2022年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）（学生版+解析版）.pdf

2022年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的I.(5分）设i为虚数单位，若复数z=1-（甘芞）气，则lzl=()A.1 B.C.2 D.污2.(5分）设集合M=xlx2 4,N=xlz3-2x 2:迈，则MnN=()A.-2,2)s B.-1,i 4 5 C.(-oo,i 5 D.-2,il 3.(5分）命题：玉O,sin(x-l)习的否定为（)A.3xO,sin(x-1)O,sin(x-1)I B.3x:.;o,sin(x-l)?l D.vx:.:;o,sin(x-I)bc B.bca B.若ml/a,nlla，则m/nD.若a上y,al_,则B上yC.cba D.cab 7.(5分）已知13tanl0入cos80=I,则实数入的值为（)A.4 B.4乔C.3召D.2迈8.(5分）在6ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,h,c,已知a,h,c成等差数列，且3sinA=4sinB,则cosA的值为（)1-4.A 1一2.B 1-3.c 1一3.D 9.(5分）中华文化综罗百代，广博精微，国学经典中蕴藏着中华五千年历史的智慧精髓某校学生会举办“传承中华文化，诵读国学经典”活动，供选择的诵读经典著作为：春秋、史记、左传、孙子兵法经过层层遴选，有三位选手进入决赛，这三位选手可以从如上著作中，任选一篇文章诵读那么这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自千同一部著作的概率为()A.上64 29-32 B C._2._ 16 7 D.16 10.(5分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（)1-r-r叫l+-r.个r t t r+飞丁土土r主视图左视图|-r-个r 飞土俯视图A.(2控）亢产B.(3迈）TC产C.3TT产D.41TI2 y 2 l 1.(5分）已知双曲线x2-!,;-=1的左，右焦点分别为Fi,F2,直线l过历且与双曲线交3 千A,B两点，若直线l不与x轴垂直，且(F1A+F1B)AB=0，则直线l的斜率为（)A.土J5巠5+I B 范5土c 1-2 土D 12.(5分）已知函数f(x)矿lnx+lnt对任意XE(O,+00)都有f(x)o，则正数t的最小值为（)?A.e 1 B.一e2 C.e 1-e.D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.(5分）抛物线y2=4x的准线与圆;-+y2-4y=O相交所得的弦长为.14.(5分）橘生淮南则为橘，生于准北则为积，出自屡子使楚意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是积树，现在常用来比喻一且环境改变，事物的性质也可能随之改变某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质匮(单位：g)近似服从正态分布N(90,o勺，且P(86氐90)=0.2,在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质扯不低千94g的橘果个数为.x-3,(x O,w O,I(fJ|；）的部分图象如图所示将亢函数y=f(x)的阳象向右平移一个单位，得到y=g(x)的图象，则下列有关f(x)与g4(x)的描述正确的有（填序号）卿(x)=2sin(2x-i):3亢7TC方程f(x)+g(x)=#(x E(0,)所有根的和为一一；2 l2 函数y=fCx)与函数y=g(x)图象关千x甘对称y lln-12 工-2._ _ _ 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.(12分）设数列a,？.的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2.(l)求数列知的通项公式a11;(2)记bn=4og侠n-3，求数列的前n项和T11.加bn+l18.(12分）棉花是我国主要经济作物、纺织工业原料、重要战略物资址化我国棉花生产碳足迹，解析其时空变化规律，阐明其主要构成因素与影响要素，对千碳达峰，碳中和愿景下我国棉花绿色可待续生产具有重要意义某地因地制宜发展特色棉花种植，随着人们种植意识的提升和科技人员的大力指导，越来越多的农田开始种植棉花，近4年该地区棉花种植面积如表：（单位：百亩）年度厂：阳/20118十种植面积y306 390 2021 4 420(1)请利用所给数据求棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程y=bx+a,并估计该地区2022年棉花的种植面积；(2)针对近几年来棉花出现的生理性笘铃脱落以及棉花枯、黄萎病等问题，某科研小组随机抽查了100亩棉花，对是否按时足扯施用淜肥和棉花产扯进行统计得到如下数据：亩产110kg 亩产110kg未按时足量施用棚肥按时足量施用硐肥20 58 02 _ 问：是否有90的把握认为棉花产量与是否按时足量施用绷肥有关？