浅谈中学数学思想优秀课件.ppt
浅谈中学数学思想第1页，本讲稿共43页内容摘要v近年来随着我国教育事业的发展，人们越来越重视对数学教育的研究，数学教学大纲也在不断的改进。而数学的核心成分是数学思想和数学方法，掌握数学思想和方法比掌握数学知识更加重要。本文就数学思想和数学方法的概念，两者之间的区别和联系，它们的基本种类及在题目中的应用进行了简单的研究，以加强对数学知识的理解性记忆和数学能力、数学素质的提高。第2页，本讲稿共43页v全日制普通高级中学数学教学大纲中对中学生应掌握的基础知识作了明确规定，即“高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其内容反映出来的数学思想和方法”。由此可见数学教学对数学思想和方法的重视 第3页，本讲稿共43页目录v引言v一、数学思想和数学方法v二、数学思想及应用v三、数学方法及应用v四、小结v参考文献v致谢 第4页，本讲稿共43页引言引言 v数学是人们在数学活动中总结出来的一门科学。数学分三个部分：数学知识、数学思想和数学方法。其中数学知识虽然很重要，但是数学的灵魂不在知识的本身，而在于数学中蕴含的数学思想和数学方法。数学思想和数学方法是对数学内容的高度的概括和总结，是人们在长期的社会实践中提炼出的抽象的思维形式。作为数学的核心，数学思想和数学方法是整个数学的基础部分，是对数学在应用领域的归纳和总结，是对数学本质的深刻认识。它比数学知识更具有普遍性，可以应用到社会生活中的各个领域，是人们处理不同问题的方法和手段。第5页，本讲稿共43页一、数学思想和数学方法一、数学思想和数学方法v数学思想是指“现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中经过思维活动而产生的结果”，是对数学理论和内容的深刻认识，是贯穿于数学领域的概括性、抽象的内容。它是在基础数学知识和理论的基础上，为了数学应用而发展和壮大起来的，并日渐趋于完善。其中,化归的思想是数学思想系统的核心部分。第6页，本讲稿共43页v数学方法是指人们在数学活动中为解决数学问题而采取的手段、途径，在这些行为方式中抽象提炼出来的可操作强的规则和模式.数学方法是数学思想的外在表现形式,是实现数学思想的重要工具,强调过程性、层次性和可操作性。中学时常接触的数学方法有配方法、消元法、换元法、待定系数法等。第7页，本讲稿共43页v在中学阶段，人们习惯把数学思想和方法统为数学思想方法，将两者混为一谈，这种做法是很不负责任的表现v数学思想和方法各有其特点。在操作和运用的过程中根据它们的特征和倾向性,分为数学思想和数学方法。通常的,数学思想倾向于理论内容,是人们对数学理论与内容的深刻认识,控制和引导着数学活动的完成。而数学方法则倾向于技巧性,是解决某一数学问题的具体途径，有一定的规则性。因此可以认为,思想注重理论性,方法则注重实践性。第8页，本讲稿共43页v数学思想和方法虽然各有其特点，但它们之间也是相互渗透、相互联系的。数学思想是数学方法产生的基础,并指导数学方法的实施；而数学方法蕴含在数学思想之中，是数学思想的深层表现形式，方法在活动中的使用又进一步完善了数学思想。总之，两者相辅相呈，共同组成数学的整体。第9页，本讲稿共43页二、数学思想及应用二、数学思想及应用 v中学阶段接触到的数学思想有：化归的思想、数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论的思想这四种。第10页，本讲稿共43页（一）化归的思想（一）化归的思想 v把所要解决的问题通过一系列步骤化为已经解决了的或者较为简单的问题去处理的思想就是化归的思想。化归的思想是数学思想的重要组成部分，是解读数学思想的一把钥匙。其它的数学思想是对化归思想不同方向的延伸和拓展。第11页，本讲稿共43页v化归的进程，一般是：观察，分析，联想，化归。如下图：新问题A原问题的解答D新问题B新问题的解答C第12页，本讲稿共43页第13页，本讲稿共43页（二）数形结合的思想v数形结合是根据数学题目中的条件和问题的联系，分析其中蕴含的代数信息和几何意义，结合相关公式定理将两者巧妙地结合在一起的方法。既研究“数”的时候结合“形”，研究“形”时结合“数”，从而使问题简化。第14页，本讲稿共43页v在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：v第一、搞清概念和运算的几何意义以及空间图形的代数特征；v第二、合理设置参数，数形相思，做好转化；v第三、正确、仔细确定参数的取值范围。第15页，本讲稿共43页第16页，本讲稿共43页第17页，本讲稿共43页（三）函数和方程的思想（三）函数和方程的思想 v函数和方程的思想是两个概念。函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，从而建立方程（组）使问题解决。第18页，本讲稿共43页v函数思想是通过构造函数从而利用函数的特殊性质解题。在解题中，要善于挖掘题目中的隐含信息，构造出函数解析式和函数的性质。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。