条件概率与贝叶斯公式.pptx

会计学1条件概率与贝叶斯公式条件概率与贝叶斯公式 实际中，有时会遇到在某一事件实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条已经发生的条件下，求另一事件件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为发生的概率，称这种概率为A发发生的条件下生的条件下B发生的发生的条件概率条件概率，记为，记为，这种概率，这种概率一般不同于一般不同于 例例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的）还是女是等可能的）？解解 观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空间空间 =(男男,男男)、(男男,女女)、(女女,男男)、(女女,女女)设设A=两个小孩中至少有一个男孩两个小孩中至少有一个男孩，B=两个小孩中两个小孩中至少有一个女孩至少有一个女孩，C=一个男孩子一个女孩一个男孩子一个女孩，从而，从而 第1页/共36页 例例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的）是等可能的）？解解B=(女女,女女),(男男,女女),(女女,男男).显然，显然，P(A)=P(B)=3/4。现在。现在 B 已经发生，已经发生，排除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的排除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的 缩小到现在的缩小到现在的 B=B，而事件相应地缩小到，而事件相应地缩小到 C=(男男,女女)，(女女,男男)，因此，因此A=(男男,男男),(男男,女女),(女女,男男)，C=(男男,女女),(女女,男男).第2页/共36页 定定义义1 设设 A，B为为随随机机试试验验 E 的的两两个个事事件件，且且 P(A)0，则称，则称1.3.1 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式为在事件为在事件 A已发生的条件下，事件已发生的条件下，事件B发生的条件概率发生的条件概率.注：注：条件概率与普通概率有相类似的性质：条件概率与普通概率有相类似的性质：(1)若若 BC，则，则 P(B C)|A)=P(B|A)+P(C|A).第3页/共36页条件概率的性质条件概率的性质1 1 非负性非负性2 2 规范性规范性3 3 可加性可加性其他概率的性质如单调性其他概率的性质如单调性,减法公式减法公式,加法公式等加法公式等条件概率同样具备条件概率同样具备.第4页/共36页 (1)在缩减的样本空间在缩减的样本空间A中求中求B的的概率，就得到概率，就得到P(B|A).(2)在在中中,先求先求P(AB)和和P(A),在按定义计算在按定义计算P(B|A)计算条件概率有两种方法计算条件概率有两种方法:第5页/共36页 例例2 设设试试验验E为为掷掷两两颗颗骰骰子子，观观察察出出现现的的点点数数。用用B表表示示事事件件“两两颗颗骰骰子子的的点点数数相相等等”，用用A表表示示事事件件“两颗骰子的点数之和为两颗骰子的点数之和为4”，求，求 解一解一 以以(i,j)表示两颗骰子的点数，则样本空表示两颗骰子的点数，则样本空间间于是所求概率为于是所求概率为一共有一共有36个事件。且个事件。且B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).A=(1,3),(2,2),(3,1)，第6页/共36页 例例2 设设试试验验E为为掷掷两两颗颗骰骰子子，观观察察出出现现的的点点数数。用用B表表示示事事件件“两两颗颗骰骰子子的的点点数数相相等等”，用用A表表示示事事件件“两颗骰子的点数之和为两颗骰子的点数之和为4”，求，求 解二解二 当当B发生时，样本空间缩减为发生时，样本空间缩减为于是，于是，在新样本空间在新样本空间B中，中，当当于是，于是，在新样本空间在新样本空间发生时，样本空间缩减为发生时，样本空间缩减为第7页/共36页 例例 设设某某种种动动物物由由出出生生后后活活到到20岁岁的的概概率率为为0.8，活活到到25岁岁的的概概率率为为0.4，求求现现龄龄为为20岁岁的的这这种种动动物物活活到到25岁的概率？岁的概率？解解 设设A=活到活到20岁岁，B=活到活到25岁岁，则则P(A)=0.8,P(B)=0.4.于是所求概率为于是所求概率为由于由于A B，有，有AB=B，因此，因此P(AB)=P(B)=0.4，第8页/共36页 例例 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为别为20%和和18%，两地同时下雨的比例为，两地同时下雨的比例为12%，求：，求：（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.解解 设设A=甲市是雨天甲市是雨天，B=乙市是雨天乙市是雨天，P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(AB)=0.12，则则第9页/共36页 例例 一盒中混有一盒中混有100100只新只新 ,旧乒乓球，各有红、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红红白白新新4030旧旧2010设设 A=“从盒中随机取到一只红球从盒中随机取到一只红球”B=“从盒中随机取到一只新球从盒中随机取到一只新球”解解:或或第10页/共36页定理定理1.3.1 乘法公乘法公式式若若(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)推广推广 若若P(A1 A2 An-1)0，则，则 P(A1 A2 An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)P(An A1 A2 An-1).