第一章一阶微分方程的应用精选文档.ppt
第一章一阶微分方程的应用本讲稿第一页，共四十三页1：应用大意 适应范围与变化率有关的各种实际问题 应用三步曲(1)建立模型 Modelling(2)模型求解 Solving(3)模型应用 Application建议:模型要详略得当本讲稿第二页，共四十三页应用一：曲线族的等角轨线设给定一个平面上以 C为参数的曲线族（*）我们设法求出另一个以 k为参数的曲线族（*）使得曲线族（*）中的任一条曲线与曲线族样的曲线族（*）是已知曲线族（*）的（*）中的每一条曲线相交时成定角 则称这等角轨线族。本讲稿第三页，共四十三页当 时，称曲线族（*）是（*）的正交轨线族。例如：曲线族 是曲线族 的正交轨线族。本讲稿第四页，共四十三页本讲稿第五页，共四十三页设 y=y(x)为(C)中任一条曲线，于是存在相应的 C，使得 因为要求x,y,y 的关系，将上式对 x求导数，得(1.84)这样，将上两式联立，即由上述关系式成为曲线族满足的微分方程本讲稿第六页，共四十三页例1 求抛物线族 的正交轨线族。解：对方程两边关于 x求导得由 解出 C代入上式得曲线族 在点 处切线斜率为 本讲稿第七页，共四十三页由于所求曲线族的曲线与 中的曲线在 正交，故满足方程 这是一个变量可分离方程求解得 的正交曲线族为这是一个椭圆，如右图放大此图 图2.16本讲稿第八页，共四十三页本讲稿第九页，共四十三页应用二：雨滴的下落考虑雨滴在高空形成后下落的过程中速度的变化三种不同的假设(1)自由落体运动(2)小阻力的情况(3)大阻力的情况本讲稿第十页，共四十三页(1)自由落体运动 下落过程中没有任何阻力下落过程中没有任何阻力本讲稿第十一页，共四十三页(2)小阻力的情况下落过程中阻力与速度和半径的乘积成比例下落过程中阻力与速度和半径的乘积成比例本讲稿第十二页，共四十三页(3)大阻力的情况下落过程中阻力与速度和半径的乘积平方成比例 下落过程中阻力与速度和半径的乘积平方成比例 本讲稿第十三页，共四十三页三、药物设计医生给病人开处方是必须注意两点：服药的剂量和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生严重不良后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗的效果。本讲稿第十四页，共四十三页一次给药的药时曲线血药浓度 mg/l时间残留期持续期药峰时间潜伏期药峰浓度最低中毒浓度最低有效浓度安全范围转化排泄过程本讲稿第十五页，共四十三页多次给药的药时曲线0 11223 4 5 6血药浓度时间CmaxCmin治疗窗口本讲稿第十六页，共四十三页药物消除类型 1 一级动力学消除（恒比消除）：单位时间内按血药浓度的恒比进行消除。消除速度与血药浓度成正比。若以血药浓度（C）的对数与时间（t）作图，为一直线。本讲稿第十七页，共四十三页2.零级动力学消除（恒量消除）：单位时间内始终以一个恒定的数量进行消除。消除速度与血药浓度无关。本讲稿第十八页，共四十三页是指包括零级和一级动力学消除在内的混合型消除方式。如当药物剂量急剧增加或患者有某些疾病，血浓达饱和时，消除方式则可从一级动力学消除转变为零级动力学消除。如乙醇血浓0.05 mg/ml时，则可转成按零级动力学消除。3 米氏消除动力学（混合型消除）：本讲稿第十九页，共四十三页模型及其数值实现本讲稿第二十页，共四十三页阅读材料:服药问题 医生给病人开处方时必须注明两点 医生给病人开处方时必须注明两点:服药的剂量和服药的剂量和服药的时间间隔服药的时间间隔.超剂量的药品会对身体产生严重超剂量的药品会对身体产生严重不良后果不良后果,甚至死亡甚至死亡,而剂量不足而剂量不足,则不能达到治病则不能达到治病的目的的目的.已知患者服药后已知患者服药后,随时间推移随时间推移,药品在体内逐 药品在体内逐渐被吸收 渐被吸收,发生生化反应发生生化反应,也就是体内药品的浓度逐也就是体内药品的浓度逐渐降低渐降低.药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成 药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比 正比.当服药量为当服药量为A A、服药间隔为、服药间隔为T,T,试分析体内药的浓 试分析体内药的浓度随时间的变化规律 度随时间的变化规律.本讲稿第二十一页，共四十三页本讲稿第二十二页，共四十三页本讲稿第二十三页，共四十三页体内药的浓度随时间的变化规律本讲稿第二十四页，共四十三页Model 3:Population dynamicsIn this section we examine equations of the form y=f(y),called autonomous equations,where the independentvariable t does not appear explicitly.The main purpose of this section is to learn how geometricmethods can be used to obtain qualitative informationdirectly from differential equation without solving it.Simplest model:population growth rate is proportional tocurrent size of the population:Solution:exponential growth):本讲稿第二十五页，共四十三页Model 3:Population dynamicsLogistic Growth An exponential model y=ry,with solution y=ert,predictsunlimited growth,with rate r 0 independent of population.Assuming instead that growth rate depends on populationsize,replace r by a function h(y)to obtain y=h(y)y.We want to choose growth rate h(y)so that h(y)r when y is small,h(y)decreases as y grows larger,and h(y)0.Our differential equation then becomes This equation is known as the Verhulst,or logistic,equation.本讲稿第二十六页，共四十三页 The logistic equation from the previous slide is This equation is often rewritten in the equivalent form where K=r/a.The constant r is called the intrinsic growth rate,and as we will see,K represents the carrying capacity of the population.A direction field for the logisticequation with r=1 and K=10is given here.