2021-2022学年河南省洛阳市洛龙区九年级（下）期中数学试卷（附答案详解）.pdf

2021-2022学年河南省洛阳市洛龙区九年级(下)期中数学试卷1.|的相反数是()A.-B.-C.-D.-32322.3 月 5 日洛阳市在5 个城市区开展全员核酸检测，某企业接到任务加班加点生产，于 2 3 日凌晨完成本次核酸检测需要的13万支核酸提取试剂和病毒采样管，可满足260万人次的大规模核酸采样需要.将数据“260万”用科学记数法表示为()A.0.26 x 107 B.2.6 x 106 C.26x10$D.2.6 x 1053.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小 正 I I 方形中数字表示该位置小正方体的个数，则 该 几 何 体 的 左 视 图 是1一2匚 _3_下列运算正确的是(A.a2+a=3a3C.(a+1)(-1+a)=a2 1B.(-2 a2)3=8a6D.2a2.3a3=6a65.下列调查中，最适合采用抽样调查的是()A.对乘坐某航班的乘客进行安检B.对“神舟十一号”飞船发射前零部件质量情况的调查C.对某校九年级三班学生视力情况的调查D.对某市场上某一品牌手机使用寿命的调查6.当a+b=4时，关于x 的一元二次方程一a/+bx+2=0的根的情况为()A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定7.如图，已知平行四边形ABCO的顶点0(0,0),4(1,2),点 C,在 x 轴负半轴上，O/平分/4 0 C 交于 G,则点G 的坐标 V为()周7AA.(-1.2)/B.(V5-1(2)-1-C.(1-7 5,2)D.(2-7 5,2)8.对于题目“一段抛物线y=-x2+3x+c(0 x 3)与直线y=x+2有唯一公共点.若 c 为整数，确定所有c 的值”.甲的结果是c=l,乙的结果是c=3或 4,则()A.甲的结果正确 B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确9.如图，点A,8 的坐标分别为4(2,0),8(0,2),点 C为坐标平面内一点，BC=1,点 M 为线段AC的中点，连接O M,则 OM的最大值为()A.V2+1B.V2+i2C.2V2+1D.2V2-110.如图，在ZMBC中，AB=AC,BAC=1 2 0,点 E 是边A 8的中点，点 P 是边BC上一动点，设PC=x,P4+PE=y.图是y 关于x 的函数图象，其中”是图象上的最低点.那么a+b的值为()A.7V3 B.2V3+4 C.y V3 D.yV311.计算：(1)=.12.已知4(0,3),8(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是13.如图，在菱形ABC。中，AE 1 B C,垂足为E,点 F、G分别为AB、AO边的中点，连接FG交AE于点H,若尸G=12,AD=1 3,则tanZJlHG的值为.1 4.如图，在每个小正方形的边长均为1 的网格图中，一段圆弧经过格点A,B,C,格点 4。的连线交圆弧于点E,则 图 中 阴 影 部 分 面 积 为.第2页，共23页D1 5.如图，矩形ABC。中，AB=12,BC=1 0,点 E 是 BC上一点且BE=2,点尸是CO上一点且CF=4,将矩形ABC。折叠,使点E 和点尸重合，折痕分别与A。、B C 交于点H G,则 AH的长为.16.(l)a-b =2 V 3,求一 b)瞑的值；(2)解方程3(2%-5)=(2x-5尸.17.4 月 2 3 日是世界读书日，某校鼓励师生利用课余时间广泛阅读.该校文学社甲乙两名同学为了更好的了解全校学生课外阅读情况，分别随机调查了 20名学生每周用于课外阅读的时间，将收集到的数据进行了整理，部分信息如下：数据收集：甲同学从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：分钟)：40,15,20,85,71,90,43,60,120,70,71,80,10,42,65,107,85,71,125,130.乙同学从八年级随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：分钟)：10,42,86,25,70,55,76,30,18,120,102,82,60,140,82,40,114,100,90,98.数据描述：将阅读时间分为四个等级：4(0 x 40),B(40%80),C(80 x 120),0(120 x 0)的图象交于B(a,4).(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)设 M是直线A B 上一点，过 M作M N x 轴，交反比例函数y =0)的图象于点N,若 A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.1 9 .