行列式按一行列展开.pptx

会计学1行列式按一行列展开行列式按一行列展开一一 余子式、代数余子式余子式、代数余子式定义定义在在 n 级行列式级行列式 中将元素中将元素 所在的所在的第第 i 行行与第与第 j 列划去，剩下列划去，剩下 个元素按原位置个元素按原位置次序构成一个次序构成一个 级的行列式，级的行列式，称之为元素称之为元素 的的余子式余子式,记作记作 第1页/共24页令令称称 之为元素之为元素 的的代数余子式代数余子式注：注：行列式中每一个元素分别对应着一个余子式行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式和代数余子式无关，只与该元素的在行列式中的位置有关无关，只与该元素的在行列式中的位置有关 元素元素 的余子式和代数余子式与的余子式和代数余子式与 的大小的大小第2页/共24页元素除元素除 外都为外都为 0，则，则1.1.引理引理二二 行列式按行行列式按行(列列)展开法则展开法则若若n 级行列式级行列式 D=的的 中第中第 i 行所有行所有第3页/共24页证：证：先证的情形，即先证的情形，即由行列式的定义，有由行列式的定义，有第4页/共24页结论成立。结论成立。一般情形：一般情形：第5页/共24页结论成立。结论成立。第6页/共24页2.2.定理定理行列式行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，对应的代数余子式乘积之和，即即或或行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则第7页/共24页证：证：第8页/共24页例例如如.计算行列式计算行列式 解：解：第9页/共24页例例如如.证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式 第10页/共24页证：用数学归纳法证：用数学归纳法.时，时，假设对于假设对于 级范德蒙行列式结论成立即级范德蒙行列式结论成立即结论成立结论成立第11页/共24页把把 从第从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的行开始，后面一行减去前面一行的倍，得倍，得下证对于下证对于 n 级范德蒙行列式级范德蒙行列式 结论也成立结论也成立.第12页/共24页第13页/共24页范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少两个相等中至少两个相等注：注：第14页/共24页3.3.推论推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即第15页/共24页证证第16页/共24页相同相同 当当 时时,同理可证同理可证,第17页/共24页综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：第18页/共24页例例如如.设设 求求 解：解：和和第19页/共24页第20页/共24页例如例如.证明：证明：第21页/共24页三三 总结总结 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具。式的计算化为低阶行列式计算的重要工具。第22页/共24页练习：练习：1.计算行列式计算行列式2.设设 求求答案：答案：第23页/共24页