2022年湖南省长沙市中考数学试卷（附答案详解）.pdf

2022年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题(本大题共10小题，共30.0分)-6的相反数是(B.-62.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是()正面3.下列说法中，正 确 的 是()A.调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查B.“太阳东升西落”是不可能事件C.为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图D.任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次4.下列计算正确的是()A.a7-i-a5=a2 B.5a-4a=1C.3a2-2a3 6a6 D.(a b)2=a2-b25.在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是()A.(-5,1)B.(5,-1)C.(1,5)D.(-5,-1)6.，义务教育课程标准(2022年版“首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定.某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3,5,4,6,3,3,4.则这组数据的众数和中位数分别是()A.3,4B.4,3C.3,3D.4,47.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本,乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（）A.8x元 B.10(100%)元 C.8(100 x)元 D.(100 8%)元8.如图，AB/CD,AE/CF,/.BAE=75,则Z_DCF的 度 数 为()A.65 B.70C.75D.105A.32B.52C.64D.7210.如图，在 ABC中，按以下步骤作图：分别过点4、B为圆心，大 于 的 长 为 半 径 画 弧，两弧交于P、Q两点；作直线PQ交AB于点。；以点。为圆心，4。长为半径画弧交PQ于点M,连接AM,BM.若AB=2 五,则4M的长为（）A.4B.2C.V3D.V2二、填 空 题（本大题共6小题，共18.0分）11.若式子V T R在实数范围内有意义，则 实 数 久 的 取 值 范 围 是.第2页，共21页12.分式方程:=京 的 解 是 一13.如图，4、B、C是。上的点，0 C 1 4 B,垂足为点D,且。为0C的中点，若。4=7,则BC的长为.14.关于x的一元二次方程/+2%+1 =0有两个不相等的实数根，则实数t的值为15.为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了 100名学生进行调查.结果显示有95名学生知晓.由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有 名.16.当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区 区“二维码”已经展现出无穷威力.看似“码码相同”，实 则“码码不同”.通常，一 个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识，这200个方格可以生成22。个不同的数据二维码，现有四名网友对22。的理解如下：yyos（永远的神）：22。就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：22。等于2002；JXN C（觉醒年代）：220。的个位数字是6；QGYW（强国有我）:我知道21=1024,103=1 00 0,所以我估计2?。比1。6。大.其中对220。的 理 解 错 误 的 网 友 是（填写网名字母代号）.三、解 答 题（本大题共9 小题，共 72.0分）17.计算：|-4|+(1)-1-(V 2)2+2035.18.解不等式组:3x -8 x(J)2(x-1)61 9.为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角NBA。=30,8。_ 14。于点。.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15。.(1)求该斜坡的高度BD：(2)求斜坡新起点C与原起点4之间的距离.(假设图中C,A,。三点共线)C20.2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛.为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了 150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表.成绩X/分频数频率60 x 70150.170%80a0.280%9045b90 x 10060C(1)表中 a=,b=,c=；(2)请补全频数分布直方图；(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率.第4页，共21页21.如图，4 c 平分NBA。，CB LA B,CD LAD,垂足分别为B,D.(1)求证：,ABCADC；(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABC。的面积.22.电 影 GU三姐少中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题.其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同.问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主.”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“小 ,错误的打“X”.刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案.刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案.