文峰塔位于洛阳市洛邑古城内，始建于宋代，清初重建，是洛阳现存不多的古塔之某数学活动小组想利用学过的数学知识测量文峰塔的高度，如图，为了测量文峰塔AB的高度，数学活动小组在。处树立标杆CD,标杆高度是2 米，在。8上选取观测点E、F,从 E处测得标杆和文峰塔顶部C、A的仰角分别为5 8。、4 5。，从尸处测得C、A的仰角分别为2 2、7 0 .(参考数据：t a n 2 2 0.4 0,t a n 5 8 1.6 0,t a n 7 0 2.7 5.)利用学过的数学知识，求文峰塔48的高度(精确到0.1 米).数学活动小组经过测量计算得出了文峰塔的高度，但是经过讲解员介绍，和文峰塔实际高度有较大的误差，请给数学活动小组提出一条减小误差的建议.第4 页，共 23页2 0.某商场用1 20 0 0 元购进大、小书包各20 0 个，每个小书包比大书包的进价少20 元.在销售过程中发现，小书包每天的销量y i（单位：个）与其销售单价%（单位：元）有如下关系：y =-x +7 6,大书包每天的销量、2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：y2=-z +8 0,其中x,z 均为整数.商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率=销售单价-进价、丽-%（1）求两种书包的进价；（2）当小书包的销售单价为多少元时，两种书包每天销售的总利润相同；（3）当这两种书包每天销售的总利润的和最大时，直接写出此时小书包的销售单价.21.圆幕定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：已知：如图，点 尸为。外一点，切线P A与圆相切于点A,割线P B C与圆相交于点B、C.求证：PA2=PB-PC.证明：如图，连接A B、AC,B O、AO,P4切。于点A,：.P A A O,即4PA B +4 8 4 0 =9 0 .阅读以上材料，完成下列问题：(1)请帮助天天补充完成以上证明过程；(2)如图，割线P O E与圆交于点。、E,月.PB =B C =4,PE =7,求。E的长.2 2.已知抛物线y =a/+c(a于0)经过点p(3,0)、Q(l,4).(1)求抛物线的解析式；(2)若点A在直线P Q上，过点A作A B 1 x轴于点B,以A B为斜边在其左侧作等腰直角三角形48 c.当。与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；若C在抛物线上，求C的坐标.第6页，共23页2 3.在ABC 中，BAC=90,AB=A C,点。在边 BC 上，BD=掷,将线段 OB绕点。顺时针旋转至。E,记旋转角为a,连接BE,C E,以C E为斜边在其一侧作等腰直角三角形C E F,连接4凡(1)如 图1,当a=180。时，请直接写出线段A F与线段8 E的数量关系；(2)当0。a 180时，如图2,(1)中线段A F与线段B E的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3,当B,E,F三点共线时，连接A E,判断四边形AECF的形状，并说明理由.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.【解答】解：-|的相反数是|,故选：C.2.【答案】B【解析】解：260万=2600000=2.6 x 106.故选：B.科学记数法的表示形式为a x IO的形式，其中1|a|io,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值之10时，是正整数；当原数的绝对值 1 时，是负整数.此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a x 1(T的形式，其中1W|a|0,.方程有两个不相等的实数根.故选：A.先计算判别式的值得到/=b2+8 a,再把a=4-b代入得4=(b-4)2+1 6 0,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0(a丰0)的根与4=b2-4ac有如下关系：当A。时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4 0 时，方程无实数根.7.【答案】C【解析】解：过 G点作G H 1 x 轴于H,：0(0,0),4(1,2),O A=+2 2 =6，AM=1,在平行四边形O 4 B C 中，AB/CO,A AAGO =乙CO G,GH=2,O F 平分 O C,乙CO G=Z-AO G,乙AGO =Z-AO G,:.AG=O A V 5,M G =AG-A M =M(1 -V 5,2).