数学选修2知识点总结.docx

数学选修 21 学问点总结第一章：命题与规律构造学问点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句. 真命题：推断为真的语句.假命题：推断为假的语句.2、“假设 p ，则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论.3、对于两个命题，假设一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。假设原命题为“假设 p ，则 q ”，它的逆命题为“假设q ，则 p ”.4、对于两个命题，假设一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.假设原命题为“假设 p ，则 q ”，则它的否命题为“假设Øp ，则Øq ”.5、对于两个命题，假设一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。假设原命题为“假设 p ，则q ”，则它的否命题为“假设 Øq ，则Øp ”。6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四( 种) 命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性；(2 )两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、假设 p Þ q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件假设 p Û q ，则 p 是 q 的充要条件充分必要条件8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个命题，记作 p Ù q 当 p 、 q 都是真命题时， p Ù q 是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时， p Ù q 是假命题用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个命题，记作 p Ú q 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时， p Ú q 是真命题；当 p 、 q 两个命题都是假命题时，p Ú q 是假命题对一个命题 p 全盘否认，得到一个命题，记作Øp 假设 p 是真命题，则Øp 必是假命题；假设 p 是假命题，则Øp 必是真命题9、短语“对全部的”、“对任意一个”在规律中通常称为全称量词，用“ " ”表示含有全称量词的命题称为全称命题 ( )( )全称命题“对M 中任意一个 x ，有 px 成立”，记作“ "x ÎM ， px ”短语“存在一个”、“至少有一个”在规律中通常称为存在量词，用“$ ”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在M 中的一个 x ，使 p(x)成立”，记作“ $， p (x ”x ÎM)10、全称命题 p ："x ÎM ， p (x)，它的否认Øp ：$x ÎM ，Øp (x)。全称命题的否认是特称命题。特称命题 p ： $x ÎM ， p (x)，它的否认Øp ： "x ÎM ， Øp (x)。特称命题的否认是全称命题。其次章：圆锥曲线学问点：1、求曲线的方程点的轨迹方程的步骤：建、设、限、代、化建立适当的直角坐标系；设动点 M (x, y )及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证查漏除杂。2、平面内与两个定点 F， F12的距离之和等于常数大于 F F的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。MF1+ MF2=122 (2a > 2c)a3、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形+x2y2标准方程= 1(a > b > 0)y2 + x2= 1(a > b > 0)第肯定义a2b2到两定点 F 、F的距离之和等于常数 2 a ，即| MFa2b2| + | MF|= 2a 2a >| F F | 121212其次定义范围与肯定点的距离和到肯定直线的距离之比为常数 e ，即 MF = e (0 < e < 1)d-a £ x £ a 且-b £ y £ b-b £ x £ b 且-a £ y £ aA (-a,0 )、 A12(a,0 )A (0,-a)、 A12(0,a)()顶点B0,-b 、B12(0,b)B (-b,01)、B2(b,0 )轴长对称性长轴的长= 2a短轴的长= 2b关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称焦点F1(-c,0 )、 F2(c,0 )F1(0,-c)、 F2(0,c)焦距FF= 2c(c2 = a2 - b2 )1 2离心率准线方程cc2a2 - b2b2 e =1-aa2a2a2x = ± a2c(0 < e < 1)y = ± a2c焦半径M (xy )0,0左焦半径： MF1右焦半径： MF2= a + ex0= a - ex0下焦半径： MF1上焦半径： MF2= a + ey0= a - ey0焦点三角形面积SDMF F= b2 tan1 2q2(q = ÐF MF )12通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HH ¢ = b2a焦点弦长公式A( x y ), B( xy ) ， AB =1+ k 2 x - x=1, 12,2121+ k 2(x - x )2 - 4x x121 2M4、设 M 是椭圆上任一点，点到 FMFMF1对应准线的距离为 d1，点到 FM2对应准线的距离为 d，则21 =2dd12= e 。5、平面内与两个定点 F ， F的距离之差确实定值等于常数小于 F F的点的轨迹称为双曲线。1212()这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。 