2020版高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义课件新人教B版选修2_2.ppt

1.1.3导数的几何意义1.1.曲线割线的斜率曲线割线的斜率(1)(1)定义定义:已知已知y=f(x)y=f(x)图象上两点图象上两点A(xA(x0 0,f(x,f(x0 0),),B(xB(x0 0+x,f(x+x,f(x0 0+x),+x),过过A,BA,B两点割线的斜率是两点割线的斜率是_._.(2)(2)几何意义几何意义:曲线割线的斜率就是曲线割线的斜率就是_._.函数的平均变化率函数的平均变化率2.2.函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处的导数的几何意义处的导数的几何意义(1)(1)几何意义几何意义:曲线曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的处的切线的斜率等于斜率等于_._.(2)(2)曲线在点曲线在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处切线的斜率处切线的斜率=.f(xf(x0 0)(3)(3)相应的切线方程相应的切线方程:_:_y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0).).【思考思考】(1)(1)曲线的切线与曲线只有一个公共点吗曲线的切线与曲线只有一个公共点吗?提示提示:不一定不一定.曲线的切线与曲线除了切点外曲线的切线与曲线除了切点外,可能还有可能还有其他的公共点其他的公共点.如图如图,l为曲线为曲线y=f(x)y=f(x)的切线的切线,但它们有但它们有两个公共点两个公共点A,B.A,B.(2)(2)函数函数f f(x)(x)的定义域与其导函数的定义域与其导函数ff(x)(x)的定义域有何的定义域有何关系关系?提示提示:函数函数f f(x)(x)的定义域与其导函数的定义域与其导函数ff(x)(x)的定义域不的定义域不一定相同一定相同.如如f f(x)(x)=,=,其导函数为其导函数为ff(x)(x)=,=,定定义域不同义域不同.【自我总结自我总结】1.1.曲线的切线与割线曲线的切线与割线(1)(1)曲线的切线是由割线绕一点转动曲线的切线是由割线绕一点转动,当另一点无限接当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线近这一点时割线趋于的直线.(2)(2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有可以有多个多个,甚至可以有无穷多甚至可以有无穷多.与曲线只有一个公共点的直与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线线也不一定是曲线的切线.2.2.曲线的切线与导数曲线的切线与导数(1)(1)函数函数f(x)f(x)在在x x0 0处有导数处有导数,则在该点处函数则在该点处函数f(x)f(x)表示表示的曲线必有切线的曲线必有切线,且导数值是该切线的斜率且导数值是该切线的斜率.(2)(2)函数函数f(x)f(x)表示的曲线在点表示的曲线在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处有切线处有切线,但但函数函数f(x)f(x)在该点处不一定可导在该点处不一定可导,如如f(x)=f(x)=在在x=0 x=0处有处有切线切线,但不可导但不可导.【自我检测自我检测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)的几何意义是函的几何意义是函数数y=f(x)y=f(x)在点在点x=xx=x0 0处的函数值处的函数值.()(2)(2)函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)的几何意义是函的几何意义是函数数y=f(x)y=f(x)在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线与处的切线与x x轴所夹锐角的正轴所夹锐角的正切值切值.()(3)(3)函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)的几何意义是曲的几何意义是曲线线y=f(x)y=f(x)在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的斜率处的切线的斜率.()(4)(4)函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)的几何意义是点的几何意义是点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)与点与点(0,0)(0,0)连线的斜率连线的斜率.