2022年高考数学一轮复习46空间向量在立体几何中的应用(一)学案理.pdf
第四十六课时空间向量在立体几何中的应用(一)课前预习案2考纲要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量。2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。2基础知识梳理1.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行设直线/和/的方向向量分别为V 和V,则/或/与/重 合=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 2 12 12 12己知两个不共线向量U ,V 与平面a 共面，直线/的一个方向向量为V ,则/a 或/在a1 2内=一 一.已 知 两 个 不 共 线 理J闰-量V ,V与 平 面 a共 面，则 a/劭 或 a与。重合1 20.2.用向量运算证明两条直线垂直_ 一设直线/和/的方向向量分别为u 和 u,贝I _ L/。1 2 12 123.用向量运算求两条直线所成的角设直线 和/，的方向向量分别为、和毛，直线 和/，所成的角为。，则与。的关系是,即cos。=.两 条 异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 是.4.用平面的法向量证明两个平面平行或垂直 一一设，分别是平面a,B 的法向量，则 a 或a 与 0 重合=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 2a 1 p.5.直线与平面的夹角(1)叫做斜线和平面所成的角，斜线和平面所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中一(2)直 线 与 平 面 所 成 角 的 范 围 是.(3)若斜线与它在平面内射影的夹角为。，此射影与平面内直线的夹角为。，斜线与平面I 2内该直线的夹角为仇则0,0,0 之间的关系是.6.利用平面的法向量求直线和平面所成的角直线/的方向向量加，平面a的法向量为，/与a所成的角为。，则sin。,3 预习自测-1、以点A(4,l,9),8(10,l,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是()A、等 腰 直 角三角形B、等 边 三 角 形C、直 角 三 角 形D、无法判断2、Bfl=(cos0,1,sin0),/?=(sin0,1,cos0),则向量a 与“一人的夹角是()A、90 B、60 C、30 D、03、正方体M8CO A 3 C O中，8 8与平面ACO。所成角的余弦值为C )_ i l l i A、乎 B、C、D、4、在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是()A.B.C.D.6 已 知的一个法向量.典型例题考 点 1：利用向量证明平行与垂直问题求 平 面课堂探究案【典 例 1 如图，正方形A B C D 和四边形A C E F 所在的平面互相垂直，C E L A C,E F A C,A B=,C E=E F=1.(1)求证：A F 平面B D E；(2)求证：C F，平面B D E。B考点2利用向量求两条异面直线所成的角【典 例 2】【2 0 1 2 上 海如图，在四棱锥中，底面 是 矩 形，底 面是的中点，已 知求：（1）三角形的面积;与所成的角的大小。考点3：利用向量求直线与平面所成的角证明【变 式1如图，在正三棱柱中，A B=4,点D是B C的中点，点E在A C上，且(1)证明：平面平面；(2)求直线AD和平面所成角的正弦值。当堂检测1、已知正四棱柱中，=,为中点，则异面直线与所成角的余弦值为()(A)(B)(C)(D)2、如图，在直棱柱证明：课后拓展案A组全员必做题棱中1正四柱,则 异所成角的余弦值为（）面 直 线与B2、已知正三棱柱ABC-ARQ 的侧棱长与底面边长相等，则 AB|与侧面ACCA所成角的正弦值等 于()(A)(B)(0夹角的余弦值为（）A.B.C.D.B组4、如图所示，在正方体A B C D 一人尸 中，E是棱D 1 的中点。(1)求直线B E 与平面A B B A 所 版/的 正 弦 值；(2)在棱CR上 是 否 存 在 点 F,使 B J 平面A B E?证明你的结论。B组提高选做题在四棱锥P A B C D 中，P D J _ 底面A B C D,底面A B C D 为正方形，P D=D C,E、F分别是A B、P B 的中点.求 证：E F 1 C D；(2)在平面P A D 内求一点G,使 G F J _ 平面P C B,并证明你的结论.参考答案预习自测1.A2.A3.D4.C6.解设为平面的一个法向量,得，即 平 面 的 一 个 法 向 量 为典型例题又，四边形 为平行四边形,，又V平 面(2)平面，平 面平 面 ！_ 平面,_L建立空间直角坐标系,则_ L平面.【典例2】解：（1）1为矩形，底面平面又平面(2)即 异 面 直 线 与所成的角大小为.【典例3】(1)证 明：取 中 点，连接又zz又1平面(2)解：平面_L平面,平面,两两垂直.以,所 在 直 线 分 别 为 轴轴轴建立空间直角坐标系，设为 平 面 的 一 个 法 向 量，则即令则，设 直 线与 平所成角为【变 式 1 (1)证明：.该棱柱为正三棱柱，平面平面又平 面平面平 面_L 平 面以为原点轴轴轴建立空间直角坐标系（图略）,则设法向量则,贝 IJ,设直线与平面所成角为故 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为当堂检测1.C2.(1)证明：.该棱柱为直棱柱,平面平面又 平面,(2)轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设则则设直线与平面所成的角为A组全员必做题1.D2.A3.A轴建立空间直角坐标系（图略）,的 一 个 法 向 量(1)设 直 线 与 平 面 所 成 角 为则.(2),设为的一个法向量，则平面即整理得设，则*解得,即是 棱中点时，平面.B组提高选做题(1)证明 如图，以 D A、D C、D P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 A D=a,则 D (0,0,0)、A (a,0,0)B(a,a,0)、C(0,a,0)、E(a,右 0)、,a a a)P(0,0,a)、F j,-J.前=(一 ,0,野，DC=(0,a,0).亦 应=0,.-.EPDC,BP EFCD.(2)解 设 G(x,0,z),则前=(x*I，zS若使GF，平面PCB,则由FG CB=xz引 (a,0,0)=伞 一|)=0，得 x=$r r a a由FG 日=卜一亍 z-j-(0,-a,a)a2 (a、=万+空 一 引=O 得 z=0.G点坐标为(|,o,o),即 G 点为A D 的中点.
