D不定积分概念及性质.pptx
1二、二、基本积分公式基本积分公式 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质 第四四章 第1页/共24页2说说是是的的导数导数.已知已知求其导数为求其导数为现在反过来说，现在反过来说，是是的的原函数原函数.求其原函数求其原函数已知已知第2页/共24页31.原函数的定义：原函数的定义：如果在开区间如果在开区间I内，内，可导函数可导函数 的的即即都有，都有，或或那么函数那么函数称为称为f(x)在区间在区间I上的上的原函数原函数.例如例如导数导数为为的原函数的原函数.是是在区间在区间上的原函数上的原函数.一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念则说则说是是在区间在区间上的原函数上的原函数.则说则说第3页/共24页4问题问题:1.在什么条件下在什么条件下,一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在?2.若函数的原函数存在若函数的原函数存在,它如何表示它如何表示?定理定理1.存在原函数存在原函数.(下章证明下章证明)简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.2.原函数存在定理原函数存在定理即在即在I内一定存在可导函数内一定存在可导函数结论结论:初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数.问题：问题：(1)原函数原函数是否是否唯一唯一呢？呢？(2)若不唯一，若不唯一，它们之间有什么联系？它们之间有什么联系？如：如：又如：又如：第4页/共24页53.原函数结构定理：原函数结构定理：证证:(1)(2)由原函数的结构定理可知：由原函数的结构定理可知：如有原函数就有如有原函数就有无数个无数个.所以所以,知其一个原函数就知全部知其一个原函数就知全部.第5页/共24页6定义定义 2.在区间在区间 I 上的全体原函数称为上的全体原函数称为上的不定积分上的不定积分,其中其中 积分号积分号;被积函数被积函数;被积表达式被积表达式.积分变量积分变量;有定义知：若有定义知：若(C 为任意常数为任意常数)C 称称为为积分常数积分常数,不可丢不可丢!例如：例如：记作记作4.不定积分的概念不定积分的概念第6页/共24页7例例1.解解:解解:例例2.注意注意:若在提出问题时不指明区间，若在提出问题时不指明区间，则在解题时通常也则在解题时通常也不指明求出的原函数所适用的区间，不指明求出的原函数所适用的区间，只要确有区只要确有区间，间，就有就有使得使得第7页/共24页8例例3.解解:例例4.设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程求此曲线的方程.解解:所求曲线过点所求曲线过点(1,2),故有故有因此所求曲线为因此所求曲线为显然，显然，求不定积分得到一积分曲线族求不定积分得到一积分曲线族.第8页/共24页9的原函数的图形称为的原函数的图形称为的图形：的图形：的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成的平行曲线族的平行曲线族.的的积分曲线积分曲线.5.不定积分的几何意义不定积分的几何意义称为称为函数函数的积分曲线族的积分曲线族.特点特点:任何一条积分曲线都可以任何一条积分曲线都可以由某一条沿某一条沿y轴方向轴方向平移平移得到，得到，并且积分曲线族上对应于积分曲线族上对应于同一同一坐标坐标x的各点处有相同的斜率的各点处有相同的斜率第9页/共24页10由不定积分定义可知由不定积分定义可知:结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.6.微分法与积分法的关系微分法与积分法的关系如：如：或或或或先积后微先积后微,函数不变.先微后积先微后积,函数加函数加C.第10页/共24页1112345二、二、基本积分公式基本积分公式(P188)利用逆向思维利用逆向思维(k 为常数为常数)第11页/共24页12请大家熟记以上公式请大家熟记以上公式请大家熟记以上公式请大家熟记以上公式678910111213基基本本积积分分公公式式表表(1)注意：注意：以上公以上公式在被积函数式在被积函数的连续区间内的连续区间内成立成立,本章常把本章常把这个区间省去这个区间省去不写不写,第五章自第五章自然要考虑这个然要考虑这个区间区间.第12页/共24页13例例1.求积分求积分解解:根据积分公式根据积分公式例例2.求求解解:原式原式 =例例3.求求解解:原式原式=第13页/共24页14三、不定积分的性质三、不定积分的性质证明证明(此性质可推广到有限多个函数之和的情况此性质可推广到有限多个函数之和的情况)推论推论(线性性线性性):第14页/共24页15解解:注意注意1：注意注意2：分项积分后分项积分后,只需写出只需写出一个常数一个常数.检验积分结果是否正确检验积分结果是否正确,例例4.求积分求积分看它的看它的导数导数是否等于是否等于被积函数被积函数.原式原式=只需对结果求导只需对结果求导,解解:例例5.第15页/共24页16解解:例例6.直接积分法：直接积分法：通过通过恒等变形恒等变形,利用线性性把所给积分变成公式中有的形式，公式中有的形式，求出积分的方法求出积分的方法.解解:例例7.第16页/共24页17解解:原式原式=例例8.原式原式=解解:例例9.第17页/共24页18原式原式=解解:例例10.例例11.解解:原式原式第18页/共24页19解解:原式原式=例例12.例例13.求求解解:原式原式=第19页/共24页20解解:例例14.求求原式原式=例例15.第20页/共24页21例例16.解解:例例17.解解:第21页/共24页22内容小结内容小结1.不定积分的概念不定积分的概念:原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质-线性性线性性2.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用常用恒等变形恒等变形方法方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式代数公式积分性质积分性质作业作业:P192 2(14)(15)(18)(20)(22)(23)(24)(26);5;7.预习预习:P193-P200背积分公式第22页/共24页23基本积分公式基本积分公式(见见P188)(13个个)幂幂2个个指指2个个三角三角6个个有理式有理式2个个无理式无理式1个个注意：注意：以上公式在被积以上公式在被积函数的连续区间内成立函数的连续区间内成立,本章常把这个区间省本章常把这个区间省去不写去不写,第五章自然要第五章自然要考虑这个区间考虑这个区间.P193T7第23页/共24页24感谢您的欣赏！第24页/共24页