()提示提示:(1).(1).函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)的几何的几何意义是函数意义是函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=xx=x0 0处的导数值处的导数值.(2)(2).函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)的几何意义的几何意义是函数是函数y=f(x)y=f(x)在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线倾斜角的正切值处的切线倾斜角的正切值.(3).(3).函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)的几何意义的几何意义就是曲线就是曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的斜率处的切线的斜率.(4)(4).函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)的几何意义的几何意义是曲线是曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的斜率处的切线的斜率,不是点不是点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)与点与点(0,0)(0,0)连线的斜率连线的斜率.2.2.设设f(xf(x0 0)=0,)=0,则曲线则曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线处的切线()A.A.不存在不存在B.B.与与x x轴平行或重合轴平行或重合C.C.与与x x轴垂直轴垂直D.D.与与x x轴斜交轴斜交【解析解析】选选B.B.由导数的几何意义知由导数的几何意义知B B正确正确.3.3.若函数若函数f(x)f(x)在点在点A A 处的导数为处的导数为-2,-2,则函数在点则函数在点A A处的切线方程为处的切线方程为_._.【解析解析】由题意由题意,函数在点函数在点A A处的切线斜率处的切线斜率k=-2,k=-2,则切线则切线方程为方程为y+1=-2 ,y+1=-2 ,即即2x+y-1=0.2x+y-1=0.答案答案:2x+y-1=02x+y-1=04.4.若函数若函数f(x)f(x)在某点处的切线方程为在某点处的切线方程为x-y+1=0,x-y+1=0,则函数则函数在该点处的导数为在该点处的导数为_._.【解析解析】由题意由题意,函数在该点处的切线斜率函数在该点处的切线斜率k=1,k=1,故在该点处的导数为故在该点处的导数为1.1.答案答案:1 1类型一求曲线的切线方程类型一求曲线的切线方程【典例典例】1.1.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+1,+1,则则f(1)=_.f(1)=_.2.(1)2.(1)求曲线求曲线y=xy=x3 3-2x+1-2x+1在点在点(1,0)(1,0)处的切线方程处的切线方程.(2)(2)求曲线求曲线y=xy=x2 2过点过点(3,5)(3,5)的切线方程的切线方程.【思路导引思路导引】1.1.典例典例1 1中求中求f(1)f(1)的关键在于求在的关键在于求在x=1x=1处的函数改变量处的函数改变量.2.(1)2.(1)求曲线上在某点处的切线方程的关键是求在该求曲线上在某点处的切线方程的关键是求在该点处的导数值点处的导数值.(2)(2)求曲线过某一点的切线方程的思路是求出过该点求曲线过某一点的切线方程的思路是求出过该点的曲线切线的切点坐标的曲线切线的切点坐标.【解析解析】1.1.因为因为y=f(1+x)-f(1)y=f(1+x)-f(1)=(1+x)=(1+x)2 2+1-1+1-12 2+1+1=2x+(x)=2x+(x)2 2,答案答案:2 2所以所以f(1)=3-2=1,f(1)=3-2=1,所以切线的方程为所以切线的方程为y=x-1.y=x-1.即即x-y-1=0.x-y-1=0.(2)(2)因为因为(3,5)(3,5)不在曲线上不在曲线上,设切点设切点(x(x0 0,),),f(xf(x0 0)=(2x)=(2x0 0+x)=2x+x)=2x0 0,故切线斜率为故切线斜率为2x2x0 0,切线方程为切线方程为y-=2xy-=2x0 0(x-x(x-x0 0),),因为点因为点(3,5)(3,5)在切线上在切线上,有有5-=2x5-=2x0 0(3-x(3-x0 0),),解得解得x x0 0=1=1或或x x0 0=5,=5,则切点坐标为则切点坐标为(1,1)(1,1)或或(5,25),(5,25),故切线方程为故切线方程为y-1=2(x-1)y-1=2(x-1)或或y-25=10(x-5),y-25=10(x-5),即即2x-y-1=02x-y-1=0或或10 x-y-25=0.10 x-y-25=0.