该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种.(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量.23.如图，在中，对角线AC,BD相交于点。，AB=AD.(1)求证：AC 1(2)若点E,F分别为4D,4。的中点，连接EF,EF=|,AO=2,求BD的长及四边形4BCD的周长.EDA24.如图，四边形48CD内接于。，对角线4C,BD相交于点E,点F在边4 0上，连接EF.(1)求证：2 A B E T D C E；(2)当 虎=&,W FE =2“DB时，则黑一笑AF.FE 1,-1-=-FAB AD-ABa3=.(直接将结果填写在相应的横线上)(3)记四边形4BCD,ABE,CDE的面积依次为S,SS2,若满足遮=同 +医，试判断AABE,ACDE的形状，并说明理由.当 虎=CB 1),求函数y的“共同体函数”无 的最大值；(3)若函数y=-M +4x+k,是否存在实数匕 使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“八 的最小值.若存在，求出土 的值；若不存在，请说明理由.第 6 页，共 21页答案和解析1.【答案】D【解析】解：-6 的相反数是6,故选：D.根据相反数的意义，即可解答.本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键.2.【答案】B【解析】解：根据主视图的概念，可知选8,故选：B.主视图是从前往后得到的正投影.本题考查三视图的概念，掌握概念是解题的关键.3.【答案】A【解析】解：4、调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故 A 符合题意；8、“太阳东升西落”是必然事件，故 B 不符合题意；C、为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故 C不符合题意：D、任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，故。不符合题意；故 选:A.根据概率的意义，全面调查与抽样调查，条形统计图，随机事件，逐一判断即可解答.本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，条形统计图，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键.4.【答案】4【解析】解：a7-i-a5=a75=a2,.4的计算正确；5a-4 a=a,.B的计算不正确；v3a2-2a=6a5,二C选项的计算不正确；(a-b)2 =a2-2 ab+b2,D选项的计算不正确，综上，计算正确的是4,故选：A.利用同底数基的除法法则，合并同类项的法则，单项式乘以单项式的法则和完全平方公式对每个选项的结论作出判断即可得出结论.本题主要考查了同底数累的除法法则，合并同类项的法则，单项式乘以单项式的法则和完全平方公式，正确使用上述法则与公式进行运算是解题的关键.5.【答案】D【解析】解：根据中心对称的性质，可知：点(5,1)关于原点。中心对称的点的坐标为(-5,-1).故选：D.根据平面直角坐标系中任意一点(%,y),关于原点的对称点是(-%-/，然后直接作答即可.本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形.6.【答案】A【解析】解：.这7个数据中出现次数最多的数据是3,这组数据的众数是3.把这组数据按从小到大顺序排为：3,3,3,4,4,5,6,位于中间的数据为4,这组数据的中位数为4,故选：A.这7个数据中出现次数最多的数据为众数是3,中位数是把这组数据按从小到大的顺序排,位于中间的数据是4.本题主要考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则第8页，共21页称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数这这组数据的中位数.7.【答案】C【解析】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8(100-X)元.故选：C.直接利用乙的单价x 乙的本书=乙的费用，进而得出答案.此题主要考查了列代数式，正确表示出乙的本书是解题关键.8.【答案】C【解析】解：如图:：AB/CD,：.乙DGE=/.BAE=75,-AE/CF,乙 DCF=4 DGE=75,故选：C.根据平行线性质，可得NDGE=BAE=KDGE=75.本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等.9.【答案】B【解析】解：PA,PB是。的切线，4、B为切点，Z.OAP=4OBP=90,Z.AOB=128,乙P=360-AOAP-乙OBP 一乙P=52,故选：B.利用切线的性质可得NO/1P=4OBP=90。，然后利用四边形内角和是360。，进行计算即可解答.本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键.10.【答案】B【解析】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，以点。为圆心，4 0 长为半径画弧交PQ于点M,:.DA DM=DB,/.Z.DAM=Z.DM A,乙DBM=4DMB,Z,DAM+DMA+乙 DBM+M B =180,:.2Z,DMA+2乙DMB=180,ZDM4+4DM8=90。，即44MB=90。，.4MB是等腰直角三角形，：.A M=AB=x2y/2=2,2 2故选：B.证明 4MB是等腰直角三角形，即可得到答案.本题考查尺规作图中的相关计算问题,解题的关键是根据作图证明 4MB是等腰直角三角形.11.【答案】x 19【解析】解：由题意得：x-19 0,解得：x 19,故答案为：x 19.根 据 二 次 根 式 0),可得x-1 9 0,然后进行计算即可解答.本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式VH(a 0)是解题的关键.12.【答案】x=2【解析】解：方程的两边同乘x(x+3),得2(x+3)=5x,解得=2.检验：把x=2代入+3)=10#0,即x=2是原分式方程的解.