2021-2022学年上海市奉贤区九年级(上)期末数学试卷(一模).pdf

202L2022学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选 择 题（本大题共6 题，每题4 分，满分24分）1.（4 分）（2021秋奉贤区期末）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象过点（-1,1）的 是（）A.yx-1 B.y-x+1 C.y=D.yx1x2.（4 分）（2021秋奉贤区期末）从图形运动的角度研究抛物线，有利于我们认识新的抛物线的特征.如果将抛物线y=#+2 绕着原点旋转180,那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（）A.它们的开口方向相同 B.它们的对称轴相同C.它们的变化情况相同 D.它们的顶点坐标相同3.（4 分）（2021秋奉贤区期末）如果直线y=2x与 x 轴正半轴的夹角为锐角a,那么下列各式正确的是（）A.s in d =-B.cos Cl=-1-C.ta n（1=-D-cot Cl=4.（4 分）（2021秋奉贤区期末）如图，己知。是ABC边 AB上的一点，如果N 4,那么下列结论中正确的是（）A.AC2=AA8 B.BC2=BDAB C.CD2=AD-BD D.AD2=BDCD5.（4 分）（2021秋奉贤区期末）已知线段A 8.按以下步骤作图：（1）作以A 为端点的射线4P（不与线段AB所在直线重合）；（2）在射线AP上顺次截取AC=CO=Z）E；（3）联结B E,过点。作。/B E,交线段4B 于点F.根据上述作图过程，下列结论中正确的是（）A.A尸：A?=l：2 B.AFt A 8=l：3 C.AF：AB=2：3 D.AF：AB=2t 16.（4 分）（2021秋奉贤区期末）在ABC中，AB=2p3,ZBAC=30.下列线段BC的长度不能使“BC的形状和大小都确定的是（）A.2 B.4 C.弧 D.2V3第1页（共30页）二、填 空 题（本大题共12题，每题4 分，满分48分）7.（4分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）如 果 三 年 之 0,那 么 匚=.8.（4分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）函数），=:的定义域是 _ _ _ _ _ _.x+19.（4 分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）计算：2 （W-2E）+3 （a+b）=.1 0.（4分）（2 0 2 0 奉贤区二模）如果函数），=履（k#0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而.（填“增大”或“减小”）1 1.（4分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）如果抛物线y=（x-2）2+4 不经过第三象限，那么女的值可以是.（只需写一个）1 2.（4分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）用描点法画二次函数的图象需要经过列表、描点、连线三个步骤.以下是小明画二次函数y=x 2+w+c图象时所列的表格：x -4 -3 -2 0 2y 3 0 -1 3 1 5 根 据 表 格 可 以 知 道 该 二 次 函 数 图 象 的 顶 点 坐 标 是.1 3.（4分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）如图，已知A O B E C 凡 它 们 依 次 交 直 线%于点A、B、C和点。、E、F.如果5 A B=2 A C,DE=6,那么线段EF 的长是.1 4.（4 分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）已知在Rt&WC 中，Z C=9 0 ,s i n A=,BC=6,那4么AB的长是.1 5.（4分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）顺次联接三角形三边中点，所得到的三角形与原三角形的 周 长 的 比 是.1 6.（4分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）如图，已知菱形A B C。，E、/分别为和 B C D的重心.如果边48=5,对角线8。=6,那么EF 的长为.第2页（共30页）D.,CAB17.（4分）（2021秋奉贤区期末）九章算术是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M、N分别是正方形A8C。的边A。