MF 1- MF2= 2a2a < 2c6、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程-a2b2x2y2= 1(a > 0,b > 0)-a2b2y2x2= 1(a > 0,b > 0)到两定点 F 、F 的距离之差确实定值等于常数2a ，即12第肯定义| MF | - | MF | = 2a 0 < 2a <| F F | 121 2其次定义与肯定点的距离和到肯定直线的距离之比为常数 e ， 即MF = e (e > 1)d范围顶点x £ -a 或 x ³ a ， y Î RA (-a,0 )、 A (a,0 )12实轴的长= 2a1虚轴的长= 2by £ -a 或 y ³ a ， x Î RA (0, -a)、 A (0,a)2轴长对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称焦点F (-c,0 )、 F (c,0 )12F (0,-c)、 F (0,c)12焦距FF= 2c(c2 = a2 + b2 )1 2c =c2 =a2+ b2 =1+ b2aa2a2a2离心率e =(e > 1)准线方程渐近线方程x = ± a2cy = ± b xay = ± a2cy = ± a xbM在í1M ( xy )0,0M在右= ex + a0= ex - a0左= -ex - a0= -ex + a0支 M在ìï左焦：MFí1焦半径ïî右焦：MF2ïî右焦：MF2支 M在上= ey+ a0= ey- a0下= -ey - a0= -ey + a0支ìï左焦：MF支ìï左焦：MFí1ìï左焦：MFïî右焦：MFí12ïî右焦：MF2焦点三角形面积SDMF F= b2 cot1 2q2(q = ÐF MF )12通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： HH ¢ = b2a7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。MF1MF28、设M 是双曲线上任一点，点M到 F 对应准线的距离为 d 1 ，点M 到F 对应准线的距离为 d 2 ，则12= e 。dd129、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点 F 称为抛物线的焦点， 定直线 l 称为抛物线的准线10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B 两点的线段 AB ，称为抛物线的“通径”，即AB = 2 p 11、焦半径公式：假设点R(x , y)在抛物线y2 = 2 px(p > 0)F上，焦点为，则RF = x0+ p2 ；、00R(x , y假设点00)y2 = -2 px(在抛物线p > 0)上，焦点为 F ，则RF = -x + p02 ；R(x , y假设点00)x2在抛物线= 2 py(p > 0)上，焦点为 FRF = y0 +p2，则；R(x , y假设点00)x2 = -2 py在抛物线(p > 0)F上，焦点为，则RF = - y + p02 12、抛物线的几何性质：图形标准方程y 2 = 2 px( p > 0 )y 2 = - 2 pxx 2 = 2 pyx 2 = - 2 py( p > 0 )( p > 0 )( p > 0 )定义顶点离心率对称轴与肯定点 F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线l 上)(0,0 )e = 1x 轴y 轴范围x ³ 0x £ 0y ³ 0y £ 0焦点Fæ p , 0 öF æ -p , 0 öF æ 0,p öF æ 0, -p ö222ç÷ç÷ç÷ç÷èøè2øèøèø准线方程焦半径x = - p2px =p2py = - p2py =p2pM ( xy )0,0MF = x +02MF = -x +02MF = y +02MF = - y +02通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： HH¢ = 2 p焦点弦长公式参数p 的几何意义AB = x + x + p12参数 p 表示焦点到准线的距离， p 越大，开口越阔关于抛物线焦点弦的几个结论：设 AB 为过抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 焦点的弦， A(x , y11) 、B(x , y22) ，直线 AB 的p22 p倾斜角为q ，则 x x=, y y= - p2 ; AB =;1 241 2sin2 q 以 AB 为直径的圆与准线相切；p 焦点 F 对 A 、B 在准线上射影的张角为 ；21+1= 2 .| FA | FB |P第三章：空间向量学问点：1、空间向量的概念：（1） 在空间，具有大小和方向的量称为空间向量（2） 向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向（3） 向量 AB的大小称为向量的模或长度，记作 AB（4） 模或长度为0 的向量称为零向量；模为1 的向量称为单位向量（5） 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量，记作-a （6） 方向一样且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的加法和减法：（1） 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点O为起点的两个向量 a 、b 为邻边作平行四边形OACB ， 则以O 起点的对角线OC 就是 a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则（2） 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点 O ，作OA = a ，OB = b ，则BA = a - b 3、实数l 与空间向量 a 的乘积la 是一个向量，称为向量的数乘运算当 l > 0 时， la 与 a 方向一样；当l < 0 时， la 与 a 方向相反；当l = 0 时， la 为零向量，记为0 la 的长度是 a 的长度的 l 倍4、设l ， m 为实数， a ， b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足安排律及结合律 安排律： l (a + b )= la + lb ；结合律： l(ma )= (lm)a 5、假设表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a ， b (b ¹ 0)， a / b 的充要条件是存在实数 l ，使a = l b 7、平行于同一个平面的向量称为共面对量8、向量共面定理：空间一点R 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对 x ，y ，使 AR = xAB + y AC ；或 对 空 间 任 一 定 点 O ， 有 OR = OA + xAB + y AC ； 或 假设 四 点 R ， A ， B ， C 共 面 ， 则OR = xOA+ yOB+ zOC (x + y + z = 1)9、两个非零向量 a 和b ，在空间任取一点O，作OA = a ， OB = b ，则 ÐAOB称为向量 a ， b 的夹角，记作áa,bñ 两个向量夹角的取值范围是： áa,bñ Î0,p 10、对于两个非零向量 a 和b ，假设áa, b ñ = p ，则向量 a ， b 相互垂直，记作 a b 211 、 两个非零向量 a 和 b ， 则 a b cosáa,b ñ 称为 a ， b 的数量积， 记作 a × b 即a × b = a b cosáa,b ñ 零向量与任何向量的数量积为0 b cosáa, b ñ 的乘积12、 a × b 等于 a 的长度 a 与b 在 a 的方向上的投影13 假设 a ， b 为非零向量， e 为单位向量，则有(1) e × a = a × e = a cosáa,eñ ； (2) a b Û a × b = 0 ；(3)ì a b (a与b同向)2(4)a × b(5)ía × b = ïïî- a b(a与b反向)，a × a = a，a =a × a ；cosáa, bñ =；a ba × b £ a b 14 量数乘积的运算律：(1) a × b = b × a ；(2)(la )× b = l (a × b )= a × (lb )；(3) (a + b )× c = a × c + b × c 15、空间向量根本定理：假设三个向量a ， b ， c 不共面，则对空间任一向量 p ，存在实数组x, y, z，使p = xa + yb + zc 得p p16、三个向量 a ， b ， c 不共面，则全部空间向量组成的集合是 = xa + yb + zc , x, y, z Î R 这个集合可看作是由向量 a ， b ， c 生成的，a, b, c称为空间的一个基底， a ，b ， c 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底17、设e ，e ，e123为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量称它们为单位正交基底，以e ，e ，e123的公共起点 O 为原点，分别以 e ， e ， e123的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系OR = p 存Oxyz 则对于空间任意一个向量 p ，肯定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量在有序实数组x, y, z，使得 p = xe1+ ye2+ ze3把 x ， y ， z 称作向量p 在单位正交基底e ， e ， e123下的坐标，记作 p = (x, y, z )此时，向量 p 的坐标是点R 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x, y, z )18、设 a = (x , y , z)， b = (x , y , z)，则111222（1） a + b = (x1（2） a - b = (x+ x , y21- x , y+ y , z21- y , z+ z )2- z )1212123 la = (lx , l y ,lz )111（4） a ×b = x x + y y + z z 1 21 21 2（5） 假设 a 、b 为非零向量，则 a b Û a ×b = 0 Û x x + y y + z z= 01 21 21 26假设b ¹ 0 ，则 a / b Û a = lb Û x1= lx , y21= l y , z21= lz 2a =a × a =x2 + y2 + z211178a × bx x + y y + z zcosáa, bñ =1 21 21 2a bx2 + y2 + z2 ×x2 + y2 + z29 A(x , y , z111222AB =(x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )2212121)， B = (x , y , z )，则 d=111222AB19、在空间中，取肯定点O作为基点，那么空间中任意一点R的位置可以用向量 OR 来表示向量OR 称为点R的位置向量20、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定点A 是直线l 上一点，向量 a 表示直线 l 的方向向量，则对于直线 l 上的任意一点R，有 AR = ta ，这样点A 和向量 a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点21、空间中平面a 的位置可以由a 内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点 O ，它们的方向向量分别为 a ，b R为平面a 上任意一点，存在有序实数对(x, y)，使得OR = xa + yb ，这样点 O与向量 a ， b 就确定了平面a 的位置22、直线l 垂直a ，取直线l 的方向向量 a ，则向量 a 称为平面a 的法向量23、假设空间不重合两条直线 a ， b 的方向向量分别为 a ， b ，则 a / b Û a / bÛ a = lb (l Î R )， a b Û a b Û a × b = 0 24、假设直线 a 的方向向量为 a ，平面a 的法向量为 n ，且 a Ë a ，则 a /a Û a /a Û a n Û a × n = 0 ， a a Û a a Û a / n Û a = ln 25 、 假设空间不重合的两个平面 a ，b 的法向量分别为 a ， b ， 则 a / b Û a / b Û a = lb ，a × b a ba b Û a b Û a × b = 0 26、设异面直线 a ， b 的夹角为q ，方向向量为 a ， b ，其夹角为j ，则有cosq = cosj =27、设直线 l 的方向向量为 l ，平面a 的法向量为 n ， l 与a 所成的角为q ， l 与 n 的夹角为j ，则有sin q = cos j = l × n ln28、设n ， n12是二面角a - l - b 的两个面a ， b 的法向量，则向量nn × n12nn121q， n 的夹角或其补角就是二2面角的平面角的大小假设二面角a - l - b 的平面角为，则 cos q=29、点A与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量 AB 的模 AB 计算30 、在直线 l 上找一点 R ， 过定点 A 且垂直于 直线 l 的向量为 n ， 则定点 A 到直线 l 的距离为RA cosáRA, nñ =RA× nnd =31、点R 是平面a 外一点， A是平面a 内的肯定点， n 为平面a 的一个法向量，则点 R 到平面a 的距RA× n离为d = RA cosáRA, nñ =n