第19页，本讲稿共43页第20页，本讲稿共43页（四）分类讨论的思想v 分类讨论的思想就是在解答某类数学问题时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并分别求解，最后综合的思想。它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。进行分类讨论时，我们要做到：分类对象的确定性，标准的统一性，划分科学性，做到不遗漏、不重复 第21页，本讲稿共43页第22页，本讲稿共43页第23页，本讲稿共43页三、数学方法及应用三、数学方法及应用v在中学阶段里经常用到的数学方法由换元法、插入法、代入法、待定系数法、数学归纳法、反证法、参数法、构造法等方法。下面就比较常用的方法做出分析。第24页，本讲稿共43页（一）待定系数法v待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。第25页，本讲稿共43页v使用待定系数法，它解题的基本步骤是：v第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；v第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；v第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决 第26页，本讲稿共43页第27页，本讲稿共43页（二）（二）数学归纳法v归纳是一种由特殊个体导出一般原理的思维方法。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。第28页，本讲稿共43页v它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明第一个命题的成立，通常命题在n1(或n=0)时成立；第二步是假设在nk+1时命题成立，再证明nk1时命题也成立，这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或0且）结论都正确”。第29页，本讲稿共43页v运用数学归纳法证明问题时，关键是 1 时命题成立的推证，此步证明要根据题目的要求，正确的推导和运算，逐步缩小自己解得的结果与题目结论两者之间的差距，从而证明题目结论的成立。第30页，本讲稿共43页第31页，本讲稿共43页第32页，本讲稿共43页（三）反证法（三）反证法v反证法不想前面介绍的方法，是从问题的反面来解题的证明方法，就是在肯定题设的基础上否定结论，推出与假设矛盾的结论，从而证明原命题成立。v运用反证法证明问题分三步走：v第一步：假设结论错误，推出相反的结论；v第二步：再假设的基础上，正确推导，找出矛盾；v第三步：说明假设不成立，从而证明原命题成立。第33页，本讲稿共43页v运用反证法作题时，一定要用假设进行推导。如果证明的题目中出现“至少”、“至多”、“不全是”、“唯一”等这样的字眼时，可以尝试用反证法进行证明，进而使问题简单化、清晰化，即正难则反。v 常见的否定有：至多有一个全都是，至少有一个都不，不全是全是，唯一至少有两个。平时做题要注意总结 第34页，本讲稿共43页第35页，本讲稿共43页（四）三角法（四）三角法 v所谓三角法,就是把所求问题转化为含有三角函数问题的方法.使复杂问题简单化,从而更好的解题。再用三角法解题的时候,要特别注意化为三角函数后未知量的取值范围,慎重审题 第36页，本讲稿共43页第37页，本讲稿共43页（五）构造法（五）构造法v构造法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。构造法属于非常规思维，它适用于对某些常规方法不易解决的问题，既巧妙，又简洁。其主要思想是依据题设条件特点，以所求结论为方向，在思维中形成新的数学形式，使得问题在这种形式下，拥有简捷解决的方法。第38页，本讲稿共43页第39页，本讲稿共43页第40页，本讲稿共43页四、小结四、小结v本文主要对数学思想和方法进行了简单的分析,加深对数学思想和方法本质的深层次的理解,使在做题和处理数学问题时可以灵活运用相关的数学思想和方法，提高数学素质 第41页，本讲稿共43页参考文献参考文献v1陈彤，陈淑珍，高中代数常用解题方法M,东方出版中心，2003，8,19-21.v2王培德，数学思想应用及探究构建教学M,人民教育出版社，2003,56-78.v3赵小云，叶立军，数学化归思维论M,科学出版社,2005,5-9.v4刘晓玫，谈数学思想方法在数学教育中的作用J,首都师范大学学报，2012第2期.v5马学芝，对数学思想和方法几个问题的探讨J,数学通报，1994第7期.第42页，本讲稿共43页v历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中虽然遇到了无数的困难和障碍，但都在同学和老师的帮助下安然度过。为此，我要强烈感谢我的论文指导老师安立坚老师，他对我论文题目的选定、论文写作和修改进行了无私的指导和帮助。v感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。v 由于本人的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，敬请各位老师和学友批评、指正。第43页，本讲稿共43页
