东南大学高等数学期中期末试卷.doc
学号 姓名 密封线东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）课程名称高等数学（非电）考试学期04-05-2得分适用专业非电类各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟题号一二三四五六七得分一. 填空题（每小题4分，共20分）1函数的间断点 是第 类间断点.2. 已知是的一个原函数,且,则 .3. .4. 设,则 .5. 设函数,则当 时,取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当时,都是无穷小,则当时,下列表达式中不一定为无穷小的是 (A) (B) (C) (D)2. 曲线的渐近线共有 (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条3. 下列级数中收敛的级数是 (A) (B) (C) (D) 4. 下列结论正确的是 (A) 若,则必有.(B) 若在区间上可积,则在区间上可积.(C) 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有.(D) 若在区间上可积,则在内必有原函数.三. (每小题7分,共35分)1. . 2. 判断级数的敛散性.3. . 4. .5. 求初值问题 的解.四.(8分) 在区间上求一点,使得图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积最小. 五.(7分) 设 ,求证 .六.(7分) 设当时,可微函数满足条件且,试证:当时,有 成立.七.(7分) 设在区间上连续,且 ,证明在区间内至少存在互异的两点,使.04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准一. 填空题(每小题4分,共20分)1. 0,一; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. .二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. A; 2.B; 3. D; 4.C.三. (每小题7分,共35分)1. 原式=2. 由比值法知原级数收敛. 3. 原式 =4. 原式=5. 对应的齐次方程的通解为 非齐次方程的一个特解为,非齐次方程的一个特解为,原方程的通解为 ,利用初值条件可求得 , 原问题的解为四.(8分) 因此是在上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故是最小值点.五.(7分) 设,原不等式等价于, 即等价于,且等号当且仅当时成立 因此单增,从而单增,原不等式得证. 六.(7分)由题设知, 所给方程可变形两端对求导并整理得 这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得 由于,得单减,而所以当时, ,对 在上进行积分七.(7分) 记,则在上可导,且若在内无零点,不妨设此矛盾说明在内至少存在一个零点对在上分别使用Rolle定理知存在,使得即 东 南 大 学 考 试 卷（A卷）课程名称工科数学分析考试学期04052（期末）得分学号 姓名 适用专业上课各专业考试形式闭考试时间长度150分钟题号一二三四五六七得分一 填空题（每小题4分，共20分） 1设，则（1） 。2设，则 。3设,则当 时,取得最大值。4设满足，则 。5已知是的一个原函数，且，则 。二 选择题（每小题4分，共16分）1设则 (A)有无穷多个第一类间断点 (B)只有一个可去间断点(C )有两个跳跃间断点 ( D)有三个可去间断点2设当时，都是无穷小量（），则当时，下列表达式不一定是无穷小量的是 (A) (B) (C) (D)3下列反常积分发散的是 (A) (B) (C) (D) 4.下列结论正确的是 (A) 若,则必有(B) 若在区间上可积,则在区间上可积(C)若是周期为的连续函数,则对任意常数都有(D)若在区间上可积,则在内必定有原函数. 三（每小题7分，共35分）1 设满足,求曲线在点处的切线方程.2 计算积分 3计算积分4.计算反常积分5.设,求. 四.(7分) 求微分方程初值问题的解.五.(8分)在区间上求一点,使得图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积最小。 六.(7分)设,求证:.七（7分）求极限东 南 大 学 考 试 卷（A卷）课程名称工科数学分析考试学期04053（期末）得分学号 姓名 适用专业上课各专业考试形式闭考试时间长度150分钟题号一二三四五六七得分一填空题（每小题4分，共20分）1交换积分次序= .2幂级数的收敛域是 .3设，则= 。 4设函数是以为周期的周期函数，在区间上，则的Fourier级数在处收敛于 。5当= ，= 时，向量场为有势场。二单项选择题（每小题4分，共16分）1在下列无穷级数中，收敛的级数是 (A) (B) (C) (D) 2.设为上半球面，则曲面积分 值为 （A） (B) (C) (D) 3.设力场，将一质点在力场内沿平面内的椭圆正向运动一周，场力所做的功为 (A) (B) (C) (D) 4二元函数在点处的两个偏导数存在是函数在该点可微的 （A）充分而非必要条件 （B）必要而非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件三.计算下列各题(每小题7分,共35分)1. 计算积分。 2. 将函数展开为的幂级数。3. 将函数在上展为正弦级数。4. 将函数分别在圆环域（1） （2）内展成Laurent级数。5. 判断级数是否一致收敛？证明你的结论。四.（8分）面积分其中为锥面的下侧.五.(7分)计算积分，其中是圆柱面与平面的交线，从轴的正向看，为顺时针方向。.六（8分）求级数的收敛域与和函数，并求级数的和.七.(6分)设，且，试证交错级数收敛。学号 姓名 密封线东 南 大 学 考 试 卷课程名称高等数学(下)重修考试日期05-07得分适用专业电类各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟题号一二三四五六七得分一。填空题(本题共5小题，每小题4分，满分2 0分)1 。2改变积分次序： 。3函数在点处沿着从点指向点的方向的方向导数为 。4幂级数的收敛域为 。5若函数可微，且，则当时， 二单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分1 6分)1.设,则 (A) (B) (C) (D) 2设级数条件收敛，则必有 (A)收敛 (B)收敛 (C)与都收敛 (D)收敛3设是从点经点到点再到点的有向闭折线，则曲线积分的值等于 （A）2 （B）-1 （C）1 （D）-24若是由上半圆周与轴所围成的区域，为连续函数，则二重积分的值为 （A） （B） （C） （D）三计算下列各题(本题共5小题，满分3 3分)1 (本题满分6分) 将函数在圆环域内展成罗朗级数。2 (本题满分7分)设函数,其中具有二阶连续偏导数,求。3 (本题满分6分)求曲线 在点处的切线方程。4 (本题满分6分)计算积分 。5 (本题满分8分)计算积分，其中为曲面与曲面 所围成的区域。四(本题满分7分) 将 展成 的幂级数，并指明收敛域。五(本题满分8分) 计算曲面积分，其中为锥面，取下侧。六(本题满分8分) 求幂级数 的收敛域与和函数。七(本题满分8分) 求原点到曲线的最长和最短距离.东南大学成贤学院期末试卷
