2022年江苏省无锡市中考数学试卷解析版.pdf

2022年江苏省无锡市中考数学试卷一、选 择 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请 用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑。）1.（3分）-工的倒数是（）5A.-1 B.-5 C.1 D.55 52.（3分）函 数 中 自 变 量 的 取 值 范 围 是（）A.%4 B.%b,那么h-“V O”的 逆 命 题:.1 6.（3分）如图，正方形A 8 C Q 的边长为8,点 E是 的 中 点，G垂直平分A E 且分别交4 E、8 c 于点口、G,则8 G=1 7.(3 分)把二次函数丁一+以+m的图象向上平移1 个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么相应满足条件：.1 8.(3 分)A B C 是边长为5的等边三角形，Q C E 是边长为3的等边三角形，直线3D与直线A E 交于点F.如图，若点力在A B C内，Z D BC=2 0 ,则 ；现将Q CE 绕点。旋转 1 周，在这个旋转过程中，线段A/长度的最小值是.三、解答题(本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等。)1 9.(8分)计算：(1)|-1|X (-V 3)2-c os 60 ；2(2)a(a+2)-(a+b)(a-b)-b(/?-3).2 0.(8 分)(1)解方程：/一2%-5=0；（2）解不等式组：1 2（X+1）4.3x x+52 1.（1 0 分）如图，在口 A BC。中，点 O为对角线8。的中点，E 尸过点 O且分别交A 3、0c于 点 区F,连接。、BF.求证：（1）Q O F 之班）；（2）DE=BF.2 2.（1 0 分）建国中学有7 位学生的生日是1 0 月 1日，其中男生分别记为A,A 3,A 4,女 生 分 别 记 为&,B3.学校准备召开国庆联欢会，计划从这7 位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动.（1 ）若 任 意 抽 取 1位学生，且抽取的学生为女生的概率是;（2）若先从男生中任意抽取1 位，再从女生中任意抽取1 位，求抽得的2 位学生中至少有1 位是4 或 8 的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）2 3.（1 0 分）育人中学初二年级共有2 0 0 名学生，2 0 2 1 年秋学期学校组织初二年级学生参加30 秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如下：育人中学初二学生30 秒跳绳测试成绩的频数分布表跳绳个数（%）%W 50 50 x 60 V x 70 80W 60W 70W 80频数(摸底测试)1 92 772a 1 7频数(最终测试)3659b c(1)表格中a=;(2)请把下面的扇形统计图补充完整；(只需标注相应的数据)(3)请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30 秒跳绳超过80 个的人数有多少？育人中学初二学生30秒跳绳最终测试成绩扇形统”图(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在 AC 右上方确定点D,使N D 4 C=N A C B,且 C O L A。；(不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若N B=60 ,AB=2,B C=3,则四边形A B C D的面积为2 5.（1 0 分）如图，边长为6 的等边三角形A 3 C 内接于。，点。为4 c上的动点（点4、。除外），8 D的延长线交。于点E,连接CE.（1）求证：2 C E D sMB收、（2）当Z）C=2 A Q 时，求 C E 的长.2 6.（1 0 分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为1 0）,另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为加（如图）.（1）若矩形养殖场的总面积为3 6 落 求此时的值；（2）当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？2 7.(1 0 分)如图，已知四边形A B C D 为矩形，AB=2近,BC=4,点E在 3 c 上，CE=AE,A A B C沿A C翻折到A F C,连接EF.(1)求取的长；(2)求 s i nN C E/的值.2 8.(1 0 分)已知二次函数y=-/(J-bx+c图象的对称轴与轴交于点A (1,0),图象与y 轴交于点8 (0,3),C、。为该二次函数图象上的两个动点(点。在点。的左侧)，且N C A D=90 .(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求 t a nN C D A 的值；(3)点。