本讲稿第二十七页，共四十三页Equilibrium solutions of the logistic equation Our logistic equation is Two equilibrium solutions are clearly present:In direction field below,with r=1,K=10,note behavior ofsolutions near equilibrium solutions:y=0 is unstable,y=K=10 is asymptotically stable.本讲稿第二十八页，共四十三页Qualitative analysis of the logistic equation To better understand the nature of solutions to autonomousequations y=f(y),we start by graphing f(y)vs.y.In the case of logistic growth,that means graphing thefollowing function and analyzing its graph using calculus.本讲稿第二十九页，共四十三页Qualitative analysis,critical points The intercepts of f occur at y=0 and y=K,correspondingto the critical points of logistic equation.The vertex of the parabola is(K/2,rK/4),as shown below.本讲稿第三十页，共四十三页Qualitative analysis,increasing/decreasing Note dy/dt 0 for 0 y K,so y is an increasing function oft there(indicate with right arrows along y-axis on 0 y K(indicatewith left arrows along y-axis on y K).In this context the y-axis is often called the phase line.本讲稿第三十一页，共四十三页Qualitative analysis,concavity Next,to examine concavity of y(t),we find y:Thus the graph of y is concave up when f and f have samesign,which occurs when 0 y K.The graph of y is concave down when f and f have oppositesigns,which occurs when K/2 y K.Inflection point occurs at intersection of y and line y=K/2.本讲稿第三十二页，共四十三页Qualitative analysis,curve sketching Combining the information on the previous slides,we have:Graph of y increasing when 0 y K.Slope of y approximately zero when y 0 or y K.Graph of y concave up when 0 y K.Graph of y concave down when K/2 y K.Inflection point when y=K/2.Using this information,we cansketch solution curves y fordifferent initial conditions.本讲稿第三十三页，共四十三页Qualitative analysis,curve sketching Using only the information present in the differential equationand without solving it,we obtained qualitative informationabout the solution y.For example,we know where the graph of y is the steepest,and hence where y changes most rapidly.Also,y tendsasymptotically to the line y=K,for large t.The value of K is known as the carrying capacity,orsaturation level,for the species.Note how solution behavior differsfrom that of exponential equation,and thus the decisive effect ofnonlinear term in logistic equation.本讲稿第三十四页，共四十三页Model 3:Population dynamics Exact solution:separating variables Provided y 0 and y K,we can rewrite the logistic ODE:Expanding the left side using partial fractions,Thus the logistic equation can be rewritten as Integrating the above result,we obtain本讲稿第三十五页，共四十三页Exact solution:resolving for explicit solutionWe have:If 0 y0 K,then 0 y K and henceRewriting,using properties of logs:本讲稿第三十六页，共四十三页Exact solution:resolving for explicit solutionWe have:for 0 y0 K.Also,this solution contains equilibrium solutions y=0 and y=K.Hence solution to logistic equation is本讲稿第三十七页，共四十三页模型预测的动态行为与大量的实验和观测数据吻合本讲稿第三十八页，共四十三页 水的流出问题一横截面积为 A，高为 H 的水池内盛满了水，有池底一横截面积为 B 的小孔放水。设水从小孔流出的速度为，求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间AB水面1水面2本讲稿第三十九页，共四十三页问题分析 从水面1降到水面2所失去的水量等于从小孔流出的水量 容器内水的体积为零 即为容器内水的高度为零建模与求解1）从水面1将到水面2所失去的体积为-在时间内，实际损失的体积是2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为-是水在 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离本讲稿第四十页，共四十三页则两端同除以，并令 取极限得由于可得一阶方程：解为本讲稿第四十一页，共四十三页下面求将水放空的时间 t*令h=0 代入上式得例如,设 A=0.54 m2,B=0.001 m2,H=4.9m,g=9.8m/s2.则将水放空的时间为本讲稿第四十二页，共四十三页作业nP612，3，6本讲稿第四十三页，共四十三页
