2022年福建省南平市高考数学第三次质检试卷（附答案详解）.pdf

2022年福建省南平市高考数学第三次质检试卷一、单选题(本大题共8小题，共40.()分)1 .已知复数z=2+W，则复数z的 虚 部 为()A.B.|C.|D.Y2.设集合4=x|-l WxW3 ,集合8=x|x?a,若4 UB,则a 的取值范围为()A.a 3 B.-1 a -1 D.a 0)上一点，点4 到该抛物线焦点的距离为6,则p =()A.1 B.2 C.3 D.48.对任意的与，x2 G (1,3,当X i 0 恒成立，则实数a 的取值 范 围 是()A.3,+8)B.(3,+8)C.9,+8)D.(9,+o o)二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)9.支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者H常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为2 0%,中年患者治愈率为30%,青年患者治愈率为40%.该医院共有60 0名老年患者，50 0名中年患者，40 0名青年患者，则()A.若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取1 2人B.该医院青年患者所占的频率为2C.该医院的平均治愈率为28.7%D.该医院的平均治愈率为31.3%1 0.已知函数f(x)=s i n Q)x +9)(3 0,p 0),F i，F 2分别为双曲线C的左、右焦点，过尸2且与x轴垂直的直线交双曲线C于M,N两点，又|M N|=8 a,则()A.双曲线C的渐近线方程为y=2%B.双曲线C的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C.双曲线C的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列D.双曲线C上存在点P,满足|PF/=3|PF?|1 2 .如图，在平面直角坐标系中的一系列格点4(冷),其中i =1,2,3,，九,且%G Z,记an=%n+yn，如/式1,0)记为由=1，4 2(L 1)记为g2 =(OLI)记为。3 =一1，以此类推；设数列 an的前n项和为先.则()A.。2022=4 2B.S2022=-8 7C.。8九=2八第2页，共21页D.S4z+5n=干三、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)1 3 .计算：log2sin=.1 4 .已知P(m,n)为圆C：(x -1 产+(y-1 产=1 上任意一点，则 普 的 最 大 值 为.1 5 .已知函数/(无)=e*-a +9e a r +/一 4 x -2 有零点，则实数a =.1 6 .四面体A 8 C D 中，AB 1 B C,CD 1 B C,B C=4,且异面直线A B 与C D 所成的角为6 0。.若四面体A B C D 的外接球半径为V 5,则四面体A B C D 的 体 积 的 最 大 值 为.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)1 7 .在(a +b)(s i n 4 s i n B)=(c b)s i n C；2 b c 2 acosC-0：(3)c o s2B +c o s?。+s i n B s i n C =1 +c o s 2 4 这三个条件中任选补充在下面的问题中，并解答问题.在A 4 B C 中，角4、8、C 所对的边分别是a、b、c,.(1)求角A;(2)若A C =2,B C =2 百，点D 在线段AB匕 且 4 C D 与 B C D 的面积比为3：5,求C。的长.1 8 .已知数列 即 满足即=1,篝=彳.(1)求数列 斯 的通项公式；(2)若 4 满足=2 an-2 4,b2 n_x=2 an-2 2.设立为数列 时 的前n 项和，求S?。.1 9.南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩X近似于服从正态分布N(出11.52),近似为这100人测试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),求的值；利用该正态分布，求P(75.5 X -b X =0.6826,P(N-。