【方法技巧方法技巧】过曲线上一点求切线方程的三个步骤过曲线上一点求切线方程的三个步骤【拓展延伸拓展延伸】求过曲线求过曲线y=f(x)y=f(x)外一点外一点P(xP(x1 1,y,y1 1)的切线的切线方程的六个步骤方程的六个步骤(1)(1)设切点设切点(x(x0 0,f(x,f(x0 0).).(2)(2)利用所设切点求斜率利用所设切点求斜率k=f(xk=f(x0 0)=.(3)(3)用用(x(x0 0,f(x,f(x0 0),P(x),P(x1 1,y,y1 1)表示斜率表示斜率.(4)(4)根据斜率相等求得根据斜率相等求得x x0 0,然后求得斜率然后求得斜率k.k.(5)(5)根据点斜式写出切线方程根据点斜式写出切线方程.(6)(6)将切线方程化为一般式将切线方程化为一般式.【变式训练变式训练】1.(20181.(2018全国卷全国卷I)I)设函数设函数f(x)=xf(x)=x3 3+(a-1)x+(a-1)x2 2+ax.+ax.若若f(x)f(x)为奇函数为奇函数,则曲线则曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(0,0)(0,0)处的切线方程处的切线方程为为()A.y=-2xA.y=-2xB.y=-xB.y=-xC.y=2xC.y=2xD.y=xD.y=x【解析解析】选选D.D.因为因为f(x)f(x)为奇函数为奇函数,所以所以f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),即即a=1,a=1,所以所以f(x)=xf(x)=x3 3+x,+x,所以所以f(0)=1,f(0)=1,所以切线方程所以切线方程为为y=x.y=x.2.2.已知曲线已知曲线C:y=xC:y=x3 3+,+,求曲线求曲线C C上的横坐标为上的横坐标为2 2的点的点处的切线方程处的切线方程.【解析解析】将将x=2x=2代入曲线代入曲线C C的方程得的方程得y=4,y=4,所以设切点为所以设切点为P,P,则则P(2,4).P(2,4).y|y|x=2x=2=所以所以k=y|k=y|x=2x=2=4.=4.所以曲线在点所以曲线在点P(2,4)P(2,4)处的切线方程为处的切线方程为y-4=4(x-2),y-4=4(x-2),即即4x-y-4=0.4x-y-4=0.类型二求切点的坐标类型二求切点的坐标【典例典例】已知曲线已知曲线y=xy=x2 2-1-1在在x=xx=x0 0处的切线与曲线处的切线与曲线y=1-y=1-x x3 3在在x=xx=x0 0处的切线互相平行处的切线互相平行,求求x x0 0的值的值.【思路导引思路导引】切线相互平行得到切线斜率相等切线相互平行得到切线斜率相等;利用利用切线斜率相等即在该点处的导数相等求切线斜率相等即在该点处的导数相等求x x0 0.【解析解析】对于曲线对于曲线y=xy=x2 2-1-1在在x=xx=x0 0处处,对于曲线对于曲线y=1-xy=1-x3 3在在x=xx=x0 0处处,又又y=1-xy=1-x3 3与与y=xy=x2 2-1-1在在x=xx=x0 0处的切线互相平行处的切线互相平行,所以所以2x2x0 0=-3=-3 ,解得解得x x0 0=0=0或或x x0 0=.=.【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法)本典例条件不变本典例条件不变,试分别求出这两条平试分别求出这两条平行的切线方程行的切线方程.【解析解析】(1)(1)当当x x0 0=0=0时时,两条切线的斜率两条切线的斜率k=0,k=0,曲线曲线y=xy=x2 2-1-1上的切点坐标为上的切点坐标为(0,-1),(0,-1),切线方程为切线方程为y=-1,y=-1,曲线曲线y=1-xy=1-x3 3上的切点坐标为上的切点坐标为(0,1),(0,1),切线方程为切线方程为y=1,y=1,但但是直线是直线y=1y=1并不是曲线的切线并不是曲线的切线,不符合题意不符合题意.(2)(2)当当x x0 0=时时,两条切线的斜率两条切线的斜率k=,k=,曲线曲线y=xy=x2 2-1-1上的切点坐标为上的切点坐标为 切线方程为切线方程为 即即12x+9y+13=0,12x+9y+13=0,曲线曲线y=1-xy=1-x3 3上的切点坐标为上的切点坐标为 切线方程为切线方程为 即即36x+27y-11=0.36x+27y-11=0.