中级经济师人力资源管理专业知识与实务试题.ppt

2.1.2 换元积分法换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法分的两大基本方法换元积分法和分部积分法换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法积分法换元积分法。通常根据换元的先后，换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成把换元法分成第一类换元第一类换元和和第二类换元第二类换元。问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令一、第一类换元法（凑微分法）一、第一类换元法（凑微分法）说明结果正确说明结果正确将上例的解法一般化：将上例的解法一般化：设设则则如果如果（可微）（可微）将上述作法总结成定理，使之合法化，可得将上述作法总结成定理，使之合法化，可得换元法积分公式换元法积分公式第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）定理定理1 1注注定理说明：若已知定理说明：若已知则则因此该定理的意义就在于把因此该定理的意义就在于把中的中的换成另一个换成另一个的可微函数的可微函数后，式子仍成立后，式子仍成立又称为积分的形式不变性又称为积分的形式不变性这样一来，可使基本积分表中的积分公式这样一来，可使基本积分表中的积分公式的适用范围变得更加广泛。的适用范围变得更加广泛。由定理可见，虽然由定理可见，虽然是一整体记号，但可把是一整体记号，但可把视为自变量微分视为自变量微分凑微分凑微分凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化表达式进行变形，主要考虑如何变化凑微分法的基本思路：凑微分法的基本思路：与基本积分公式相比较，将不同的部分与基本积分公式相比较，将不同的部分中间变量中间变量和和积分变量积分变量变成相同变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）例例2 2 求求解解一般地一般地例例3 3 求求解解例例4 4 求求解解例例5解解例例6 6 求求解解例例7解解注意：注意：拆项拆项是常用的技巧是常用的技巧例例8 8 求求解解例例9 9 求求解解例例1010 求求解解例例1111 求求原式原式例例1212 求求解解或或例例1313 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇拆开奇次项次项去凑微分去凑微分.例例1414 求求解解例例1515 求求解解（一）（一）（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）解解（二）（二）解（三）解（三）类似地可推出类似地可推出解解例例1616 设设 求求 .令令例例17解（一）解（一）分子分母同乘以分子分母同乘以解（二）解（二）分子分母和差化积分子分母和差化积解（三）解（三）分子恰为分母的导数分子恰为分母的导数 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟熟记一些函数的微分公式记一些函数的微分公式，并善于，并善于根据这些微分公式对根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因，拼凑出合适的微分因子。子。作业：作业：P78 2.2(2)(3)(7)(9)(10)(16)(17)(19)(20)(30)(35)问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2第二类积分换元公式第二类积分换元公式例例1919 求求解解 令令例例2020 求求解解 令令说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是是化掉根式化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。掌握着取单调区间即可。说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.例例2222 求求解解令令例例2323 求求解解 令令说明说明(3)(3)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例2424 求求解解令令说明说明(4)(4)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例2626 求求解解令令基基本本积积分分表表三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)P792.3(1)(5)(6)(9)(10)(11)(12)