故原方程的解为：x=2.第 10页，共 21页故答案为：x =2.观察可得最简公分母是x(x +3),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.此题考查了分式方程的求解方法.注意：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根.1 3.【答案】7【解析】解：。4 =。=7,且。为。C的中点，1-0 D=CD,0 C 1 AB,：./.ODA=Z.CDB=9 0 ,AD=BD,在A O D和B C D中，OD=CD/.ADO=乙 BDCAD=BDAOD=BCD(SAS),BC=OA=7.故答案为：7.根据已知条件证得 4。三4 BCD(iSAS),则B C =OA=7.本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟知垂径定理内容.1 4.【答案】t 0,即2 2 -4 x 1 x t 0,解得t 1,故答案为：t 0,然后解不等式求出m的取值即可.本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+板+c =0(a羊0)的根与4 =b2-4 a c有如下关系：当/0时，方程有两个不相等的实数根；当4 =0时，方程有两个相等的实数根；当/1 0 0 0,22 0 0 1 O6 0,Q G Y W(强国有我)说法正确；故答案为：DDDD.由乘方的定义可知，2 2。就是2 0 0 个2 相乘，2 0 0 2 是2 个2 0 0 相乘；通过计算可得2rl的尾数2,4,8,6 循环，由循环规律可确定2 2。的个位数字是6；由积的乘方运算可得2 2。=(2 1 0)2。=(1 0 2 4)2。，1。6。=(1 0 3)2。=I。2。,由此可得2 2。)()6 0,从而可求解.本题考查实数的运算，熟练掌握乘方的性质，积的乘方运算法则，尾数的循环规律是解题的关键.第 12页，共 21页17.【答案】解：|一 4|+(i)-1-(V2)2+2035=44-3-2+1=6.【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.本题考查了零指数基，负整数指数幕，绝对值，实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键.18.【答案】解:3x -8 x(T)2(x -1)2,解不等式得：x 4,二原不等式组的解集为：-2 x W 4.【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答.本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键.19.【答案】解：(1)在R t a A B D中，.N/WB =90。，ABAD=30,BA=2 0 m,一 一-面BD=10(m),答：该斜坡的高度8。为1 0m；(2)在 4C B 中，BAD=30,BCA=15,Z.CBA=15,AB=AC=20(m),答：斜坡新起点c与原起点4 之间的距离为20n l.【解析】(1)根据30。角所对的直角边等于斜边的一半即可求解：(2)在 4C O 中，根据N C B D =30。，NC 4B =15。，求出A C =4 B,从而得出4 C 的长.本题主要考查坡度坡角的定义及解直角三角形，得到A B =4c 是解题的关键.20.【答案】30 0.3 0.4【解析】解：(1)由题意得：a =150-15-45-60=30,b =45+150=0.3,c=60+150=0.4,故答案为：30,0.3,0.4；(2)补全频数分布直方图如下:开始4444共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种,选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为5=(1)由抽取的人数减去其它三个组的频数得出a的值，再由频率的定义求出氏 c即可；(2)由(1)中a 的值，补全频数分布直方图即可；(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可.此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.21.【答案】（1）证明：；AC平分484。,:.Z.BAC=Z.DAC,CB LA B,CD LA D,乙B=90=乙D,在/8C和4DC中，2B=乙 DZ-BAC=乙 DAC,AC-AC第 14页，共 21页三 ADC(44S)；(2)解:由(1)知：L A B C A D C,*BC CD 3,SABC=SADC，SABC .BC=-x 4 x 3 =6,，S&ADC=6,二 S四 边 形ABCD=SABC+SDC=12,答:四边形48C。的面积是12.【解析】(1)由4C平分得乙BAC=/.DAC,根据1 AB,CD 1 A D,得4B=90=乙D,用44s可得 A8C34 40C；(2)由(1)ABCA A D C,得BC=CD=3,SABC=S g，求出SAABC=AB-B C=6,即可得四边形4BCD的面积是12.本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理.22.【答案】V x x【解析】解：(1)设“三 多”的每群狗有x条，则“一 少”的狗有(300-3x)条，根据题意得：第一*(-300-3%解得75 c x 100,x为奇数，二 x可取77,79,81.9 9,共 12个，正确，错误，故答案为：V，X,X;(2)设“三 多”的每群狗有m条，”一 少”的狗有n条，根据题意得：3m+n n 0)解 吸 二 答：”三 多”的每群狗有85条，“一 少”的狗有45条.(1)设“三 多”的每群狗有x条，则“一 少”的狗有(300-3x)条,可得7 5 x 1 0 0,又x为奇数,即知x可取77,79,81 9 9,共12个，从而可判断正确，错误；(2)设“三 多”的每群狗有m条，“一 少”的狗有n条，可得：3 m +n=1n -即可解Im-n=40得“三 多”的每群狗有85条，“一 少”的狗有45条.本题考查不等式组及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式组和方程组.23.