X W +。)=0.6826,PQL 2a X p,+2a)=0.9544,P(ji 3a X b 0),F i，F2分别为椭圆C的左、右焦焦距为4.过右焦点尸2且与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于M，N两 点,已 知 的 周 长 为4遍,点M关于x轴的对称点为P,直线PN交x轴于点Q.(1)求椭圆C的方程；(2)求四边形M&NQ面积的最大值.已知函数/(x)=?+ln x-(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)若4;m 2 e.lnx mx x2第6页，共21页答案和解析1.【答案】A【解析】解：z=2+会=2+?=-9,则复数z的虚部为-故选：A.由复数的运算，结合复数的概念求解即可.本题考查了复数的运算，重点考查了复数的概念，属基础题.2.【答案】D【解析】解：集合a=x|-1 x a ,且A B,a 所以 ta n 2 c =2 ta n C,=-2 V 2.l-ta n2C 1-2故选：A.先结合三角形的内角和定理与诱导公式可得ta n C=&，再由二倍角公式，得解.本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握二倍角公式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.7.【答案】D【解析】解：因为/(,加 )H 0)是抛物线y?=2 px(j)0)上一点，所以2/=2 P t即t=p,设抛物线的焦点为凡 由抛物线的焦半径公式可得：+9 =+：=6,解得：p =4.故选：D.首先根据点在曲线上得到t=p,再根据抛物线的焦半径公式得到A F =t+：=6,联立两个方程即可求出答案.本题考查了抛物线的焦半径公式，属于基础题.8.【答案】C【解析】解：对 任 意 的&6(1,3 ,当与 0 恒成立，:.一 三 /九 1%2 -tnx2,令f(x)=x-l n x,由题意得f(x)在(1,3 上单调递减，/=1-3 x在(1,3 上恒成立，a 9.实数a 的取值范围是 9,+8).故选：C.化简不等式后构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解.本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9.【答案】AB C【解析】解：对于4,由分层抽样可得，老年患者应抽取于=12人,故 A正确;第10页，共21页对于B,青年患者所占的频率与就诉=看故B正确;对于CD,平均治愈率为600 x 20%+500 x 30%+400 x 40%600+500+4002 8.7%,故C正确，错误.故选：AB C.由分层抽样即可判断4直接计算频率即可判断B；直接计算平均冶愈率即可判断C D.本题考查命题真假的判断，考查分层抽样、频率、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.10.【答案】B D【解析】解：由函数/(久)=s in(3X +)(3 0,|如 今的任意两条对称轴间的最小距离为今则工=工，即名=7 T,即回=2,2 2 3又。()=f(x)+=s in(2x +a)+co s(2x +w)=V 2s in(2x +9 +力，又函数g(%)的图象关于原点对称，则又I 4,则 0 =一%即f(%)=s in(2%W),g(%)=y/2 sin2 xy对于选项A,由2/cz r +2 W 2%g工2/cz r +警，解得/CTT+当 W%工+?,k G Z,即2 4 2 8 8函数的减区间为出 兀+詈,+第，k&Z,G不包含于%兀+詈,而+福，k e z,即选项A错误；对于选项 B,l/C X i)-5(X 2)|a 8 8故选：B D.由三角函数图象的变换，结合三角函数解析式的求法逐一判断即可得解.本题考查了三角函数图象的变换，重点考查了三角函数解析式的求法，属中档题.11.【答案】AB【解析】解：双曲线C的 方 程 为 捺 一,=1 9 0/0),令x=c,得 =?