砑1芍Yi-n芍参考公式：线性回归方程：y=bx+a,其中b=,a歹bx,K2=碑1X产戒2 n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d.临界值表：P(K2ko)0.10 0.05 ko 2.072 I 2.706 3.841 I 9.(12分）已知平面四边形ABCM由等腰6MAC和Rt6ABC组成，AB上BC,MA=MC,0为AC上的点且OA=OC=BC=2（如图l所示），将等腰丛MAC沿AC折起，点M折至点D位置，使得平面DAC上平面ABC（如图2所示）(1)求证：D01-AB;(2)若点E在棱DC上，且满足DE=2EC,平面EAB和平面ABC所成锐二面角的余弦污值为，求四面体ABCD的体积5 M A D c B 图1B2 图迈20.(12分）已知椭圆E经过点（迈-）和点(-1,一）拓3 3(l)求椭圆的标准方程；(2)设圆C:2-沪1,直线l与圆C相切千P(xo,yO）,xoO,sin(x-1)匀的否定为(、丿A.3xO,sin(x-1)O,sin(x-1)l B.3x:s;o,sin Cx-1)l D.VxO.sin Cx-1)O,sin(x-l)bc B.bca C.cba【解答】解：？O=log引a=logs4logs5=1,b=log.!32()=1,:.cab.故选：D.7.(5分）已知沺叭矿吠cos80=1,则实数入的值为（)A.4 8.4,./3 c.3,/3 D.cab D.2迈岳sinl0【解答】解:由加nl0入cos80=I得-I=-入cos80,cosl0 范sinl0-cosl0-2sin20 即=入cos80,cosl0 cosl0-4sin10cos10 良n-:-:-=-4sin 10 =入cos80=入sinl0,cos10 则入-4,入4,故选：A.8.(5分）在丛ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a,b,c成等差数列，且3sinA=4sinB,则cosA的值为（)1-4 A 1一2B 1-3 c 1一3D【解答】解：因为a,b,c成等差数列，所以可得2b=a+c,CD 又因为3sinA=4sin8,4b 所以由芷弦定理可得3a=4b,即a=,代入CD可得c=,2b 3 3 所以cosA=2bc=b2王a2-b2+（野（孕）2-1 2b孕才故选：A.9.(5分）中华文化综罗百代，广博精微，国学经典中蕴藏范中华五千年历史的智慧精髓某校学生会举办“传承中华文化，诵读国学经典”活动，供选择的诵读经典著作为：春秋、史记、左传、孙子兵法经过层层遴选，有三位选手进入决赛，这三位选手可以从如上著作中，任选一篇文章诵读那么这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自千同一部著作的概率为（)A.上64 29-32.B C.16 7 D.16【解答】解：供选择的诵读经典茗作为：春秋、史记、左传、孙子兵法）三位选手进入决赛，这三位选手可以从如上茗作中，任选一篇文章诵读基本事件总数n=43=64,这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自千同一部著作包含的基本事件m=cf.ci CJ=36,那么这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作的概率为：m 36 9 P=下页冗故选：C.10.(5分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（)1-r-r-t r 尸-r.个r t 飞丁土土r主视图左视图|:r 飞l.俯视图A.(2迈）叮2B.(3迈）亢产C.3rr户D.411户【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个圆锥和一个半球组成的组合体；如图所示：所以坛2冗产冗r奸弓丁了2=(2+控）冗产故选：A.沪11.(5分）已知双曲线x2-=1的左，右焦点分别为Fi,F2,直线l过压且与双曲线交3 千A,B两点，若直线l不与x轴垂直，且(F1A+F1B)AB=0,则直线l的斜率为()A.士J3B 土孚旦5土c 1-2 土D【解答】解：双曲线x2沪-=3 1，可得F1(-2,0)，历(2,O).