，4 B的中点，ME LAD,NFLAB,尸过点A,且M E=100步，NF=2 2 5 步,那么该正方形城邑边长A O约 为 步.18.（4分）（2021秋奉贤区期末）如图，在中，ZC=90,sinB=.。是边5B C的中点，点E在边A 8上，将BOE沿直线C E翻折，使得点B落在同一平面内的点尸 处.如果线段F D交边A B于点G,当尸时，AE：8 E的值为.三、解 答 题（本大题共7题，满分78分）19.（10分）（2021秋奉贤区期末）计算：-2-.20.（10分）（2021秋奉贤区期末）如图，在平面直角坐标系rO y中，矩形A8CO的顶点A（4,0）和8在x轴的正半轴上，反比例函数y=K在第一象限内的图象经过点。，交XBC 于点 E.CE=2 BE,tanZAOD=.4（1）求反比例函数的解析式；（2）联结0 C,求NBOC的正切值.第3页（共30页）2 1.（1 0 分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）如图，在A B C 中，A C=5,c o t A=2,c o t 8=3,D 是A B 边上的一点，Z B D C=4 5 .（1）求线段8。的长；.*.（2）如果设CA=a,C B=b,那么AB=,AD=,CD=（含 a、E的式子表示）.2 2.（1 0 分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）如图8-1 是位于奉贤南桥镇解放东路86 6 号 的“奉贤电视发射塔”，它 建 于 1 9 9 6 年，在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物，该记录一直保持到2 0 1 7 年，历了 2 5 年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆.某数学活动小组在学习了“解直角三角形的应用”后，开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动.测量方案：如图8-2,在电视塔附近的高楼楼顶C 处测量塔顶A处的仰角和塔底B处的俯角.数据收集：这幢高楼共1 2 层，每层高约2.8米，在高楼楼顶C 处测得塔顶4处的仰角为5 8 ,塔底8 处的俯角为2 2 .问题解决：求奉贤电视发射塔AB的 高 度（结果精确到1 米）.参考数据：s i n 2 2 *0.3 7,c o s 2 2 =0.9 3,t a n 2 2 0.4 0,s i n 5 8 =0.85,c o s 5 8 0.5 3,t a n 5 8 1.6 0.根据上述测量方案及数据，请你完成求解过程.第4页（共30页）A2 3.（1 2分）（2 0 2 1秋奉贤区期末）根据相似形的定义可以知道，如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等，且它们各有的四边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形.对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边，对应边的比叫做这两个相似多边形的相似比.（我们研究的四边形都是指凸四边形）（1）某学习小组在探究相似四边形的判定时，得到如下两个命题，请判断它们是真命题还是假命题（直接在横线上填写“真”或“假”）梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似；命题；有一个内角对应相等的两个菱形相似；命题.（2）已知：如 图1,A B C是 以 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形，以 为 直 角 边 作 等 腰直角三角形B C D,再以B O为直角边作等腰直角三角形8 D E求证：四边形A B Q C与四边形相似.（3）已知：如图2,在/3以？中，点。、E分别在边A B、A C上，B E、C O相交于点F,点G在A F的延长线上，联结3 G、C G.如果四边形A O P E与四边形A B G C相似，且点4、D、F、E 分别对应 4、8、G、C.求证：AF*BF=AG*EF.第5页（共30页）A2 4.(12分)(2 0 2 1秋奉贤区期末)如图，在平面直角坐标系X。)，中，抛物线以+3与x轴交于点A (-1,0)和点8 (3,0),与y轴交于点C,顶点为。.(1)求该抛物线的表达式的顶点。的坐标；(2)将抛物线沿y轴上下平移，平 移 后 所 得 新 抛 物 线 顶 点 为 点C的对应点为E.如果点M落在线段8 C上，求N O 8 E的度数；设直线M E与x轴正半轴交于点尸，与线段B C交于点Q,当P E=2 P Q时，求平移后2 5.(14分)(2 0 2 1秋奉贤区期末)如图1,已知锐角A 8 C的高A。、B E相交于点F,延长 A Q 至 G,使。