，M N=8 a,即b=2a,可得双曲线C的渐近线方程为y=2 x,故 A 正确；双曲线C的渐近线方程为丫=2 x,由对称性，不妨取右顶点(a,0),右焦点(c,0),则顶点到两条渐近线的距离乘积为嵋螳=华|,Vl+4 V1+4 5 焦点到两渐近线距离的平方为(管)2=(，v b=2a,c2=a2+b2=5a2,可 得 手=告*5,故 B 正确；(2b)2=(4a)2=16a2,2a-2c=4V5a2 显然(2b)2 h 2a,2 c,故 C 错误：若|PFi|=3|PFzl，由双曲线的定义，得|P F i|-|P F z|=2|PF2|=2a,解得IPF2I=a 0,可得靖-a+9 ea-x=蜻-a+，_ 2 1 x-a 一 2=6，exa-q exa当且仅当婚一。=嚷 时 取 等，e”u又/4%2 =(x 2)2 6 6,当且仅当=2 时取等，故 f(%)=e Xa+4-x2 4x-26+(-6)=0,当且仅当/-a=3,X=2 时取等，要使函数有零点，则/-a=总 且 X =2,化简得e2-。=3,解得。=2-仇 3.故答案为：2 ln3.先由基本不等式求得婚一。+9 0。-N 6,再由二次函数求得产一 4%-2 2 -6,要使函数有零点，必须同时取等，即靖-。=急，X =2 时取等，解方程即可.本题考查了函数零点判定定理，属于中档题.1 6.【答案】V3【解析】解：由4B 1 B C,CD 1 B C,B C=4,且异面直线A B与C D 所成的角为6 0。构建直三棱柱A B E -F CD,由 B E/C。得 Z J 1 B E =6 0 ,易得四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，CDF,A B E 的外心H,G,易得H G 的中点。即为球心,又O B =近,GO=3HG=2,则B G =V 5-4 =1,由正弦定理得4 E=2 B G-sin60=W,又匕-BCD=VA-BDE=VD-ABE=D E-B A-B E-smAB E=B A-B E,第1 4页，共2 1页又由余弦定理得力E2=B A2+B E2-2 B A-B E-c o sp即3 =B A2+B E2-B A-B E 2 B A B E B A B E=B A-B E,当且仅当B 4 =B E时取等，故 BA BE 的最大值为3,四面体4 B C D 的体积的最大值为3 Xy =V 3.故答案为：V 3.构建直三棱柱4BE-F C D,找出球心及底面外心，结合正弦定理求得4E,由匕_BCD=VA.B D E=匕马”表示出体积，再结合余弦定理及基本不等式求出最大值.本题考查了正弦定理，余弦定理和基本不等式的综合应用，属于中档题.17.【答案】解：(1)选 ，因为(a +-si n B)=(c -b)si n C,由正弦定理，得(a +b)(a -b)=(c b)c,所以炉+c?-a?=b e,所以c o sA=+c=-,A G (0,7 T),2 bc 2 ，/故4话；选 ，因为2b -c-2 acosC=0,由正弦定理可得22s讥8 2 sinAcosC=sinC所以，sinC=2 sin(A+C)-2 sinAcosC=2 cosAsinCf因为。e(O.TT),贝 i j s讥C 0,可得c o s4 =I，又4 e (0,7 1),故力=p选 ，v COS2F+c o s2C 4-sinB sinC=1+c o s2 l,则2 si n2B si n 2c +sinB sinC=2 si n27 l,即si M B +si n 2c si n2i 4 =sinB sinC,由正弦定理可得力 2+一 2=be,由余弦定理可得c o sA=两 厂=工，2 bc 2又4 G (0,7 r),故4 =全(2)在AB C 中，由余弦定理得 B C2=/15 2+A C2 _ 2A B.A C.c o s A t因为 AC=2,B C=2 y/3,A=g,所以 12=AB2+4-4XABX c o sp解得力B =4 或4 B =-2(舍)，因为AC。与A B C。面积比为3：5,所以4 0=|,在三角形4 C C 中，由余弦定理得CZ)2=A D2+A C2-2 AD-AC-cosA=22+(|)2-2 Xn3 n 132 X -CO S -=2 3 4即【解析】(1)若选，由正弦定理，得b 2+c 2 a 2=b c,再由余弦定理即可求出角4若选，由正弦定理得si n C=2c o sAsi n C,解得c o sA=5 即可求出角4；若选，先由平方关系得si M B +si n 2c sinB sinC=si M a,再由正弦定理得/+c2 be=a2,再由余弦定理即可求出角A；(2)在力B C 中，由余弦定理求得4 B,由 ACD与 B CD的面积比求得力D,再在 4 CD中由余弦定理求得C D 即可.