故两曲线的切线方程分别是故两曲线的切线方程分别是12x+9y+13=0,36x+27y-11=0.12x+9y+13=0,36x+27y-11=0.2.(2.(改变问法改变问法)本典例条件不变本典例条件不变,试求出两条切线之间试求出两条切线之间的距离的距离.【解析解析】由探究由探究1 1知两切线的方程为知两切线的方程为12x+9y+13=0,36x+27y-11=0,12x+9y+13=0,36x+27y-11=0,其中其中36x+27y-11=036x+27y-11=0可化为可化为12x+9y-=0,12x+9y-=0,故两直线间的距离故两直线间的距离 【方法技巧方法技巧】切点问题的处理方法切点问题的处理方法(1)(1)借斜率先求横坐标借斜率先求横坐标:由条件得到直线的倾斜角或斜由条件得到直线的倾斜角或斜率率,由这些信息得知函数在某点的导数由这些信息得知函数在某点的导数,进而求出点的进而求出点的横坐标横坐标.(2)(2)与几何知识相联系与几何知识相联系:解决这些问题要注意和解析几解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来何的知识联系起来,如直线的倾斜角和斜率的关系如直线的倾斜角和斜率的关系,两两直线平行或垂直与斜率的关系等直线平行或垂直与斜率的关系等.【补偿训练补偿训练】如果曲线如果曲线y=xy=x3 3+x-10+x-10的一条切线与的一条切线与直线直线y=4x+3y=4x+3平行平行,那么曲线与切线相切的切点坐标为那么曲线与切线相切的切点坐标为()A.(1,-8)A.(1,-8)B.(-1,-12)B.(-1,-12)C.(1,-8)C.(1,-8)或或(-1,-12)(-1,-12)D.(1,-12)D.(1,-12)或或(-1,-8)(-1,-8)【解析解析】选选C.C.设切点坐标为设切点坐标为P(xP(x0 0,y,y0 0),),则则y y0 0=x x0 03 3+x+x0 0-10-10的切线斜率为的切线斜率为k=k=所以所以x x0 0=1,1,当当x x0 0=1=1时时,y,y0 0=-8,=-8,当当x x0 0=-1=-1时时,y,y0 0=-12,=-12,所以切点坐标为所以切点坐标为(1,-8)(1,-8)或或(-1,-12).(-1,-12).类型三导数几何意义的应用类型三导数几何意义的应用【典例典例】1.1.设曲线设曲线y=axy=ax2 2在点在点(1,a)(1,a)处的切线与直线处的切线与直线2x-y-6=02x-y-6=0平行平行,则则a a等于等于()A.1A.1 B.B.C.-C.-D.-1D.-12.2.已知函数已知函数f(x)f(x)在区间在区间0,30,3上的图象如图所示上的图象如图所示,记记k k1 1=f(1),k=f(1),k2 2=f(2),k=f(2),k3 3=f(2)-f(1),=f(2)-f(1),则则k k1 1,k,k2 2,k,k3 3之间之间的大小关系为的大小关系为_.(_.(请用请用“”连接连接)3.3.曲线曲线y=y=和和y=xy=x2 2在它们交点处的两条切线与在它们交点处的两条切线与x x轴所轴所围成的三角形的面积是围成的三角形的面积是_._.【思路导引思路导引】1.1.典例典例1 1中切线斜率与在切点处的导数中切线斜率与在切点处的导数的关系是切线斜率与在切点处的导数相等的关系是切线斜率与在切点处的导数相等.2.2.曲线的导数越大曲线的导数越大,曲线的弯曲程度越大曲线的弯曲程度越大,图象变化的图象变化的越快越快.3.3.三角形的面积三角形的面积S=ah.S=ah.【解析解析】1.1.选选A.A.因为因为 所以所以2a=2,2a=2,所以所以a=1.a=1.2.2.由导数的几何意义可知由导数的几何意义可知k k1 1,k,k2 2分别为曲线在分别为曲线在A,BA,B处切处切线的斜率线的斜率,而而k k3 3=f(2)-f(1)=f(2)-f(1)=为直线为直线ABAB的斜率的斜率,由图象易知由图象易知k k1 1kk3 3kk2 2.答案答案:k k1 1kk3 3kk2 23.3.由由 所以曲线所以曲线y=y=和和y=xy=x2 2的交点坐标的交点坐标是是(1,1),y=(1,1),y=的导数为的导数为y=y=,所以在所以在x=1x=1处的切线斜率为处的切线斜率为-1,-1,切线的方程是切线的方程是y=-x+2,y=xy=-x+2,y=x2 2的导数为的导数为 在在x=1x=1处的处的切线斜率为切线斜率为2,2,切线方程为切线方程为y=2x-1,y=2x-1,两条切线与两条切线与x x轴的交轴的交点坐标分别为点坐标分别为(2,0)(2,0)和和(,0)(,0),故它们与故它们与x x轴所围成的轴所围成的三角形的面积三角形的面积S=S=答案答案:【方法技巧方法技巧】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识的相关知识,如直线的方程、直线间的位置关系等如直线的方程、直线间的位置关系等,因因此要综合应用所学知识解题此要综合应用所学知识解题.