是否存在其他的位置，使得t a n/C D A 的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.2022年江苏省无锡市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请 用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑。）1.（3分）-工的倒数是（）5A.-1 B.-5 C.1 D.55 5【分析】根据倒数的定义可知.【解答】解：-上的倒数是-5.5故选：B.【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.2.（3分）函数）=日 三中自变量的取值范围是（）A.%4 B.x 0：O D O A,：.DE 0,b 0,写出符合此条件的函数解析式即可.【解答】解:设一次函数的解析式为=区+h g。）,.一次函数的图象分别与入轴的负半轴、y轴的正半轴相交，：.k0,h0,符合条件的函数解析式可以为：y=x+l （答案不唯一）.故答案为：y=x+（答案不唯一）.【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键.15.（3分）请写出命题“如果。从 那么。b .【分析】交换题设和结论即可得到一个命题的逆命题.【解答】解：命 题“如果a b,那么b-。0”的逆命题是“如果b-。h.故答案为：如果b-。0,那么【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解交换一个命题的题设和结论即可得到这个命题的逆命题.16.(3 分)如图，正方形A8CQ的边长为8,点 E 是 CD的中点，G 垂直平分AE且分别交AE、BC于点、H、G,则BG=1 .【分析】延 长 BC、A E 交 于 F,构 造 全 等 三 角 形 石 也 FCE(ASA)；连接4G、E G,根据G 是 AE的垂直平分线，可得AG=E G,根据正方形的性质证明ADE也可得=AD=8,设 CG=%,则 BG=8-%,根据勾股定理可得A+BGnCE+CG?,可求得的值，进而求出BG的长.【解答】解：如图，延长BC、AE交于足 连接AG、EG,GH是AE的垂直平分线，：.AG=EG,.四边形A8CQ是正方形，：.AD=DC=CB=AB=8,ZD=ZDCF=90,.,E是 CQ的中点,：.DE=CE=4,ZDEA=ZCEF,:.ADEQXFCE(ASA),.*.CF=AZ)=8,设 C G=x,贝i)BG=8-%,在RtZVLBG和Rt/XGCE中，根据勾股定理，得AB-+BGCP+CG1,即 82+(8-%)2 =染+%2,解得=7,：.BG=BC-CG=8-7=1.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质构造辅助线.17.（3分）把二次函数y=%2+4%+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么相应满足条件：m 3 .【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得 (),即可求解.【解答】解：把二次函数y=/+4x+m=(%-2)2+m-4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后的解析式为：y=(A：+2-3)-+m-4+1,.,.平移后的解析式为：y=x2-2 x+m-2,.对称轴为直线=1,平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，A=4-4(m-2)3.【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换.18.(3分)ABC是边长为5的等边三角形，)口是边长为3的等边三角形，直线BD与直线A E交于点立如图，若 点D在内，NDBC=20,则 80 ；现将QCE 绕点 C 旋转1周，在这个旋转过程中，线段Ab长度的最小值是 4-.B【分析】第一个问题证明BCD之ZkACE(SAS),推出NDBC=NEAC=20,可得NBV=NBAC+NC4=80.第二个问题，如图 1 中，设 8E 交AC于点工 证明NBCT=NAFT=60,推出点方在ABC的外接圆上运动，当NA6/最小时，A尸的值最小，此时 C O L 8Q,求出AE,E/可得结论.【解答】解：ACB,DEC都是等边三角形，:.AC=CB,DC=EC,ZACB=ZDCE60,：./BCD=NACE,在3CO和ACE中，C B=C A-Z B C D=Z AC E，C D=C E.,.BCDAACE(SAS),：.ZDBC=ZEAC=20,VZBAC=60,NBAF=ZBAC+ZCAE=80.如图1 中，设 3E 交AC于点T.：.ZCBD=ZCAF,:NBTC=ZATF,：.ZBCT=ZAFT=60,.点尸在ABC的外接圆上运动，当NAB尸最小时一，A尸的值最小,此 时CDVBD,；BD=VBC2-C D2=V52-32=4,：.AE=BD=4,ZBDC=ZAEC=90,：CD=CE,CF=CF,.,.RtACFRtACF(HL),：.ZDCF=ZECF=30,.