本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.18.【答案】解：当 n岂2时，由 罗=手，可得借 号 潦=|,，詈=六，an n a1 1 a2 2 n-i n1所以 a n =l x|x|-x-=n,1 Z 71-1当九=1时，啰=1适合上式，从而an=n.(2)由已知得b 2n =27 1 2 4,所以当n 为偶数时，bn=n-2 4,又Z?2nT=2n -22=(2n -1)-21,所以当n 为奇数时，bn=n-2 1,r r r I,(n-21,n 为奇数所以勾=,卜一 24,几 为偶数520=瓦+12+b3 T-卜 匕20=(瓦+b3 T-卜瓦9)+(82+方4+20)=(-20)x 10+(-22)X 10+皆；咯=(-200+9 0)+(-220+9 0)=-24 0.【解析】(1)利用累乘法即可求解；(2)由条件求 得%=一 21中为奇数，利用并项法求和即可求解.本题考查了由数列的递推式求通项公式以及分组求和，属于中档题.第16页，共21页19.【答案】解：(1)由题意得：M =55 x 0.1+65 x 0.2+75 x 0.4+85 x 0.15+95 x0.15=75.5.”y e =75.5,o=11.5,P(75.5 X 87)=0.3413.(2)由题意知P(X M)=I，所获赠话费f 的可能取值为10，20,30,40,60,P(f=1 0)=；x 泻,P(f =20)=9 x,=*P(f=30)=洛 号,n/L 1 3 1.1 1 3 3p q =40)=-x-x-4-x-x-=,7 244244 16P(f=60)=-x-x-=,7 2 4 4 32 f 的分布列为：10 20 30 40 60p38918313216 32.)=1 0 x|+2 0 x +3 0 x l+4 0 x+6 0 x =f.【解析】(1)结合平均数公式，即可求解.结合正态分布的对称性，即可求解.(2)由题意知P(X )=I，所获赠话费f 的可能取值为10,20,30,40,60,分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解.本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题.20.【答案】证明：(1)因为底面4BCO是边长为2的正方形，所以4C 1B 0,由 4B=BC,APB A=Z.PBC,PB=PB 可得 PAB 三 PCB,从而PA=PC,设4 c与2。相交于点。，在APAC中，由PA=PC及OA=Of,可得AC 1 PO,又BD CPO=0,BD,POu平面PBD,从而4c 1平面PBD；解：(2)取ZB的中点为N,易得AB 1 PNS.AB 1 ON,从而NPN。为二面角P-A B-C的平面角，依题意有coszPNO=13因为P4=PB,AO=BO,PO=PO,所以PA。三 A P B O,所以Z_POA=4POB=9 0 ,故POJ.BD,又ACn8D=。，因此P。J平面ABCD,所以P。d.ON,在Rt PNO中，cos乙PNO=上=更,PN PN 3解得 PN=V3,P0=V2.以点。为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,C(0,V2,0)，/1(0,-V 2,0)，D(-A/2,0,0).P(0,0,V2)-PC=(0,V2,-V2).ZC=(0,272,0)，AM=AP+PM=AP+|PD =(0,V2,V2)4-(-,0,-)=(-苧，&净，r A T n(22y=0设平面4cM 的法向量为元=(%,y,z),则 0也 二 ,即2池 二 在，m-AM =0 x+y/2y+z=0取 =1,可得元=(1,0,2),设所求的直线PC与平面ACM所成角为仇 则sin。=cos(PC,n)=|嵩:；|=?，因此，所求的正弦值为叵.S【解析】(1)由正方形的性质可知a c 1 B D,易证 PAB=P C B,则24=P C,设AC nBD=O,连接P O,结合等腰三角形性质可知P。1 4 C,即可得证；(2)取4B中点为N,可知NPN。为二面角P-A B-C 的平面角，易得PAO W APBO,进而可得P。J_平面ABC。，即P O 1 O N,在RtA PN。中可得PN=g,P 0 =夜，以点。