G=E D,联结 B G,CG.(1)求证：B D-A C=A D B G；(2)如果 8 C=10,设 t a n N4 8 C=m.如图2,当N4 B G=9 0 时，用含，的代数式表示 B F G的面积；当A B=8,且四边形B G C E是梯形时，求机的值.第6页(共30页)AA第7页（共30页）202L2022学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题共6 题，每题4 分，满分24分）1.（4 分）（2021秋奉贤区期末）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象过点（-1,1）的 是（）A.y=x-1 B.y=-x+C.y=-D.y=x2X【分析】将 点（-1，1）分别代入4 个解析式进行验证即可得出答案.【解答】解：把 x=-1代入y=x-1得：-1 -1=-2 1,，选项4 不符合题意；把 x=-1 代入 y=-x+1 得：1+1=2W1,二选项2 不符合题意；把 x=-1 代入 y=L 导：-=-1W1,x-1.选项C 不符合题意；把 X=-1 代入 丫=犬2 得：（-）2=,二选项。符合题意；故选：D.【点评】本题考查了图象上点的坐标特征，会把点的横纵坐标代入解析式验证是解题的关键.2.（4 分）（2021秋奉贤区期末）从图形运动的角度研究抛物线，有利于我们认识新的抛物线的特征.如果将抛物线y=N+2绕着原点旋转180。，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（）A.它们的开口方向相同 B.它们的对称轴相同C.它们的变化情况相同 D.它们的顶点坐标相同【分析】将抛物线y=#+2 绕着原点旋转180,则新抛物线与原抛物线关于原点对称.【解答】解：A、它们的开口方向相反，不符合题意；8、它们的对称轴相同，符合题意；C、它们的开口方向相反，顶点坐标关于原点对称，即题目的变化情况不相同，不符合题忌；第8页（共30页）。、它们的顶点坐标关于原点对称，不符合题意.故选：B.【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，抛物线绕着原点旋 转 180。后，新抛物线与原抛物线关于原点对称.3.（4 分）（2021秋奉贤区期末）如果直线y=2x与 x 轴正半轴的夹角为锐角a,那么下列各式正确的是（）A.s in d =-B.cos C I=1-C.tan C I=-D.Cot m i l.A H 2 m 2 7 5贝 IJ s i n a=厂=-，0 A v 5 m 50 H -m 遍c o s at an a二V 52 m.m 5c o t a-mm _ 1,2 m 2故选：D.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，设点A 的坐标是本题解题的关键.4.（4 分）（2021秋奉贤区期末）如图，已知。是ABC边 A B 上的一点，如果NBC=Z A,那么下列结论中正确的是（）第9页（共30页）A.AC2=ADAB B.BO=BD*AB C.CD=ADBD D.AD2=BDCD【分析】由已知条件/8 C O=/A、N B=N B,可判定ABCSCB。，再根据相似三角形的性质进行判断.【解答】解：/8C）=/A,NB=NB,：.ABCsXCBD,.BC=AB，BD-CB，:.BO=AB,BD,故选：B.【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质；能够发现隐含条件公共角N A是解答此题的关键.5.（4分）（2021秋奉贤区期末）已知线段A B.按以下步骤作图：（1）作以4为端点的射线4尸（不与线段A8所在直线重合）；（2）在射线AP上顺次截取4c=CO=OE；（3）联结B E,过点、D作DFB E,交线段AB于点凡根据上述作图过程，下列结论中正确的是（）A.AF：AB=1：2 B.AF：AB=1：3 C.AF：AB=2：3 D.AF：AB=2：1【分析】根据4C=CO=OE,得 至 嘿=答，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论.AE 3【解答】解：.NC=CO=OE,.AD_2-，AE 3JDF/BE,*AB AE 3,故选：C.第10页（共30页）E【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.6.（4分）（2 0 2 1秋奉贤区期末）在4 B C中，AB=2 ,N B A C=3 0 .下列线段B C的长度不能使 A B C的形状和大小都确定的是（）A.2 B.4 C.V 3 D.2 V 3【分析】如图，过点B作于点”.判断出当B C=J 5或B C 2 2点 时，三角形唯一确定，即可解决问题.