设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线的斜率为Y2-Y1:k=,X2-X1 直线l的方程为：y=k(x-2),y=kx-2k 由题意可得：2 沪，消去y可得：(3-/0，则正数t的最小值为（)A.e 2 1 B.e2 C.e 1 D.-e【解答】解：由题惹，可知ti?-lnx+lntO对i/xE(0,十=)恒成立，则ti?-I呕-lnt对i/xE(0,十=)恒成立，1 txex-1 令g(x)=ter-ln.x(xO)，则g(x)旷=(xO),X X t0时，g(x)O时，令h(x)=txI-1,显然h(x)在（0,00）单调递增，x一0时，hCx)-.-1,x-+00时，h(x)-.+oo,1 故3xoE(0,+00),使得tx-0ex0-1=0,故t=.Int=-In劝XO,X。exo当xE(0,XO)时，h(x)O,g(x)O,g Cx)O,g(x)单调递增，故g(x)mi11=g O)，则矿(x)=-l O,所以xol,t=1 1 X。心2:e 1 所以t的最小值是，e 故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.(5分）抛物线y2=4x的准线与圆；吕沪4y=O相交所得的弦长为_113_.【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.圆x2沪4y=O,可得x2+(y-2)2=4,圆的半径为：2;圆心(O,2),二圆心到准线的距离为d=l,:抛物线的准线与圆C相交所得的弦长为2#了1=2.故答案为：2乔14.(5分）橘生淮南则为橘，生千准北则为积，出自屡子使楚意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是积树，现在常用来比喻一且环境改变，事物的性质也可能随之改变某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质谥(单位：g)近似服从正态分布N(90,a勺，且P(86 90)=0.2，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质立不低千94g的橘果个数为300.【解答】解：？单个果品的质量(单位：g)近似服从正态分布N(90,正），且P(86 氐90)=0.2,:,p(90芢94)=0.2,1-Zx0.2:,p（珍94)=0.3,2 故估计单个果品质量不低干94g的橘果个数为0.3X 1000=300.故答案为：300.x-3,(xl)15.(5分）已知f(x)=，则f(2022)=_:_i_.f(x-4),(x 2 1)【解答】解：因为f(x)=x3,(x O,wO,lcp|；）的部分图象如图所示将亢函数y=f(x)的图象向右平移一个单位，得到y=g(x)的图象，则下列有关f(x)与g4(x)的描述正确的有Q2_.（填序号）亢G)g(x)=2sin(2x-);3 3兀亢方程f(x)+g(x)石(xE(0,)）所有根的和为一；2 12 函数y=f(x)与函数y=g(x)图象关于x甘对称寻乙ll l-2._ _ _ X 11冗【解答】解：由图象知，A=2,T=-(-)=T,兀1212 得w=2,则f(x)=2sin(2x+cp),由五点对应法得2X(冗12)+cp=O得俨芞6 冗得f(x)=2sin(2x+z),6 2亢即=mQ TC 将的数y可(x)的图象向右平移一个单位，得到y=g(x)的图象，4 即g(x)=2sin2(x宁租2sin(2x千护2sin(2y-i),故正确，:g(x)=2sin(2x-；宁-2cos(2x护可(x)+g(x)=2sin(2x飞）-2cos(2x宁2迈sin(2x+千2迈sin(2x护亢亢范旬(x)+g(x)=2迈sin(2x-)森，得sin(2x-)=12 12 2 即2x一五2krr十f或2x卢2krr十气，kEZ,得x朊甘或x=lm平，kEZ,3rr.xE(O,),5兀31C.k=O时，x=或x=24-8 51 k=l时，x=n或x=TT十TC 24-8 则所有根之和为玩3rr玩3兀191+T+T+=24 8 24 8 6 故错误，7亢f(x)关于x甘对称由对称的性质知J（一x)=12 则J（竺x)=2sin2X（竺x)+=2sin（竺2x)=-2sin（巴2x)=-2cos巴12 12 6 3 2 亢勺2x)=-2cos(2x+)=g(x)，故正确，6 故答案为：CD.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.(12分）设数列伽的前n项和为Sn,满足s,=2an-2.(1)求数列伽的通项公式吓(2)记加寸4log诬n-3，求数列的前n项和T11.