin a)y=2(x+%)+q cos a),PB:(r2sina)y=2(X+A J)+2C OSC Z).联立解得 P(fo,2 co ta).A kP0=一一 cot a .2 i又 POJ_AB,.Mpo心8=-1,即-cota tana=l,得玉)=2,*0故R 为定点.(2)由 知,P(-2,2 c o ta),设直线PO的参数方程为xy =-228+t pa c+o sp(sain 4(-90)0。)为参数)，即 fx=-2-p sin a,y=2cota+pcosa（p 为参数）.w 2(2sirr a +cos a)2(2s】tr a +cos a)与联立解得 p=-L，PQ=p=-L.sin a I sin a|在 Rt OQR 中，|Q?|=|。/|cos a|=2 1 cosa|.I PQ 2sin?a +cos2a k .z.-=-=2 1 tan cr|+1 cot a|2 J2,当且仅当 2 1 tan a|=|cot a|,|QR|sin a cos a|即tana=立 时 等号成立，故|的最小值为2 .2 3 1o 22 4.已知椭圆C：*+方=1(b()的右焦点为用 且尸与椭圆C 上点的距离的取值范围为 2-6,2 +6(1)求 a,h；(2)若点尸在圆M：x2+y2=5 ,PA,P B是 C 的两条切线，A,8 是切点，求4 PAB面积的最小值.【答案】(1)a=2,b=l；(2)1.【分析】（1）由已知，结合两点距离公式及椭圆的有界性可得卜一=2一，再应用椭圆参数a +c =2+J3关系即可求a,b（2）由（1）知。为?+y 2=i,设 A（x，y J、8（%,必）、。5，%），易得 A,3 处的切线方程，进而可得AB的方程/：与+%y =l,联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式可得4处3面积关于%,%的函数式，进而利用单调性求其最小值即可.【详解】（D设椭圆C上任意一点Q（x,y）,F（c,O）,其中 2=储一从，则QF=（x-c）2+y2=x2+c2-2 cr+Z 2 x1=x2-2cx+a2=-x-a ,又x w-a,a,则 x s-c,c,a:.-x-a e l-c-a,c-a,故|QF|EC,4+C,a-c=2-6 a=2-由题意：厂，解得 仄，则b=L 2=1 ；a+c=2 +，3 c=l3（2）由 得：椭圆C为?+y 2 =1,设 A（x“J,B（孙）,网月,%）,由支+=,则A在宜线4：节+y y =l上，将直线4 与椭圆C联立得：-+3=-+0-?）=，:，即（T+4 y：*-8 x M+1 6-1 6 y；=0,A =6 4-4 储+4 ）（1 6-1 6 ；）=6 4 犬（x：+4 y：-4）=0 ,故直线乙 与 C 相切,故c 在 A处的切线方程为4*+x E，同理c 在 B处的切线方程为 几 詈+,I,V直线4 与直线12相交于点产,为），故 有 华+X%=1 且 华+%=1，直线A B的方程为/：与+%y =l,将直线/与椭圆C联立得：（片+4 y；）x2-8%x +1 6 -1 6 巾=0,则X 1 +=r-8-%-r-x；+4 y；_ 1 6-1 6 xr x2=_ _ _zrXQ+4%故当先 W O时,1（8%2 4 1 6-1 6*V +4 y；q+4 y；_ 2收+1 6 y；一（1 -y；乂*+）2 也；+1 6 y；.收+4 片-4闻（片+4 4）-+化故 网=2荷+16号住+4 -4,易验证当先=o时，该式也成立，%+4 垢H 十 4点P到直线/的距离=14,0 I=（:分 子,匡 十 才收+1 6 第.的面积 S =%布=+4 1-4）件+-2 .21 1 焉+4 需,_ _ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,_ _ _ _ _ _ 1令t =Q*+4 y；-4 =小 5-寸+4 y：-4 =J1 +3 点 el,4,则 r2+4 1+？在，U,4 上单调t t3递增，.当/=1,即=。，=4 或与=-。时，面积取得最小值（.【点睛】关键点点睛：第二问，应用方程思想求A,8处的切线方程，进而写出A8的方程/,将其与椭圆方程联立，综合应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式和三角形面积公式得到A雨8面积关于参数的函数，最后利用单调性求最值.2 5.已知椭圆C：5+/=l（a 0）的长轴长为4 百，点（收 佝 在 C上.（1）求 C的方程；（2）设C的上顶点为4,右顶点为8,直线/与A B 平行，且与C交于M,N两点，MD=D N，点/为 C的右焦点，求忸尸|的最小值.【答案】（1）+-=1；（2）汉叵.1 2 8 5【分析】（1）由长轴长求出。，进而将点（6,而）代入椭圆方程解出 进而得到答案；（2）根据疝=加 得出D为M N的中点，设出直线A8的方程并代入椭圆方程并化简，进而利用根与系数的关系解出中点。的坐标，然后得出I。尸I，进而求出最小值.【详解】（1）因为C的长轴长为46，所以2 a=4 且，即a=2 6.又点（万 网 在 C上，所以5 +卷=1,代入a=26,解得从=8,故C 的方程为+$=1.12 8(2)由(1)可知，A,B 的坐标分别为(0,2夜)，(2百,0卜直线A 8的方程为3 x +6 y-2#=0,设/:血 x+G y +z=0(加工一2八),fx2 丁-1-=1 -联立/nx+?2 一 24=0，&+6 丫 +7 =0由 二 8济-16-24)=384-8M 0,得/48,设M（5，y）,N（j%），0（无 0,%），因 为 而=0/所以。为 MN的中点,则“牛=-等，因为尤 工+6 为+加=0,所以为=-皿,6又尸的坐标为（2,0）,所以I0 用=(3/犷=?+7?+4+得=/募+/九+4所以当机=_ 竽时，|OF|取得最小值，且最小值 为 争.【点睛】解析几何的压轴题目如果没有思路，那么思路就直接一些，本题要求1。尸1,就需要点力厂的坐标，考虑到。为 MN的中点，于是联想到中点坐标公式和根与系数的关系，接下来便是常规的套路，将直线方程代入到椭圆方程化简，进而解决问题.