【解答】解：如图，过点8作于点B在 中，B H=/A B=观察图形可知，当BC=e或B C 2 2 6时，三角形唯一确定，故B C=2时，三角形不能唯一确定，故选：A.【点评】本题考查解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，判断出三角形唯一确定的8 c的范围，属于中考常考题型.二、填 空 题（本大题共12题，每题4 分，满分48分）7.（4分）（2 0 2 1秋奉贤区期末）如果三2三 工0,那 么 江=1.2 3 5 z 5-【分析】设三。匕 三=，利用比例的性质得到x=2 f,y=3 f,z=5 t,然后把它们代入江2 3 5z中进行分式的混合运算即可.【解答】解：设 区 二 具=t,则x=2 f,y=3 r,z=5 f,2 3 5第H页（共30页）所以 X 2 L=3?2 t=春.z 5t 5故答案为：【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键.8.（4分）（2 0 2 1秋奉贤区期末）函 数 的 定 义 域 是 x W -1 .x+1【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案.【解答】解：由题意得：x+IW O,解得：x W -1,故答案为：x#-1.【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0是解题的关键.9.（4 分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）计算：2 （a -2 b）+3 （a+b）=_5 a -b _.【分析】根据平面向量的加法法则计算即可.【解答】解：2 （a -2 b）+3 （a+b）=2 a -4 b+3 a+3 b=5 a -b 故答案为5鼻-二【点评】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.1 0.（4分）（2 0 2 0奉贤区二模）如果函数），=匕（k#0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而 减 小.（填“增大”或“减小”）【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可.【解答】解：函数=履（#0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小.【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数丫=匕晨六0）的图象是一条经过原点的直线，当 火0时，该直线经过第一、三象限,且y的值随x的值增大而增大；当k V O时，该直线经过第二、四象限，且），的值随x的值增大而减小.1 1.（4分）（2 0 2 1秋奉贤区期末）如果抛物线y=（x-2）不经过第三象限，那么女的第12页（共30页）值可以是 1.（只需写一个）【分析】由抛物线不经过第三象限可得抛物线开口向上，对称轴为直线x=2,抛物线与），轴交点纵坐标大于等于0即可，进而求解.【解答】解：（%-2）2+k=2 -+4+匕由抛物线不经过第三象限可得4+Z-O,解得火 -4.故答案为：1.（答案不唯一）【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.1 2.（4分）（2 0 2 1秋奉贤区期末）用描点法画二次函数的图象需要经过列表、描点、连线三 个 步 骤.以下是小明画二次函数、=以2+历.+c图象时所列的表格：x -4 -3 -2 0 2y 3 0 -1 3 1 5根据表格可以知道该二次函数图象的顶点坐标是（-2,-1）.【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以先确定顶点的横坐标，然后再根据表格中的数据，即可写出该抛物线的顶点坐标.【解答】解：由题意可得，当 x=-4 时，y=3,当 x=0 时，y=3,；.该函数的顶点横坐标为x=2=-2,2由表格可知：当x=-2时，-1,故答案为：（-2,-1）.【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.1 3.（4分）（2 0 2 1秋奉贤区期末）如图，已知。凡 它 们 依 次 交 直 线 于点A、B、C和点。、E、F.如果5 A B=2 A C,D E=6,那么线段E F的长是 9 .A/pB/Eh2第13页（共30页）【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可.【解答】解：5AB=2AC,.,A-B-二2,AC 5：AD/BE/CF,.DE AB而 记即DF 5：.DF=15,：.EF=DF-DE=15-6=9.故答案为：9.【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.Q14.