椭圆及其几何性质.ppt
2.2 2.2 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线探究：椭圆有什么几何特征？活动1：动手试一试数学史：MQF2PO1O2VF1古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2），又分别与圆锥面的侧面相切（两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2）过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2与P，Q两点，因为过球外一点作球的切线长相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，MF1+MF2 MP+MQ PQ定值定值 1、椭圆的定义、椭圆的定义：M 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于常数常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。椭圆形成演示椭圆形成演示椭圆定义椭圆定义.gsp思考：是否平面内到两定点之间的距离和为定长的点的轨迹就是椭圆？结论：（若 PF1PF2为定长）当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1PF2 F1F2时，P点的轨迹是椭圆。）当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1PF2 F1F2时，P点的轨迹是一条线段F1F2。）当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1PF20)，M与与F1、F2的距离的和为的距离的和为2a对于含有两个对于含有两个根式的方程，根式的方程，可以采用可以采用移项移项两边平方或两边平方或者者分子有理化分子有理化进进行化简。行化简。叫做叫做椭圆的标准方程，焦点在椭圆的标准方程，焦点在x 轴上。轴上。焦点在焦点在y 轴上，可得出椭圆轴上，可得出椭圆它也是椭圆的标准方程。它也是椭圆的标准方程。12yoFFMx12yoFFMxy xoF2F1M定定 义义图图 形形方方 程程焦焦 点点F(cF(c，0)0)F(0F(0，c)c)a,b,c之间之间的关系的关系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)椭圆的标准方程椭圆的标准方程求法：一定定焦点位置；二设设椭圆方程；三求求a、b的值.例例1椭圆的两个焦点的坐标分别是（椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。12yoFFMx.解：解：椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为:2a=10,2c=8 a=5,c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程（1）首先要）首先要判断判断类型，类型，（2）用）用待定系数法待定系数法求求椭圆的定义椭圆的定义a2=b2+c2？思考一个问题思考一个问题:把把“焦点在焦点在y轴上轴上”这句话去掉，怎么办这句话去掉，怎么办？定义法：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程.待定系数法：所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定型，再定量”.求曲线方程的方法：代入法：或中间变量法，利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之间的坐标。求曲线方程的方法：变式题组一变式题组一变式题组二变式题组二1、方程、方程表示表示_。2、方程、方程表示表示_。3、方程、方程表示表示_。4、方程、方程的解是的解是_。巩固练习巩固练习14DDC一、二、二、三一、二、二、三一个概念；一个概念；二个方程；二个方程；三个意识：三个意识：求美意识，求美意识，求简意识，求简意识，猜想的意识。猜想的意识。二个方法：二个方法：去根号的方法；求标准方程的方法去根号的方法；求标准方程的方法|MF1|+|MF2|=2a一、复习回顾：一、复习回顾：1.椭圆椭圆:到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：3.椭圆中椭圆中a,b,c的关系的关系:a2=b2+c2当焦点在当焦点在x轴上时轴上时当焦点在当焦点在y轴上时轴上时二、椭圆二、椭圆 简单的几何性质简单的几何性质1.范围：范围：x,1,1得：oyB2B1A1A2F1F22.对称性对称性 根据椭圆的图形，观察它有何对称性？根据椭圆的图形，观察它有何对称性？2.对称性对称性：从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称。轴、原点对称。如何从方程来分析这些对称性呢？如何从方程来分析这些对称性呢？（1）把）把y换成换成-y方程不变，椭圆关于方程不变，椭圆关于x轴对称；轴对称；（2）把）把x换成换成-x方程不变，椭圆关于方程不变，椭圆关于y轴对称；轴对称；（3）把）把x换成换成-x，同时把，同时把y换成换成-y方程不变，方程不变，椭圆椭圆 关于原点成中心对称。关于原点成中心对称。练习练习2.3.椭圆的顶点椭圆的顶点*顶点：椭圆与它的对称轴的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。分别叫做椭圆的长轴和短轴。*分别叫做椭圆的长半轴长分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。和短半轴长。这四个顶点的坐标是什么？oF1F2B2B1A1A2练习练习3练习练习4.画出下列椭圆的草图画出下列椭圆的草图（1）（2）B1 123-1-2-3-44yA1 A2 B2 1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x0123-1-2-3-44yB2 A2 B1 A1 1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x04.椭圆的离心率椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。（1）离心率的取值范围：）离心率的取值范围：（2）离心率对椭圆形状的影响：）离心率对椭圆形状的影响：0e11）离心率）离心率e 越大，椭圆就越扁（瘦）；越大，椭圆就越扁（瘦）；2）离心率）离心率e 越小，椭圆就越圆（胖）；越小，椭圆就越圆（胖）；练习练习5标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率 关于x轴、y轴成轴对称；-对称轴关于原点成中心对称-对称中心a2=b2+c2,标准方程标准方程图形图形范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称a2=b2+c2同左同左同同左左同同左左同同左左,b,y-练习练习6.6.已知椭圆方程为已知椭圆方程为 则则它的长轴长是：它的长轴长是：;短轴长是：短轴长是：;焦距是：焦距是：;离心率等于：离心率等于：;焦点坐标是：焦点坐标是：;顶点坐标是：顶点坐标是：;外切矩形的面积等于：外切矩形的面积等于：。2解：由题意得解：由题意得:当焦点在当焦点在 轴时，椭圆的标准方程是轴时，椭圆的标准方程是当焦点在当焦点在 轴时，椭圆的标准方程是轴时，椭圆的标准方程是 练习练习7 7.若椭圆经过点若椭圆经过点 ，求它的标准方程。求它的标准方程。标准方程标准方程图形图形范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率同左同左同同左左同同左左同同左左,b,y-关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；-对称轴对称轴关于原点成中心对称关于原点成中心对称 -对称中心对称中心a2=b2+c2作业：作业：1.1.必做题：课本必做题：课本P49 AP49 A组组 4 4，5 5（1 1）（）（3 3）2.2.选做题：选做题：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点过点P P（3 3，0 0），求椭圆的标准方程。），求椭圆的标准方程。练习练习8：原点原点