衣=CEtan30=,：.AF的最小值=4E-F=4-如,故答案为：80,4-V3.【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轨迹，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.三、解答题(本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等。)1 9.(8分)计 算：(1)|-1|X (-V 3)2-c o s 6 0 ；2(2)a(a+2)-Ca+h)(a-b)-h(Z -3).【分析】(1)根据绝对值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可.【解答】解：(1)原式=2 X 3-22 2=3-12 2=1;(2)原式=+2。-(-加)-b73ba1+2 a-a2+b2-h2+3h=2 a+3b.【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，单项式乘多项式，平方差公式，掌握=-是解题的关键.20.(8 分)(1)解方程：炉 _2%-5=0；(2)解不等式组：1 2(X+1)4.,3x4x+5【分析】(1)根据配方法可以解答此方程；(2)先解出每个不等式，然后即可得到不等式组的解集.【解答】解：(1)炉-2%-5 =0,x2-2%=5,/-2 x+l=5+1,(%-1)占6,二.-1 =土提，解得了1 =1+，2=1-五；(2)12(x+l)g13 x1,解不等式，得：包，2.原不等式组的解集是2【点评】本题考查解一元二次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法和解一元一次不等式组的方法.2 1.(10分)如 图，在中，点O为 对 角 线 的 中 点，E尸过点。且分别交A 3、0c于 点 区F,连接Q E、B F.求证：(1)D O 0 A B O E；DE=B F.【分析】(1)根据全等三角形的判定定理证明即可；(2)根据全等三角形的性质，平行四边形的判定定理和性质定理证明即可.【解答】证明：(1)点。为对角线BD的中点，：.OD=OB,四边形ABCD是平行四边形，C.DF/EB,：./DFE=ZBEF,在Q0尸和8 0 E 中，ZDFO=ZBEO，ZDOFZBOE，D O=B O:.ADOF经 ABOE(A4S).(2),:ADOF沿 ABOE,：.DF=EB,:DFEB,四边形DFBE是平行四边形，：.DE=BF.【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键.22.(10分)建国中学有7 位学生的生日是10月 1 日，其中男生分别记为A,A2,A3,4,女 生 分 别 记 为&,&.学校准备召开国庆联欢会，计划从这7 位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动.（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 3.7（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A或8的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共 有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A,或8的结果有6种，再由概率公式求解即可.【解答】解：（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是3,7故答案为：;7（2）画树状图如下：开始A A A AB i B?B 3 B B?B；B i 场 B j B i B?B j共 有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A或8的结果有6种，抽得的2位学生中至少有1位是4或B i的 概 率 为&=工12 2【点评】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所 求情况数与总情况数之比.23.（10分）育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如下：育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表跳绳个数()%W5050V%W6060 VxW707080W80频数(摸底测试)192772a 17频数(最终测试)3659b c(1)表格中a=65；(2)请把下面的扇形统计图补充完整；(只需标注相应的数据)(3)请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有多少？育人中学初:学生30秒跳绳最终测试成绩扇形统计图【分析】(1)用学生总人数减去各组的频数可求解;(2)先求出 8 0这组的百分比，即可求解；(3)用学生总人数乘以百分比，可求解.