（4 分）（2 02 1 秋奉贤区期末）已知在R t Z X ABC 中，NC=9 0,s i o 4=,B C=6,那4么A B的长是 8 .【分析】利用直角三角形的边角间关系，可得结论.【解答】解：s i M=,BC=6,4 AB.B=8.故答案为：8.【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键.15.（4分）（2 02 1秋奉贤区期末）顺次联接三角形三边中点，所得到的三角形与原三角形的周长的比是【分析】根据。、E、尸分别是A 3、B C、A C的中点，求证然后利用相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可得出答案.【解答】解：如图，：。、E、产分别是4 8、B C、A C的中点，：.DE=-AC,D F=B C,E F=AB,2 2 2:.DE+DF+EF=-A C+-BC+-AB,2 2 2：D E F A A B C,第14页（共30页），所 得 到 的 与4BC的周长之比是看.故答案为：，.【点评】此题考查学生对相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形周长比等于相似比.16.（4 分）（2021秋奉贤区期末）如图，已知菱形ABC。，E、尸分别为和BCD的重心.如果边A B=5,对角线8 0=6,那么EF的 长 为 一D C【分析】连接A C,交于点。，根据菱形的性质得出0 8=0 0=3,OAOC,ACLB D,利用勾股定理求出O 4=0 C=4.再根据重心的性质可知八48。和8CZ）的重心E,尸分别在线段04、0C 上，且 0 =QA,0 F=0 C,进而得到EF的长.3 3【解答】解：如图，连接A C,交BD于点、0,二 四边形ABC。是菱形，BD=6,：.0B=0D=BD3,0A=0C,AC1BD,2二 0A=VAB2-0B2=V52-32=4）：.OC=OA=4.:E、F 分别为A3。和8C）的重心，：.E,尸分别在线段04、OC上，且 0E=0 4=,0F=O C=,3 3 3 34 4 gEF=OE+OF=-+=.3 3 3故答案为：旦.3第15页（共30页）D C【点评】本题考查了三角形的重心的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键.17.（4分）（2 02 1秋奉贤区期末）九章算术是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M、N 分别是正方形A B CQ的边AO,A B 的中点，ME 1.AD,NF1,AB,E F 过点4,且 M E=1 0 0 步，NF=2 2 5 步,那么该正方形城邑边长4。约为 3 0 0 步.【分析】根据题意，可 知R t AAE M R t AFAN,从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长.【解答】解：.,点M、点 N 分别是正方形ABC。的边AZ）、A 8的中点，：.AM=AD,AN=AB,2 2：.AM=AN,由题意可得，R d AE Ms R t AFAN,.M E M AN-FN，即 A M 2=100X 2 2 5=2 2 5 00,解得：AM=15 0（步），：.AD=2 AM=3 00（步）；故答案为：300.【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意.利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答.第16页（共30页）18.（4 分）（2021秋奉贤区期末）如图，在 RtZXABC中，NC=90,sin 8=.。是边58 C 的中点，点E 在边AB上，将4口后沿直线。E 翻折，使得点B 落在同一平面内的点尸 处.如果线段产力交边AB于点G,当尸。_LAB时，A E：BE的值为 4.【分析】如图，过 B 点作B，DE交 GO的延长线于H,如图，利用正弦的定义得到sinB=电=3,则 设DG=3x,BD=5X,所 以B G=4 x,再根据折叠的性质和平行线的性质BD 5得到N H=N D B H,所以D H=D B=5 x,接着根据平行线分线段成比例定理得至您=或BE DH=春，则 成=枭，然后证明BOGS ZXBA C,利用相似比得至1 氏 4=孕 为 最 后 计 算 AE：5 2 2BE的值.【解答】解：如图，过 8 点作交G。的延长线于“，如图，.FD1AB,：.ZDGfi=90,二设。