若若(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A)乘法公式乘法公式还可推广到三个事件的情形：还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).上面两式都称为上面两式都称为乘法公式乘法公式，利用它们可以计算两，利用它们可以计算两个事件同时发生的概率个事件同时发生的概率.第11页/共36页 例例 一袋中装有一袋中装有10个球，其中个球，其中3个黑球，个黑球，7个白球，个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）先后两次从袋中各取一球（不放回）(1)已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的概率；的概率；(2)已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的概率。的概率。解解 设设 Ai=“第第 i 次取到的是黑球次取到的是黑球”(i=1,2)(2)由由于于第12页/共36页 例例 一袋中装有一袋中装有10个球，其中个球，其中3个黑球，个黑球，7个白球，个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）先后两次从袋中各取一球（不放回）(1)已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的概率；的概率；(2)已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的概率。的概率。解解 设设 Ai=“第第 i 次取到的是黑球次取到的是黑球”(i=1,2)所以所以(2)由由于于第13页/共36页 例例 一袋中装有一袋中装有a只白球，只白球，b只黑球，每次任取一只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进球，取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率 解解 设设A=三次取出的均为黑球三次取出的均为黑球，Ai=第第i次取次取出的是黑球出的是黑球，i=1,2,3，则有，则有 A=A1 A2 A3由题意得由题意得故故 第14页/共36页 该摸球模型称为卜里耶（该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型上述概）模型上述概率显然满足不等式率显然满足不等式 P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大所以，卜里耶模型常常被用作描述可能性就比较大所以，卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型传染病传播或地震发生的数学模型第15页/共36页 引例：引例：设甲盒有设甲盒有3个白球，个白球，2个红球，乙盒有个红球，乙盒有4个白个白球，球，1个红球，现从甲盒任取个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒球放入乙盒，再从乙盒任取任取2球，求从乙盒取出球，求从乙盒取出2个红球的概率个红球的概率 解解 设设A1从甲盒取出从甲盒取出2个红球个红球;A2 从甲盒取出从甲盒取出2个白球个白球;A3从甲盒取出从甲盒取出1个白球个白球1个红球个红球;B=从乙盒从乙盒取出取出2个红球个红球;则则 A1,A2,A3 两两互斥两两互斥,且且A1 A2 A3 ,所以所以 B=B(A1 A2 A3)B A1B A2B A3B,P(B)=P(A1B A2B A3B)=P(A1B)P(A2B)P(A3B)=P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式第16页/共36页 引例：引例：设甲盒有设甲盒有3个白球，个白球，2个红球，乙盒有个红球，乙盒有4个白个白球，球，1个红球，现从甲盒任取个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒球放入乙盒，再从乙盒任取任取2球，求从乙盒取出球，求从乙盒取出2个红球的概率个红球的概率 解解 B=B(A1 A2 A3)B A1B A2B A3B,P(B)=P(A1B A2B A3B)=P(A1B)P(A2B)P(A3B)=P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)思考：这种解法是否可一般化？思考：这种解法是否可一般化？1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式第17页/共36页 定义定义1.3.2 设事件设事件1,2,n为样本空间为样本空间 的一组事件。的一组事件。如果如果(1)Ai Aj=（ij）;则称则称1，2，n为样本空间为样本空间 的一个的一个划分划分。1.