【答案】(1)证明：四边形4BCD是平行四边形，AB=AD,.3ABCD是菱形，AC 1 BD；(2)解：点E,尸 分别为40,4。的中点，EF是A40D的中位线，0D=2EF=3,由(1)可知，四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD,AC 1 BD,BD=20D=6,在R tA A。中，由勾股定理得：AD=y/AO2+OD2=V22+32=V13,:菱形 ABC。的周长=4AD=4V13.【解析】(1)由菱形的判定得。ZBCD是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；(2)由三角形中位线定理得。=2EF=3,再由菱形的性质得AB=BC=CD=AD,AC 1 BD,BD=20D=6,然后由勾股定理得4。=V 13,即可求出菱形4BCD的周长.本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.24.【答案】0 1 0【解析】(1)证明：.前=尬，LACD=/L.ABD,即乙4BE=NDCE,又 4 DEC=AEB,ABE DCE；(2)解：.ABE-DCE,AB BE AED C C E D EAE-CE=BE-DE,AE DE AECE-BEDE 八 -=-=0,BE C E BECE 乙CDB+Z.CBD=180-(BCD=Z.DAB=2乙CDB,又 Z.DFE=2 乙 CDB,乙DFE=Z-DAB,第16页，共21页 EF“AB,Z.FEA=Z-EAB,-DC=CB Z.DAC=Z-BAC,Z.FAE=Z.FEA,FA=FE,E FA B,.D F E D A B,一EF=一DF,AB ADAF,FE EF.AF DF,AF AD.1 =-1-=1 =1,AB AD AB AD AD AD ADAF,AF AF,EF.而+而 一 而+而 一/.+=1,AB AD1.1 1 c-1-=0,AB AD AF故答案为：0,1,0;(3)解：A B E,ADCE都为等腰三角形,理由：记ADE、AEBC的面积为S3、54,则 S=S+S2+S3+S4,v51 _ 54 _ BES3-S2-DESS?S3s4 ,1,Vs=T5i+即 S=Si+S2+2)5区，S3+54=2,S52,由可 得 疝 底，即(国-店)2=0，S3=S4,SMBE+SDE=S4ABE+SbEBC即 S2UBO=SM。，A CD 11 AB.Z.ACD=Z.BAC,Z-CDB=乙DBA,v Z.ACD=乙ABD,乙CDB=Z-CAB,乙EDC=乙ECD=Z.EBA=Z-EAByABE,ACCE都为等腰三角形；虎=BC.Z.DAC=Z-EAB,v Z-DCA=Z-EBA,DACh.EAB,AD _ ACEA-AB9AB=m,AD=n,CD=p,EA AC=DA x AB m nf乙BDC=BAC=(DAC,Z.CDE=Z.CAD,又(ECD=ZDO1,D C E A C D,CD _ CEAC-CD9 EA AC+CE AC=AC2=mn+p2,则4C=Jm n+p2,.EC=-=-=,AE=AC-C E =mn“n n+p 2 mnp2 AE CE=m n+p z(1)根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证;由的结论，根据相似三角形的性质可得4E CE=BE-D E,即可得出装一片=0,D C C C,根据已知条件可得EF4B,FA=F E,即可得出 0 4 8,根据相似三角形的性质 可 得 黑=黑，根据恒等式变形，进而即可求解；AB AD(3)记4DE、AEBC的面积为S3,S,，则5=S1+S2+S3+S”5行2=$3$4，根据已知条件可得S3=54，进而可得SAABD=SAADC，得出CDA B,结合同弧所对的圆周角相等即可证明ABE、ADCE是等腰三角形；证明 E4B,D C E-A C D,根据相似三角形的性质，得出EA-4C+CE，2 n 2 77171A C=A C 2=mn+p2则A C=m n+p2,.EC=AE=AC-CE=计算4E-C E即可求解.本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解题的关第 18页，共 21页键.2 5.【答案】解：,t=l,1,3*-T X 0 时，函数y=kx+b在 一3 三工工 +有最大值”=就+：+仇 有最小值N=kt k+b,2 h=k；当k 0时，函数y=fcx+b在t-1%lHt,BP1 t I，72函数y=(x N 1)最大值M=2,最小值N=用，X2J Y 2/l=1-,2t+l：.0 h -,2九 的最大值为去(3)存在实数匕使得函数y的最大值等于函数y 的“共同体函数“九的最小值，理由如下：y=-x2+4x+k=(X-2)2+4+k,函数的对称轴为直线x=2,y 的最大值为4+k,当2 s t-泄，即蜂|,此时 M=-(t-|-2)2+4+fc,N=+3-27+4+k,九=2,九的最小值为a由题意可得：=4+k,解得k=-|;当t+三2时,即t w|，此时N=-(t-l-2)2+4+fc,M=-(t+1-2)2+4+k,九=2 C,/I的最小值为右由题意可得：=4+k,解得k=-g;当B(J2 t|.此时N=-(t+：-2)2+4+k,M=4+k,无=沪h的最小值为%o由题意可得：=4+k,o解得k o当t 2 W t+：,B|j|t 0 时，M =kt+：k+b,N=kt 3 k+b,h=k；当k 0时，M =kt k+b,有可=就+：%+2),h=fc；(2)分两种情况讨论：当t 一 ：2 1时，M=,N=*，则八=-J-,所以h有最大值3；当t-t+r 1时，M =2,N=3 i，则八=1 一 急，可求九的取值为0 W h ：,N N*2 ZC+1 N从而可得力的最大值为点(3)分四种情况讨论:当2 t-并寸，M=-12尸+4+k,N=+A 2 y+4 +k,h=t-2,由题意可得?=4+匕 解 得 上=一$当 t+?W 2时，/V=2)2+4 +k,M =(t+-2)2+4 +k,h=2 t,由题意可得=4+k,解得k=|；当t2 S t,BP2 t|,/V=-(t +l-2)2+4+/c,M =4 +k,h=|(t-|)2,由题意可得5 =4+k,解得k=-当t 2 W t+泉 N=-(t-i-2)2+4+fc,M=4+k,h=i(t-|)2,由题意可得J=4+k,解得k=o o本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键.