G=3x,BD=5x,.BG=JB)2-D G2=4X,；BOE沿直线D E翻折得到&：,Z B D E=NFDE,DE/BH,：.Z F D E ZH,N B D E=N D B H,：.N H=NDBH,：.DH=DB=5x,:DE/BH,.GE _ DG _ 3x _ 3 而一瓦 菽一丁：.BE=-X4xx,8 2第17页（共30页）V ZBGD ZC=90,NDBG=NABD,:.ABDGSABAC,.BD _ BG P|5 x _ 4 x，B A-B C，前一而：.BA=-x,DR R：.AE=AB-BE=x-x=lOx,2 25：.AE：BE=0 x：x=4.2【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.也考查了折叠的性质和解直角三角形.三、解 答 题（本大题共7题，满分78分）2 s i n26 0 0-短ot45019.（10分）（2021秋奉贤区期末）计算：-t a n 60+4 sin45【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.2 s i n 6 0 解答解：-t a n、。十4 s i n 4 5(6)?+4 X喙3+2/2_ 13+2 V2=3 -2 V2.第18页（共30页）【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.20.(10分)(2021秋奉贤区期末)如图，在平面直角坐标系X。)，中，矩形A8C。的顶点4(4,0)和 B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 =区在第一象限内的图象经过点。，交XQ3c 于点 CE=2BE,tmZAOD=.4(1)求反比例函数的解析式；(2)联结O C,求N 50C 的正切值.【分析】(1)由 4 的坐标得到0A=4,由 tan/4OD=旦，可得A D=3,即可得到点。4的坐标，然后利用勾股定理即可求得；(2)由图象上点的坐标特征求得E 的横坐标，即可求得0 8,然后解直角三角形即可得出答案.【解答】解：,点A(4,0),：.OA=4,：tanZAOD=,O A 4二，AO=3,.点。坐 标 为(4,3),V 反比例函数)，=工 在第一象限内的图象经过点。，X k=4X3=12,.反比例函数的解析式为产卫；X(2)9：BC=AD=3f CE=2BE,BE BC=1,3把 y=l代入 =超 得，1=1 2,解得x=12,x x:.O B=n,第19页(共30页)，tan ZB(9C=-=OB 12 4【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解直角三角形，求得交点坐标是解题的关键.21.（10 分）（2021 秋奉贤区期末）如图，在 ABC 中，AC=5,cot4=2,cotB=3,。是A8 边上的一点，ZB）C=45.（1）求线段BO的长：(2)如果设CA=a,C B=b,那么AB=_ b-a _,A D=_ y (b-a)_，CD=_-1-a（含Z、E的式子表示）.【分析】（1）作CEL4B于E,设CE=x,AE=2x,在RtzACE中，由勾股定理得，x2+（2x）2=52,解方程即可解决问题；（2）先求出4。的长，再求出AO与4 8的数量关系，根据平面向量的加减运算法则即可求解.AE=2x,在RtZkACE中，由勾股定理得,N+(2x)2=52,解得x=旗，：x0,*.x=V5,CE=y5,：ZCDE=45,：.CE=DE=f5,第20页（共30页）：c o t B=3,:.BE=3 CE=3后BD=BE+DE s V&f-VS=4 5；（2）,：DE=5,AE=2遥,.AD=yf S,:BD=f ,.A D _ 1 A D+BD-5DV Ck=a,CB=b,/.A B=CB-CA=b -a,1 -1 A D J A B=（b -a），/.CD-C h+A D哼手一 f 1 -*4 *1故答案为：b-a；（f e-a）；a+7-b-【点评】本题考查了平面向量，三角函数的定义勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义，平面向量的加减运算法则是解题的关键.2 2.（1 0 分）（2 0 2 1 秋奉贤区期末）如图8-1 是位于奉贤南桥镇解放东路8 6 6 号 的“奉贤电视发射塔”，它 建 于 1 9 9 6 年，在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物，该记录一直保持到20 1 7 年，历了 25 年风雨的电视塔锋刻了一代奉贤人的记忆.某数学活动小组在学习了“解直角三角形的应用”后，开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动.测量方案：如图8-2,在电视塔附近的高楼楼顶C处测量塔顶A处的仰角和塔底8处的俯角.数据收集：这幢高楼共1 2层，每层高约2.8 米，在高楼楼顶C处测得塔顶A处的仰角为5 8 ,塔底3处的俯角为22 .问题解决：求奉贤电视发射塔AB 的 高 度（结果精确到1 米）.