完备事件组（样本空间的一个划分）完备事件组（样本空间的一个划分）(2)A1A2A3An 例如上例中的例如上例中的 1从甲盒取出从甲盒取出 2 个白球，个白球，2从甲盒取出从甲盒取出 2 个红球，个红球，3从甲盒取出从甲盒取出 1 个白球个白球 1 个红球，个红球，就构成了一个完备事件组。就构成了一个完备事件组。第18页/共36页2.全概率公式全概率公式 定理定理 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为，设事件设事件A1,A2,An为样本空间为样本空间的一个划分，且的一个划分，且 P(Ai)0(i=1,2,n).则对任意事件则对任意事件B，有，有A1A2A3AnB证明证明 因为因为Ai Aj=(ij)按概率的可加性及乘法公式有按概率的可加性及乘法公式有第19页/共36页 例例 设袋中有设袋中有12个球个球,9个新球个新球,3个旧球个旧球.第一次比第一次比赛取赛取3球球,比赛后放回比赛后放回,第二次比赛再任取第二次比赛再任取3球球,求第二次求第二次比赛取得比赛取得3个新球的概率个新球的概率.3.全概率公式的应全概率公式的应用用 如果试验如果试验E有两个相关的试验有两个相关的试验E1，E2复合而成，复合而成，E1有若干种可能的结果，有若干种可能的结果，E2在在E1的基础上也有若干种的基础上也有若干种可能的结果，如果求和可能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可的结果有关事件的概率，可以用全概率公式试验以用全概率公式试验E的几种可能的结果就构成了的几种可能的结果就构成了完备事件组。完备事件组。解解 Ai=第一次比赛恰取出第一次比赛恰取出i个新球（个新球（i=0,1,2,3)；B=求第二次比赛取得求第二次比赛取得3个新球个新球显然显然A0,A1,A2,A3构成一个完备事件组，由全概率公式构成一个完备事件组，由全概率公式得：得：第20页/共36页 例例 设袋中有设袋中有12个球个球,9个新球个新球,3个旧球个旧球.第一次比第一次比赛取赛取3球球,比赛后放回比赛后放回,第二次比赛再任取第二次比赛再任取3球球,求第二次求第二次比赛取得比赛取得3个新球的概率个新球的概率.3.全概率公式的应全概率公式的应用用 如果试验如果试验E有两个相关的试验有两个相关的试验E1，E2复合而成，复合而成，E1有若干种可能的结果，有若干种可能的结果，E2在在E1的基础上也有若干种的基础上也有若干种可能的结果，如果求和可能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可的结果有关事件的概率，可以用全概率公式试验以用全概率公式试验E的几种可能的结果就构成了的几种可能的结果就构成了完备事件组。完备事件组。解解第21页/共36页 例例1 播种用的一等小麦种子中混有播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，的二等种子，1.5%的三等种子，的三等种子，1%的四等种子，的四等种子，用一等、二等、三用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含等、四等种子长出的穗含 50 颗以上麦粒的概率分别为颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有，求这批种子所结的穗含有50颗颗以上麦粒的概率。以上麦粒的概率。解解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为四等种子的事件分别为B1，B2，B3，B4，则它们构成样，则它们构成样本空间的一个划分，本空间的一个划分，用用A表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有的穗含有50粒以上麦粒的事件，则由全概率公式粒以上麦粒的事件，则由全概率公式 第22页/共36页 练习练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他迟到的概率；求他迟到的概率 解解 设设A1他乘火车来，他乘火车来，A2他乘船来，他乘船来，A3他他乘汽车来，乘汽车来，A4他乘飞机来，他乘飞机来，B它迟到。它迟到。易见：易见：A1,A2,A3,A4构成一个完备事件组，由全构成一个完备事件组，由全概率公式得概率公式得=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40=0.145。第23页/共36页 练习练习2 两台机床加工同样的零件，第一台的废品两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为率为0.04，第二台的废品率为，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？现任取一零件，问是合格品的概率为多少？解解 令令B=取到的零件为合格品，取到的零件为合格品，Ai=零件为第零件为第i台机台机床的产品床的产品,i=1,2.此时此时,全部的零件构成样本空间全部的零件构成样本空间，A1,A2构成构成的一个划分。由全概率公式得的一个划分。由全概率公式得:第24页/共36页乘法公式是求乘法公式是求“几个事件同时发几个事件同时发生生”的概率；的概率；全概率公式是求全概率公式是求“最后结果最后结果”的的概率；概率；贝叶斯公式是已知贝叶斯公式是已知“最后结果最后结果”，求，求“原因原因”的概率的概率.贝叶斯公式贝叶斯公式第25页/共36页 1.