故选：C.过 G点作G H J.x 轴于“，由。，A两点坐标可求得。4 =而，A M=1,结合平行四边形的性质及角平分线的定义可求解4 G =而，GH =2,即可求得G M =6-1,再由点的坐标的位置可求解.本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，求解AG的长是解题的关键.8.【答案】D【解析】解：,:一段抛物线y =-x2+3%+c(0 x 3)与直线y =x+2 有唯一公共点,二 分两种情况：如 图 1,抛物线与直线相切，联立解析式比+第10页，共23页 2x+2 c=0,4=(-2)2-4(2-c)=0,解得：c=1,如图2,抛物线与直线相交，且在OW xW 3上只有一个交点,图2此时，两个临界点分别为(0,2),(3,5)在抛物线上，2 c 5,c为整数，c-3,4,5,综上所述，c=1,3,4,5,故选：D.分两种情况：抛物线与直线相切和抛物线与直线相交，且在0 x 3上只有一个交点，进行讨论，求出c的值，即可得出答案.本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，运用分类讨论、数形结合的思想是解决问题的关键.9.【答案】B【解析】解：如图，,点C为坐标平面内一点，BC=1,二 点C在以点B为的圆心，半径为1的圆上，AM=CM,OD=OA,0M是4CD的中位线,O M =-CD,2当。例最大时，即 C 最大，而当。，B,C 三点共线时，C 在 OB的延长线上时，0 M最大，v O B=0D=2,ABO D=90,BD=2V2,CD=2V2+1,.OM=夜+1,即0 M的最大值为近+故选：B.根据同圆的半径相等可知：点 C 在半径为1 的上，通过画图可知，C 在 与 圆 8的交点时，0M 最小，在。8 的延长线上时，0M 最大，根据三角形的中位线定理可得结论.本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定0M 为最大值时点C的位置是关键，也是难点.10.【答案】C【解析】解：当 P 与 B 重合时，由图知，BE +BA=6,点E 是边AB的中点，BE =-AB,2 .BE =2,AB=4=A C,作 A 关于直线BC的对称点A,连接A E交于P,4 4 交于K,连 接 如 图：1 1 匕 时 P4=PA PA+PE=PA+PE,而/、P、E 共线，PA+PE最小，即P4+PE最小,-AB=AC,Z-BAC=120,乙/lBC=4。=30,4、4 关于BC对称，Z-AK C=90,A K =AK =-AC=2,MA K=60,2AA=AB=4,/.BAA=/.BAC-Z.CAK=60,是等边三角形，第12页，共23页E是 AB中点,/.AAE=-AAB=30,AEA=90。，2 AP=AP,Z.PAA=30,APAK=APAE=30,Z.PAC=/.PAK+Z.CAK=90,在Rt 4PC中，AP=AC-tan30=,CP=2AP=b,3 3在APE中，PE=-AP2 3:.a=AP+PE=2/3,.I L n PS 1 8旧 1473 Q+b=2 V3 H-=-,3 3故选：c.当 P 与 8 重合时，由图可得BE=2,AB=4=A C,作 A 关于直线BC的对称点A,连接A E交 BC于 P,4 4 交 BC于 K,连接A B,此时P4=PA,4、P、E 共线,PA+PE最小，即P4+PE最小，根据4B=AC,ABAC=120,A、4 关于8 c 对称，可证 ABA是等边三角形，在Rt 4PC中，得4P=AC-tan30=竽，CP=24P=竽=b,在Rt 4PE中，PE=AP=,即可得答案.本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是正确识图，能作出辅助线，把PA+PE转化为PA+PE的最小值.11.【答案】3【解析】解：原式=1-(-2)=1+2=3,故答案为：3原式利用零指数基法则，以及立方根定义计算即可求出值.此题考查了实数的运算，以及零指数幕，熟练掌握运算法则是解本题的关键.12.【答案】(1,4)【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键.把A、3 的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可.【解答】解：4(0,3),8(2,3)是抛物线丫=一/+加;+。上两点，二代入得：1-4+2b+c=3解得：b=2,c=3,:.y x2+2%+3=-(%一 I)2+4,顶点坐标为(1,4),故答案为(1,4).13.【答案】蔡【解析】解：如图，连接5。