【解答】解：(1)=2 0 0 -1 9 -2 7 -7 2 -1 7=6 5,故答案为:6 5；（2）1 0 0%-4 1%-2 9.5%-3%-1.5%=2 5%,扇形统计图补充：如图所示：育人中学初二学生30秒跳绳最终测试成绩盘形统计图答：经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超 过8 0个的人数有5 0 人.【点评】本题考查了扇形统计图，利用统计图获取信息的能力，利用统计表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.2 4.（1 0分）如图，/XA B C为锐角三角形.（1）请 在 图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D,使N D 4 C=N A C B,且C）_L A Q；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若N B=6 0 ,AB=2,B C=3,则四边形ABCD的面积为 5（图I）（图2）【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）过点A 作于点求出AH,A D,利用梯形面积公式求解.【解答】解：（1）如图1 中，点。即为所求；(2)过点A 作A H,3 c 于点从在 RtZiAB中，AB=2,ZB=60,：.BH=AB*cos60=1,AH=ABsin60=北,：.CH=BC-BH=2,：ZDAC=ZACB,：.AD/BC,：AHCB,CDA,AD,，N A H C=Z A D C=Z D C H=9 0 ,.四边形A H C Q 是矩形，:.AD=CH=2,S H a ABCD=A X(2+3)X2=5,2故答案为：5.【点评】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.2 5.(1 0 分)如图，边长为6的等边三角形A B C 内接于。，点。为AC上的动点(点4、C除外)，8D的延长线交。O于点E,连接CE.(1)求证：M C E D sB A D；(2)当Q C=2 A O 时，求 C E 的长.【分析】(1)由对顶角的性质，圆周角定理得出N C Q E=N 3 D 4,N A=/E,即可证明C E Z)s 氏4 0；(2)过点D作DF.LEC于点F,由等边三角形的性质得出N A =6 0 ,A C=A B=6,由 D C=2 A D,得出 AD=2,D C=4,由相似三角形的性质得以上幽&=3，D E A D 2得出E C=3 O E,由含30 角的直角三角形的性质得出Q E=2 E R设 E F=x,则 DE=2x,DF=43x,E C=6x,进而得出 FC=5x,利用勾股定理得出一元二次方程（M%）2+（5%）2=4 2,解方程求出%的值，即可求出EC 的长度.【解答】（1）证明：如图1,：NCDE=/BDA,ZA=ZE,:A C E D sA B A D；(2)解：如图2,过点。作于点R图2V A ABC 是边长为6 等边三角形,A ZA=60,AC=AB=6,：DC=2AD,：.AD=2,D C=4,:ACEDsABAD,.&a&=3，D E A D 2：.EC=3DE,V Z E=Z A=60,DFLEC,：.ZEDF=90-60=30,：.DE=2EF,设石尸=%,贝ljQE=2%,DF=MX,EC=6X,：.FC=5x,在 RtQbC 中，DF+FC2=DC2,（V 3 x）2+（5%）2=4 2,解得：巨 或-a巨（不符合题意，舍去），7 7：.EC=6x=.7【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识是解决问题的关键.26.（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10）,另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24切，设较小矩形的宽为小（如图）.（1）若矩形养殖场的总面积为3 6/,求此时的值；（2）当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【分析】(1)根据题意知：较大矩形的宽为2初7,长为24-X-2X=(83-%)m,可 得(%+2%)X (8-%)=3 6,解方程取符合题意的解，即可得x的值为2 m；(2)设矩形养殖场的总面积是y m 根据墙的长度为1 0,可得0与，而 y=(x+2%)X (8-%)=-3x2+2 4x=-3 (-4)2+4 8,由二次函数性质即得当=改时，矩形养殖场的总面积最大，最大3值为3【解答】解：(1)根据题意知：较大矩形的宽为2初1,长为24-x-2x3=(8 -%)m,：.