第21页（共30页）参考数据：sin22 0.37,cos220 20.93,tan22 0.40,sin58 七0.85,cos58 40.53,tan58 1.60.根据上述测量方案及数据，请你完成求解过程.【分析】过点C 作 CELA8于点E,根据题意可得四边形。CBE是矩形，C=2.8米X12=33.6米，ZACE=58,ZCBD=2 2 ,在 Rt/XBCZ）中，再根据锐角三角函数可得BO 的长，在 RtZACE中，再根据锐角三角函数可得AE的长，进而可得4 8 的值.【解答】解：过点C 作 C E L 48于点E,根据题意可得四边形CO8E是矩形，C=2.8米X 12=33.6米，ZACE=58,ZCBD=22,：.CE=BD,BE=C=33.6 米，cn在 RtZ3C）中，tanZCBD=,B DCE=84,在 RtZ4CE 中，t a nZACE=,CE 84.AE=84tan58 心 84 X 1.60=134.4,：.AB=AE+BE=AE+CD=3 4 A+3 3.6=16S（米）.答：奉贤电视发射塔AB的高度约为168米.第22页（共30页）A【点评】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能够借助仰角俯角构造直角三角形是解决问题的关键.23.（1 2分）（20 21 秋奉贤区期末）根据相似形的定义可以知道，如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等，且它们各有的四边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形.对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边，对应边的比叫做这两个相似多边形的相似比.（我们研究的四边形都是指凸四边形）（1）某学习小组在探究相似四边形的判定时，得到如下两个命题，请判断它们是真命题还是假命题（直接在横线上填写“真”或“假”）梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似；假命题:有一个内角对应相等的两个菱形相似；直命题.（2）已知：如 图 1,Z V I BC 是 以 8c为斜边的等腰直角三角形，以8c为直角边作等腰直角三角形B C D,再以8。为直角边作等腰直角三角形B O E 求证：四边形4 B O C 与四边形C B E D相似.（3）已知：如图2,在 A BC 中，点。、E分别在边A B、AC上，BE、CO相交于点F,点 G在 A 尸的延长线上，联结B G、C G.如果四边形A O F E 与四边形4 8 G C 相似，且点4、D、F、E 分别对应力、B、G、C.求证：A F，B F=A G，EF.第23页（共30页）A【分析】(1)根据相似多边形的定义，分别从对应边和对应角两个方面判断即可；(2)由等腰直角三角形的性质可知，两个四边形符合相似四边形的定义；(3)根据相似四边形对应角相等得，Z A D F Z A B G,Z A E F=Z A C G,则 C)8G,B E/C G,从而证明四边形BGCF是平行四边形，有 B F=C G,再证明EAFscAG,则 粤 普，等量代换即可证明结论.【解答】(1)解：梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形满足四个角对应线段，但边不是对应成比例，所以原命题是假命题；有一个内角对应相等的两个菱形满足四个角线段，对应边成比例，所以是真命题，故答案为：假，真；(2)证明：由题意知，Z 4=/C B E=90,/A C O=N C f)E=135,/A B D=N B C D=90.NCDB=NE=45 ,四边形ABOC与四边形C B E D的四个角对应相等，设 4 B=A C=x,则 BD=DE=2x,8E=2业，.A B A C C D B D 1前 FF F宝，二四边形ABOC与四边形C B E D的四边对应成比例，二四边形ABOC与四边形C B E D相似：(3)证明：.四边形4。尸 E 与四边形A8GC相似，且点4、。、F、E 分别对应4、B、G、C.：.Z A D F=ZABG,N A E F=ZACG,：.CD/BG,BE/CG,二四边形B G C F是平行四边形，：.BF=CG,第24页(共30页)NAEF=ZACG,NEAF=ACA G,：./E A F/C A G,AFAGAF-AG：.AFBF=AGEF.【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似四边形的定义，等腰直角三角形的性质,平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，读懂定义，紧扣定义中从边和角两个方面进行考虑是解题的关键.24.