(2)(2)与导数的几何意义相关的综合问题与导数的几何意义相关的综合问题,解题的关键是解题的关键是函数在某点处的导数函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率已知切点可以求斜率,已知斜率已知斜率也可以求切点也可以求切点,切点的坐标是常设的未知量切点的坐标是常设的未知量.【变式训练变式训练】直线直线l:y=x+a(a0):y=x+a(a0)和曲线和曲线C:y=xC:y=x3 3-x-x2 2+1+1相切相切,则则a a的值为的值为_,_,切点坐标为切点坐标为_._.【解析解析】设直线设直线l与曲线与曲线C C的切点为的切点为(x(x0 0,y,y0 0),),因为因为y=y=则则y|y|x x=x=x0 0=3 -2x=3 -2x0 0=1,=1,解得解得x x0 0=1=1或或x x0 0=-,=-,当当x x0 0=1=1时时,y,y0 0=+1=1,=+1=1,又又(x(x0 0,y,y0 0)在直线在直线y=x+ay=x+a上上,将将x x0 0=1,y=1,y0 0=1=1代入得代入得a=0a=0与已知条件矛盾舍去与已知条件矛盾舍去.当当 则切点坐标为则切点坐标为 将将 代入直线代入直线y=x+ay=x+a中中得得a=.a=.答案答案:【补偿训练补偿训练】若抛物线若抛物线y=xy=x2 2与直线与直线2x+y+m=02x+y+m=0相切相切,则则m=_.m=_.【解析解析】设切点为设切点为P(xP(x0 0,y,y0 0),),=(2x(2x0 0+x)=2x+x)=2x0 0.即切点即切点P(-1,1),P(-1,1),又又P(-1,1)P(-1,1)在直线在直线2x+y+m=02x+y+m=0上上,故故2 2(-1)+1+m=0,(-1)+1+m=0,即即m=1.m=1.答案答案:1 1【易错误区案例易错误区案例】求曲线的切线方程求曲线的切线方程【典例典例】已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2+x+1,+x+1,求该抛物线过原点的求该抛物线过原点的切线方程切线方程.【错解案例错解案例】切点即为原点切点即为原点(0,0),(0,0),=(1+x)=1,=(1+x)=1,故斜率为故斜率为1.1.得切线方程为得切线方程为y=x,y=x,即即x-y=0.x-y=0.错误原因错误原因防范措施防范措施把原点当作切点把原点当作切点,求求的是在的是在x=0 x=0处的斜率处的斜率1.1.看清楚求的是原点处的切线看清楚求的是原点处的切线,还是过原点的切线还是过原点的切线.2.2.过原点的切线过原点的切线,原点不一定原点不一定是切点是切点,需设切点为需设切点为(x(x0 0,y,y0 0).).【正解正解】设切点坐标为设切点坐标为(x(x0 0,y,y0 0),),则则f(xf(x0 0)=)=(2x=(2x0 0+1+x)=2x+1+x)=2x0 0+1,+1,所以斜率所以斜率k=2xk=2x0 0+1,+1,故所求的切线方程为故所求的切线方程为y-yy-y0 0=(2x=(2x0 0+1)(x-x+1)(x-x0 0),),将将(0,0)(0,0)及及y y0 0=+x=+x0 0+1+1 代入上式得代入上式得:-(+x-(+x0 0+1)=-x+1)=-x0 0(2x(2x0 0+1),+1),解得解得x x0 0=1=1或或x x0 0=-1,=-1,所以所以k=3k=3或或k=-1,k=-1,所以切线方程为所以切线方程为y=3xy=3x或或y=-x,y=-x,即即3x-y=03x-y=0或或x+y=0.x+y=0.【即时应用即时应用】已知曲线已知曲线y=f(x)=2xy=f(x)=2x2 2-7,-7,求曲线过点求曲线过点P(3,9)P(3,9)的切线方程的切线方程.【解析解析】f(xf(x0 0)=)=(4x=(4x0 0+2x)=4x+2x)=4x0 0.设所求切线的切点为设所求切线的切点为A(xA(x0 0,y,y0 0),),则切线的斜率则切线的斜率k=4xk=4x0 0,故所求的切线方程为故所求的切线方程为y-yy-y0 0=4x=4x0 0(x-x(x-x0 0).).将将P(3,9)P(3,9)及及y y0 0=2 -7=2 -7代入上式代入上式,得得9-(2 -7)=4x9-(2 -7)=4x0 0(3-x(3-x0 0).).解得解得x x0 0=2=2或或x x0 0=4.=4.所以切点为所以切点为(2,1)(2,1)或或(4,25).(4,25).从而所求切线方程为从而所求切线方程为8x-y-15=08x-y-15=0或或16x-y-39=0.16x-y-39=0.