交AE于M连接A C,交BD于 点0,点A G分别为A3、AO边的中点，BD=2FG=24,BD/FG.Z.AGH=(ADN,四边形A3CQ是菱形，.AC 1 BD,AO=CO,BO=D0=12,:.AO=yjAD2-D O2=V169-144=5,v 乙ADN+Z.DAO=90,Z-AGH+AHG=90,乙ADN=/-AHG,A tanZ-AHG=tanZ-DAO=,AO 5故答案为：Y-由三角形中位线定理可得BD=2FG=24,BD/FG,AGH=AA D N,由菱形的性质和勾股定理可求4。=5,即可求解.本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.14.【答案】8 8【解析】解：如图，作AB、BC的垂直平分线，两线交于。，连接04、OE、OC,由图形可知ACD是等腰直角三角形,4DAC=45,第14页，共2 3页4E O C=90,AC=CD=yj22+32=V 1 3,O A=O E =21 L L 1 g g 907r x (孚)2 0)的图象交于B(a,4),4=a+2,得a=2,:.4=p 得k=8,即反比例函数解析式为：y=|(x 0)；(2).点4(2,0),:.OA=2,设点M(7 n-2,7 n),点N(,m)(m：0),当MN/10且MN=4。时，以A,O,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，*-(m-2)|=2,解得，m 2企或m=2V3+2,点M 的坐标为(2夜-2,2夜)或(2国,2V3+2).【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.(1)根据一次函数y=尤+b的图象经过点4(-2,0),可以求得b 的值，从而可以解答本题;(2)根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M 的坐标，注意点M 的横坐标大于0.19.【答案】解：在Rt 1/)中，/.CED=58,CD=2米，DE=1.25(米)，tanS8Q 1.6 在RM CDF中，/.CFD=22,DF=/-=2=5(米)，tan22 0.4 EF=DF DE=3.75(米)，设BF=x米，BE=EF+BF=(x+3.75)米，在中，AAFB=70,AB=AF-tan70 2.75x(米)，在RtzMBE中，AEB=45,x 2.14,经检验：x=2.14是原方程的根,：.AB=2.75x a 5.9（米），文峰塔A B的高度约为5.9米；(2)可以多次测量求平均值，以减小误差.【解析】先分别在R M C D E和Rt A C D F中，利用锐角三角函数的定义求出E,DF的长，从而求出E F的长，设8F=x米，然后在R tA A B F中，利用锐角三角函数的定义求出A 8的长，最后在Rt U B E中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程进行计算即可解答；(2)可以多次测量求平均值，以减小误差.本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.20.【答案】解：(1)设大书包的进价为“元/个，则小书包的进价为(a-20)元/个，200a+200(a-20)=12000,解得a=40,a-20=20,答：大书包的进价为40元/个，小书包的进价为20元/个；(2)、商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，X-20 Z-40:，-=-，20 40 z 2x,两种书包每天销售的总利润相同，*(x-20)(x 4-76)=(z-40)(z+80),(%-20)(-%+76)=(2%-40)(2%+80),解得与=2 0,不=28,.销售单价均高于进价，x=20不合题意，:.x=28,答：当小书包的销售单价为28元时，两种书包每天销售的总利润相同；(3)设这两种书包每天销售的总利润的和为卬元，w=(%-20)(-%+76)+(z-40)(z+80),由(2)知，z=2%,w=Q -20)(-%+76)+(2%-40)(-2%+80)=-5 x2+336%4720,.该函数的对称轴是直线 =-曰；=3 3.6,开口向下，有最大值，2X(-5)又%为整数，.当x=34时，卬取得最大值，此时w=924,答：当这两种书包每天销售的总利润的和最大时，此时小书包的销售单价是34元.【解析】(1)根据某商场用12000元购进大、小书包各200个，每个小书包比大书包的进价少20元，可以列出相应的方程，从而可以求得两种书包的进价；第 18页，共 23页(2)根据商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，两种书包每天销售的总利润相同，可以列出相应的方程，从而可以得到当小书包的销售单价为多少元时，两种书包每天销售的总利润相同；(3)根据(2)中x 和 z 的关系和题意，可以得到利润与小书包销售单价之间的函数关系，再根据二次函数的性质，即可得到当这两种书包每天销售的总利润的和最大时，此时小书包的销售单价.