(x+2%)X (8-)=3 6,解得=2 或%=6,经检验，=6 时、3%=1 8 1 0 不符合题意，舍去，=6,答:此时的值为2加(2)设矩形养殖场的总面积是)僧2,墙的长度为1 0,.o v%w 旦3根据题意得：y(%+2%)X (8-%)=-3/+24%=-3 (-4)2+4 8,:-30,当=凶时,y取最大值,最大值为-3X （的-4）2+48=坨（而）,3 3 3答：当=改时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为坨病.3 3【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式.27.（10分）如图，已知四边形ABC0为矩形，AB=2近,BC=4,点E 在 8 c 上，C E=AE,将48C 沿AC翻折到AFC,连接（1）求取的长；（2）求 sinNCE/的值.【分析】（1）根据翻折变换的特点和勾股定理结合方程思想解答即可；（2）根据锐角三角函数的定义，利用勾股定理解答即可.【解答】解：（1）V CE=AE,：.ZECA=ZEAC,根据翻折可得：ZECA=ZFCA,ZBAC=ZCAF,.四边形ABCQ是矩形，：.DA/CB,：.ZECA=ZCAD,：.ZEACZCAD,：.ZDAF=ZBAE,V ZB AD=90,A ZEAF=90 ,设 C E=A E=x,则 8E=4-%,在84E中，根据勾股定理可得：BAz+BSAE2,即：(2V2)2+(4-X)2=X2J解得：x=3,在 RtAEAF 中，EF=AF2+A E2=(2)过点尸作/G，8C交BC于 点G,设 C G=x,贝iG=3-%,VFC=4,F E=K，：.FG=FC-CG2=FE-EG2,即：16-1=17-(3-x)2,解得：x=l,3*F G=VFC2-CG2=，A sinZ C E F=Il=8.EF 51【点评】本题主要考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握这些性质特点是解答本题的关键.28.（1 0 分）已知二次函数y=-肥 2+法图象的对称轴与轴交于点A （1,0）,图象与y 轴交于点3 （0,3）,C、。为该二次函数图象上的两个动点（点 C 在点。的左侧），且NCA D=90 .（1）求该二次函数的表达式；（2）若点C 与点8 重合，求 t a n NCZ M 的值；（3）点 C 是否存在其他的位置，使得t a n NCD A 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）二次函数与y 轴交于点B（0,3）,求得c=3,根据A（1,0）,即二次函数对称轴为直线=1,求出。的值，即可得到二次函数的表达式；(2)通过证明 ADE s BAO,BODE=OAA E,然后结合点D的坐标特征列方程求得。E和A E的长度，从而求解；(3)根据题目要求，找出符合条件的点。的位置，再利用几何图形的性质，结合方程思想求出对应点C 的坐标即可.【解答】解：将点3 (0,3)代入+法+c,可得c=0,二次函数y=图象的对称轴与轴交于点A(1,0),解得：。=工，2二次函数的解析式为y=-X v2+l x+3;：.ZBAO+ZDAE=90,V ZADE+ZDAE=90,ZADE=ZBAO,：ZB O A =ZDEA=90 ,A D E s M A O,.&M g|J B CfD E=O AAE,AE DE设。点坐 标 为（/,-U+L+3 ）,4 2：.OE=t,D E=-Xt2+lt+3,AEt-1,4 23 （-尸+1/+3）t -,4 2解得：f=-M（舍去），=4,3当 f=4 时.，y=-F+L+3=1,4 2：.AE=3,DE=,在 R t Z kADE 中，AZ）=JAE2+DE2=V ，在.R t Z A0 8 中，A8=40A2 m B2=H 1 0,在 R t AACD 中，t a n N CO A=1；AD（3）存在，理由如下:如图，与（2）图 中 关 于 对 称 轴 对 称 时，t a n/C D A，此时，点C 的坐标为（-2,1）,当点C、。关于对称轴对称时，此时A C 与 A O长度相等，即t a n D A=l,当点C 在入轴上方时，过点C 作 C E 垂直于轴，垂足为,.,N C4 Q=90 ,点 C、。关于对称轴对称，：.ZCAE=45,.C4 E 为等腰直角三角形，A CE=AE,设点C 的坐标为(m,-A m2+Am+3),4 2CE=-A m2+A；n+3,AE=1-m,4 2-A m2+A/n+3 =1 -m,4 2解得m=3+V T 7 (舍去)或加=3此时点C 的坐标为(3 -V 1 7，V r?-2)；当点C 在入轴下方时，过点C 作 C b 垂直于1 轴，垂足为尸,.,N C4 D=90 ,点C、。关于对称轴对称，.*.Z CAF=4 5 ,为等腰直角三角形，A CF=AF,设 点C的 坐标 为（加，-ljn2+m+3）,4 2C F=A m2-Am -3,A F=1 -m,4 2.l/ri2-A m -3=1-m,4 2解得 m=-1+7 1 7 （舍去）或 m=-1 -此时点C的坐标为（-1 -W7，-A/17-2）；综上，点C的坐标为（-2,1）或（3 -7 1 7 /1 7 -2）或（-1 -V 1 7，-V T 7 -2）.【点评】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合、分类讨论及方程思想解题是关键.