为原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。-孙 z,设平面力CM的法向量为元，设所求的直线PC与平面4cM 所成角为。，则sin。=|cos I，即可求解.第18页，共21页本题考查了线面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题.2 1.【答案】解：(l)A M N F i 的周长为4 遍，由椭圆定义得4Q=4病，即 口 =遍.又焦距2 c =4,得c =2,所以 b =V a2 c2=1,2所以椭圆C 的方程为 +2 =1.(2)设直线I 的方程为x=m y +2(m*0).联立得 On?+5)y2+4my 1 =0.设M Q i，%),N(x2,y-.则%+丫2 =一 熟，2 =一 高，点P(xi，-y i),直线P N的方程为y +y i =摹 言。一%1),令y =0 得:经 S=W中辿3=迎*+2 =型率+2 =:%+为 yz+yi 外+为*m+s 2即 Q(|,0).1 9 /，-所以S 四 边 形 M&N Q =5 仗1 一 丫 2|俨 1?1 =w(71+丫 2)2-4 丫 0 29 V s Vm2+12 m2+SWS_ _ _ _ _ _1 _ _ _ _ _ _ W52 Vm2+1+.8V m2+1当且仅当后E=孤言时即m=土旧时等号成立.所以四边形M&NQ面积的最大值为州.8【解析】(1)由4 M N F i 的周长求出a,再由焦距求得c,进而求出b,即得出椭圆C 的方程；(2)设直线I 的方程为x=m y +2(m w 0),联立直线与椭圆的方程可得：+y2=-(y i y2=表示出直线P N 的方程求出Q ,0),利用弦长公式可得S 四 边 形M&NQ=沿 1 7 2 1 1&0,“X)在(0,+8)上单调递增；当相 0 时，由(%)=0 得 =m,当O v%vm时,f(x)m时,/(%)0,/(%)单调递增;综上：当？nW 0 时，/(%)在(0,+8)上单调递增；当m0时，/(%)在(0,7 n)上单调递减,在(7 H,+8)上单调递增；1 1 v.m(2)证明：当 G(1,+8)时，因为 m 0,g(%)无零点.当 6 (0,1)时，由g(x)=三 +七e-京=0,J Inx mm得 户=一 工 e 十，即 仁=胃，Inx m Inx x设/i(x)=,则有/i(，n x)=因为/i (x)=沪 0 在(-8,0)上成立，所以/i(x)在(一8,0)上单调递减，当为 6(0,1)时，l n x 0,-0,所以九(x)=/i(-等价于Z n x=-?,即/。)=曰+)x=0,所以g(x)的零点与f(x)在上(0,1)的零点相同.若;m,由(1)知 1/(久)在(0,m)上单调递减，在(m,+8)上单调递增，又/(m)=1 +Inm 4 +In 1 ln4=4(1 Z n 2)0,/(I)=m 0,所以/(x)在n t)和(m,l)上各有一个零点，即g(x)在(0,1)上有两个零点，综上g(x)有两个零点xi，x2.不妨设r x1 m x2l,则/(/)=?+仇/=0,/(x2)=?+l n x2=0,相 减 得 吗 3+l n E =0,xlx2 x2设t=9(0tl),则X】=t X 2,代入上式，解 得 上=2号，X 1 =哼/x2x tint x Int上 工=丝 胆切 以 必 x2 m(t-l)因为；V血 工，所以？工 2 6,只 需 证 咛 竿 2,即证In t-警 0,(0 t 1),%1%2 t 1 t+1设观(t)=，n t -a,(0 t 0,所以u(t)在(0,1)递增，u(t)u(l)=0,即mt X30,因为0t2,t+1 t 1第20页，共21页又因为所以+：=黑号 5 2 6.4 e 必 TH【解析】(1)直接求导，分m W 0 和m 0 讨论单调性即可；(2)先 讨 论 当(1,+8)时无零点，再讨论x e(O,l)时，通过同构得到伍 =-枭B I/(x)=+lnx-0,确定f(x)在上(0,1)的零点，即可证明g(x)有两个零点；由/(右):/(不)=0 相减得皿:一1)+也a=0,换元令t =,(0 t 1),进而得到g=了1“2 x2”2 42翳 黑，通过放缩构造函数即可求证.0,本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式的方法，极值点偏移问题的处理方法等知识，属于中等题.