如bn+l【解答】解：（1)当n=l时，解得a1=2,当n?:2时，Sn-I=2a儿I-2,(2分）an 即Sn-S,1-1=a11=2(a,1-an-1)，即一一=2,(4分）an一1所以数列an是公比为2的等比数列，（5分）又因为a1=2,所以Un=2飞(6分）(2)结合（I)得，bn=./4石言，一（二二），（9分）如bn+1扛五万严4 所以五（拐1）（西妓）（m西）.+（#n+T-0百)4 4 4 4=-(#n+l-1).(12分）4 18.(12分）棉花是我国主要经济作物、纺织工业原料、重要战略物资量化我国棉花生产碳足迹，解析其时空变化规律，阐明其主要构成因素与影响要素，对千“碳达峰，碳中和“愿景下我国棉花绿色可待续生产具有重要意义某地因地制宜发展特色棉花种植，随着人们种植意识的提升和科技人员的大力指导，越来越多的农田开始种植棉花，近4年该地区棉花种植面积如表：（单位：百亩）厂xy 码积度代面年度植年种2020 2021 勹3:04 420(I)诸利用所给数据求棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程y=bx+a,并估计该地区2022年棉花的种植面积；(2)针对近几年来棉花出现的生理性蕾铃脱落以及棉花枯、黄萎病等问题，某科研小组随机抽查了100亩棉花，对是否按时足趾施用溯肥和棉花产趾进行统计得到如下数据：未按时足量施用棚肥按时足量施用堋肥亩产;:110 kg 20 58 亩产110kg 10 12 问：是否有90的把握认为棉花产昼与是否按时足釐施用棚肥有关？参考公式：线性回归方程：y=bx+a,其中b=砑1xiyi-n芍f,a=歹bx,K2=砑1x?-n灭n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d.临界值表：P(K2ko)ko 0.15 0.10 0.05 2.072 2.706 3.841 0.01 6.635【解答】解：（l）根据题意得到了1 _ 1 4 X(1+2+3+4)=2.5,y=j X(306+34 7+390+4 420)=365.75,因为b=忒1斗Yi-4芍3850-4x2.5x365.75_,0 r:=纣1xr-4灭2-30-4x2.5x2.5=38.5,a=365.75-38.5 x 2.5=269.5,所以夕38.Sx+269.S,所以棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程y=38.Sx+269.5,当x=5时，夕38.5X 5+269.5=462,所以估计该地区2022年棉花的种植面积为462百亩(2)结合已知数据得到2X2列联表如下表所示：亩产110kg亩产 2.706,所以有90的把握认为棉花产量与是否按时足量施用棚肥有关19.(12分）已知平面四边形ABCM由等腰!:,MAC和Rtl:,ABC组成，AB1-BC,MA=MC,0为AC上的点且OA=OC=BC=2（如图1所示），将等腰!:,MAC沿AC折起，点M折至点D位置，使得平面DACl_平而ABC（如图2所示）(I)求证：D01-AB;(2)若点E在棱DC上，且满足DE=2EC,平面EAB和平面ABC所成锐二面角的余弦污值为一，求四面体ABCD的体积5 M A D c B11 及fB2 图【解答】证明：（1)因为MA=MC,OA=OC,所以在丛ACD中，DO.lAC.又因为平面DAC上平面ABC,平面DACn平面ABC=AC,DOc平面DAC,所以DO.l平面ABC,又因为ABc平面ABC,所以DO上AB.(2)在平面ABC内过点0作AC的垂线，建立空间直角坐标系如图所示：x,4 a.设OD=aCaO)，则A(O,-2,0),B（灯，L0),C(O,2,0),E(O,),AE=3 3 10 a.1 a(0,-），BE=（疗，-)33 33._ 设平面EAB的一个法向旦n=(x,y,z),叫分=0，即10y+az=0，解得x=产，BE n=0 3范x+y+az=0 z=-a y 不妨取y=a,则;=（迈a,a,10)，结合（1)知，DOJ_平面ABC,取平面ABC一呻的一个法向量OD=(0,0,a),-IODnl 10a污则=-IODll;I-a-/4了石而5，解得a=lO.在!:.ABC中，因为Ac2=AB2+Bc2,所以AB=NZ2=2./?,1 所以!:.ABC的面积为x2x2寸3=23,2 1 所以四而体ABCD的体积为 x2寸3X 10 20范=3 3.20.(12分）已知椭圆E经过点(./2,-)和点(-l，一一）J 3 3(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆C:X红产l,直线l与圆C相切千PCxo,w),xoO且t-=F-r)将点（迈，范岳寸(-1，了）代入椭圆方程得到，解得t=,1 3 r=1,x2 所以椭圆的标准方程为一y2=1.3(4分）(2)不妨设直线l的方程为x=my-n(nO),A(x1,)心，B(xz,yz).