本题考查二次函数的应用、一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答.21.【答案】(1)证明：如图，连接AB、AC、BO、AO,P4切。于点A,PA L A O,即 NP4B+/BAO=90.OA OB,./.OAB=/.OBA,v/.OAB+A.OBA+NO=180,2Z.OAB+ZO=180,/.OAB+-AO=90。，2 Z.PAB=-z.0,22:.Z.PAB=乙C,v乙P=乙P,PABs PC A,PA PB=,PC PAPA2=PB PC；(2)解：,；P42=pB-pc.同理：PA2=PD-PE.PBPC=PD-PE.pD=生=4X(4+4)=32 PE 7 7 32 17DE=PE-PD=7=.7 7答：的长为，.【解析】(1)证明P A BS A P CA,即可补充完成证明过程；(2)结合(1)同理可得PA?=PD.PE.所以PB PC=PD-PE.然后代入值即可求出PO的长，进而可得。E 的长.本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，解决本题的关键是得到 PABsx pc A,X猊c,解得22.【答案】解：(1)P(3,O)、(2(1,4)代入丫=。/+(；得：1a=29，C =2 抛物线的解析式为：y=-j x2+|；(2)过C作CHJ.4B于H,交y轴于G,如图：当 A 与Q(l,4)重合时，AB=4,GH=1,ABC是等腰直角三角形，2。”和4 BCH也是等腰直角三角形，CH=AH=BH=-AB=2,2 CG=CH-G H =1,而抛物线y=-1 x2+T的对称轴是y轴。=0),C到抛物线对称轴的距离是CG=1；过C作CH JL4B于H,如图：设直线PQ解析式为丫=/+从 将P(3,0)、Q(l,4)代入得：C：配9解瞰:”二 直线 PQ 为y=-2%+6,设4(m,-2m+6),则48=|-2m+6|,：.CH=AH=BH=AB=|-m +3|,当m+3 2 0,yc=m+3时，xc=m-(m+3)=2m-3,第2 0页，共2 3页将C(2m-3,-m +3)代入y=-1 x2+g得：1 c q m+3=-(2m 3)2+解得?n=或zn=3(与尸重合，舍去)，m=-,2m 3=2,m+3=三，225(一”)当一 m 4-3/2x-2；(2)篮=日仍然成立.理由如下：如图2,Z.ECF=4 5 ,CE 2 在 4 8 C中，Z.BAC =9 0,A B =A C,N B C 4=4 5。，,CB 2r，二 广 ，A CF CAZ-ECF=Z.BCA i ,CE CB:.Z-ACF+Z-ACE=乙B C E +Z-A C Ef Z.ACF=乙B C E,CF CE :=一,CA CB-A C A F s C B E,.AF _ C F _ 立*B E C E 2 雾=仍然成立.BE 2四边形A E C F是平行四边形.理由如下：当B,E,尸三点共线时，如图3,过点。作D G _ L B尸于点G,v 乙BG D =4 B F C =9 0 ,4 D BG =乙C B F,B D G s B C F,第22页，共23页DG BG BD 1=,CF BF BC 3v BD=DE9 DG 1 BE,:BG=EG,BG=EG=EF,EF=CF,CF=BG BF,3由知，AF=-BE=yp2.BG=近CF=CE,Ci4F0A CBE,:.Z-CAF=乙CBE,Z.ACF=乙BCE,乙CEF=乙CBE 4-乙BCE=4 5 ,乙BCE+Z.ACE=Z.ACB=45,乙CBE=Z.ACE,Z.CAF=Z.ACEf AF/CE,-AF=CF,二 四边形AECT是平行四边形.【解析】本题属于相似三角形综合题，三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形性质是解题关键.根据题意得BD=0E=EC=；B C,进而可得 ABCS A/E C,得出装=与=：,设o/IC D C JCF=x,易得4F=2 x,推出BE=2或X,即可得出答案；(2)由 CEF是等腰直角三角形，BAC=90,AB=AC,BJWA CAF CBE,推出 =g =y，则笠=乎仍然成立；D C Cc N D C Z如图3,过点。作DG 1 8产于点G,由旋转得：DE=BD=B C,进而得出ABCGS ABCF,推出4尸=B E =y2BG=f2CF=CE,再由 A CAFL CBE,推出4c4F=ACE,可得4/7/C E,利用平行四边形的判定即可得出答案.