(1 2分)(20 21 秋奉贤区期末)如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线丫=以2+法+3与 x轴交于点A (-I,0)和点B (3,0),与 y轴交于点C,顶点为。.(1)求该抛物线的表达式的顶点。的坐标；(2)将抛物线沿y轴上下平移，平移后所得新抛物线顶点为M,点 C的对应点为E.如果点M落 在 线 段 上，求/O8E的度数；设直线ME与 x轴正半轴交于点P,与线段BC交于点Q,当 P E=2 P。时，求平移后新抛物线的表达式.【分析】(1)将点A (-1,0)和点B (3,0)代入)，=以 2+汝+3,解方程即可；(2)设直线x=l交 x轴 于 G,由题意可知将抛物线y=-x 2+2r+3 沿 y轴向下平移2个单位时，点M 落在8c上，此时E(0,1),再 利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 说 明 是 等腰直角三角形，从而得出答案；当点P在 x轴正半轴时，则点M在 x 轴下方，如图，作QHLr轴于H,利用平行线分线段成比例可知。尸=2P”，求出点M 的坐标，从而解决问题.【解答】解：(1)将点A (-1,0)和点8 (3,0)代入y=a x 2+b x+3 得，a-b-*-3=0,9a+3b+3=0第25页(共30页)解得卜二1,(b=2.y=-N+2X+3=-(x -1)2+4,二顶点 O (1,4)；(2)设直线x=l交x轴于G,：B(3,0),C(0,3),*OB OC 3 t:.GM=GB=2,:.DM=DG-GM=2,.将抛物线y=-x 2+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点M落在B C上，此时E(0,1),：D(1,4),E(0,1),B(3,0),.2=1 0,BE 2=10,8 0 2=20,:.D 咛+BE =BD2,.B D E是等腰直角三角形，；.NDBE=4 5 ；当点尸在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作。“，工轴于“，第26页(共30页)1/Ef I 7 1 由C(0,3),D(1,4)可知，直线CO与工轴夹角为45,J 平移后 NQP8=45,:,PH=BH,*：OE QH,PE=2 PQ,：.OP=2 PH,4B4=3,D LJ 3 b n 4：.OP=2 BH=92：.GM=GP=,2：.M(1,2平移后抛物线为y=-(x-1)2-去【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，配方法求顶点式，抛物线的平移，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质等知识，根据题意求出平移的距离是解题的关键.25.(1 4 分)(2021秋奉贤区期末)如图1,已知锐角ABC的高4。、8 E 相交于点尸，延长 AO 至 G,使。G=F,联结 BG,CG.(1)求证：BD AC=AD BG(2)如果 8 C=1 0,设 tan/A 8C=，.如图2,当NA BG=90时，用含机的代数式表示BFG的面积；笫27页(共30页)当4 8=8,且四边形8GCE是梯形时，求机的值./B D G/A D C,可证明结论；(2)通过导角可利用ASA证AOB丝A O C,得 BD=CD=BC=5,再通过tanZBGD=m,可得GO=&，则GF=2G)=0,代入三角形的面积公式即可；m m分两种情形，当BG/AC或BE/C G,分别通过导角发现数量关系，从而解决问题.【解答】(1)证明：4 8 C的高A。、BE相交于点RA ZAEB=ZADC=90,又：ZEAF=ZDAC,：.ZAFE=N A SZBFD=ZAFEf：.NBFD=/ACD,rBDLFG,DF=DG,8。垂直平分GE:BG=BF,：.ZBGF=NBFG,：.ZBGF=ZACD,又N8)G=/A D C=90,:.丛BDGs/ADC,第28页(共 30页)B D B G.二一,A D A C：.BD*ACAD*BG-,(2)解：.N4BG=90,/.ZABD+ZGBC=90,：ZGBD+ZBGD=90,，NABD=NBGD,同理/G B O=/84。，由(1)知BDGsZvlDC,：.ZGBD=ZDAC,：.NBAD=NCAD,又；A)=A。，ZADBZADC,：./ADB/ADC(ASA),：.BD=CD=BC=5,2*tan ZABC=m.；tanNBGD=m,GD-.5,m：.GF=2GD=,mS馍FG=X FG X B D=W X-X 5=；2 2 m m当8G AC时，NACB=/GBC,:NGBC=NCAD,：.ZACB=ZCAD=45,设 CO=AO=x,则 BD=10-尤，由勾股定理得，x2+(10-x)2=82,解得 x=5 V7,当 x=5+J7时，BD=10-x=5-V7，止匕时=16+5,5-V?9当 x=5-有 时，BD=IQ-x=5+板,此时，=.5-电=1