因为该直线与圆C相切，所以叫1+m2 1,(6分）所以l+m2=n2,将直线方程代入椭圆方程并消去x得(3+m芍J-2mny+n2-3=0,2mn 则Y1+Y2=,Y1 Y2=祒3(8分）3+m2.n.n.-3+m2 所以IABI五了而勺(y1五）24ym五丁气(32+mm守4xf芦迈，（9分）解得戒1,n2=2,即m=1,n迈词切1=-1,n=./2.(11分）则直线l的方程为x-y+./z=O或x+y+./z=O.(12分）21.(12分）已知函数f(x)=lnx-2ax,aER.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若关千x的不等式f(x)-lnx a.xcosx-siru在区间(O,OO）上恒成立，求a的取值范围【解答】解：（1)函数f(x)=!,ix-2ax的定义域是(O,OO），且f(x)=-2a,1 X 当aO时，f(x)O,此时f(x)的单调递增区间是(O,+OO），无单调减区间；1 1 当aO时，令f(x)O,解得Ox冗，此时f(x)的单调递增区间为(0,)，2a 令f(x)1 2a 此时f(x)的单调递减区间为（上，十00).2a(2)不等式f(x)-lnx axcosx-sinx在区间(O,OO）上恒成立，即sinx2ax+axcosx在区间(0,+=)上恒成立，即sinx-axO在区间(O,+OO）上恒成立；z+cosx sinx 设g(x)=-ax.xE(O,+00),Z+cosx 则g(x)=2cosx+l 2-a，且gCO)1=-a,(Z+cosx)3 2cosx+1 2cosx+4-3 2 3 因为=-(2+cosx)2-(2+cosx)2-2+cosx(2+cosx)2 1 1.2cosx+l 2 3 令t=2+cosx,tE(,3，则E一，l，则-t 3(2+cosx)2 t t2 1 1 2 1 1=-3(f飞）jE-1,一3 1 当aj时，g(x)=Zcosx+l(Z+cosx)2-aO（不恒为O),所以g(x)在(O,+=)上单调递减；所以当cE(0,+00)时，g(x)g CO)=O,符合题意；当aO，因为g(x)的图象是不间断的，所以存在xoE(0,+00),使得对任意的XE(0,XO)，总有gCx)O,所以g(x)在区间(O,.xo)上单调递增，所以对任意的xE(O,xo)，总有g(x)g CO)=O,这与题设矛盾，综上知，实数a的取值范围是一，十oo）（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22.(10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=l+3cosa y=2+3sina(a为参数），以0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为迈pcos(0+i)=1.(l)求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；(2)设点M(3,2)，直线l交曲线C千A,8两点，和MAIIMBI的值【解答】解：（l)结合曲线C的参数方程，消去参数得(x-l)2+(y-2)2=9;根据直线l的极坐标方程为,/zpcos(0奇）1,畔x石(pcase-psin0)=pcos0-psin0=x-y=l,所以直线l的直角坐标方程为x-y-l=0.(2)结合（I)得直线l的倾斜角为：，其一个参数方为x=3+y=Z+了t设点A,B两点对应的参数分别为t1,t2,(t为参数），则将参数方程代入曲线C的普通方程得t2+z-J:让-5=o,t:,=8+20=280,所以叩-5,所以IMAIIMBI=It I t2i=5.选修4-5:不等式选讲23.已知函数f(x)=:-m忏:+21.(1)若f(x)?4的解集为R,求正数m的取值范围；(2)若m=2,函数f(x)的最小值为t,a+b+c=t,求证：(a-1)2+(b+l)2+(c+2)2?12.【解答）（l)解：根据题意得Ix-m曰x+211x-m-(x+2)i=lm+2卜所以lm+214,解得m-6或m2,又因为mO,所以m2,所以正数m的取值范围为2,+=).(2)证明：因为m=2,所以f(x)=Ix-2|婌2|习2-x+x+21=4,所以t=4,所以a+b+c=4,所以(a-1)+(b+l)+(c+2)=6,两边平方得，（a-1)2+(b+l)2+(c+2)2+2(a-1)(b+l)+2(b+l)(c+2)+2(a-1)(c+2)=36,因为(a-l)2+(b+1)2 2 Ca-l)Cb+1),(a-l)2+(c+2)2 2(a-l)(c+2),(b+l)2+(c+2)22(b+l)(c+2),（当且仅当a-l=b+l=c+2=2时取等号），所以3(a-1)2+3(b+l)2+3(c+2)236,所以Ca-1)2+(b+l)2+(c+2)2 12.