引例引例 设甲盒有设甲盒有3个白球，个白球，2个红球，乙盒有个红球，乙盒有4个白球，个白球，1个红球，现从甲盒任取个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求乙盒任取两球，求 (1)从乙盒取出从乙盒取出2个红球的概率个红球的概率;(2)已知从乙盒取出已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。红球的概率。解解 (1)设设A1=从甲盒取出从甲盒取出2个红球，个红球，A2=从甲盒取出从甲盒取出2个白球；个白球；A3从甲盒取出从甲盒取出1个白球个白球1个红球个红球；B=从乙从乙盒取出盒取出2个红球；个红球；则则A1,A2,A3 两两互斥，且两两互斥，且A1+A2+A3=,所以所以 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)第26页/共36页 1.引例引例 设甲盒有设甲盒有3个白球，个白球，2个红球，乙盒有个红球，乙盒有4个白球，个白球，1个红球，现从甲盒任取个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求乙盒任取两球，求 (1)从乙盒取出从乙盒取出2个红球的概率个红球的概率;(2)已知从乙盒取出已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。红球的概率。解解 (1)设设A1=从甲盒取出从甲盒取出2个红球，个红球，A2=从甲盒取出从甲盒取出2个白球；个白球；A3从甲盒取出从甲盒取出1个白球个白球1个红球个红球；B=从乙从乙盒取出盒取出2个红球；个红球；(2)P(A1|B)第27页/共36页1.贝叶斯公式贝叶斯公式 定理定理 设设A1，A2，An为样本空间为样本空间的一个划分，的一个划分，且且 P(Ai)0（i=1,2,n），则对于任何一事件），则对于任何一事件B(P(B)0),有有事实上，由条件概率的定义及全概率公式事实上，由条件概率的定义及全概率公式第28页/共36页1.贝叶斯公式贝叶斯公式 定理定理 设设A1，A2，An为样本空间为样本空间的一个划分，的一个划分，且且 P(Ai)0（i=1,2,n），则对于任何一事件），则对于任何一事件B(P(B)0),有有于是于是事实上，由条件概率的定义及全概率公式事实上，由条件概率的定义及全概率公式第29页/共36页2.贝叶斯公式的应用贝叶斯公式的应用 (1)如果试验如果试验E有两个相关的试验有两个相关的试验E1，E2复合而复合而成，成，E1有若干种可能的结果，有若干种可能的结果，E2在在E1的基础上也有若的基础上也有若干种可能的结果，如果已知和干种可能的结果，如果已知和E2的结果有关某事件发的结果有关某事件发生了，求和试验生了，求和试验E1的结果有关事件的概率，可以用贝的结果有关事件的概率，可以用贝叶斯公式试验叶斯公式试验E1的几种可能的结果就构成了完备事的几种可能的结果就构成了完备事件组。件组。(2)如果把样本空间的一个划分如果把样本空间的一个划分A1,A2,An看作是导致事件看作是导致事件B发生的各种原因，如果发生的各种原因，如果B发生了，发生了，求求P(Aj|B)可以用贝叶斯公式可以用贝叶斯公式。第30页/共36页 例例1 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率，若第一次及格则第二次及格的概率也为也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为；若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解解 记记Ai=该学生第该学生第i次考试及格次考试及格，i=1,2显然为显然为样本空间的一个划分，且已知样本空间的一个划分，且已知 于是，由全概率公式得于是，由全概率公式得 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 第31页/共36页 例例2 对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，而当机器发生某一故障时，其合格率为其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为的概率为75%，试求某日早上第一件产品是合格时，机，试求某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率。器调整得良好的概率。解解 设设 A1=机器调整良好机器调整良好,A2=机器调整不好机器调整不好,B=产品合格，已知产品合格，已知P(A1)=0.75，P(A2)=0.25；P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.3需要求需要求的概率为的概率为P(A1|B)。由贝叶斯公式。由贝叶斯公式第32页/共36页 例例2 对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，而当机器发生某一故障时，其合格率为其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为的概率为75%，试求某日早上第一件产品是合格时，机，试求某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率。器调整得良好的概率。解解P(A1),P(A2)通常称为通常称为验前概率验前概率。P(A1|B),P(A2|B)通常称为通常称为 验后概率验后概率。第33页/共36页 例例3 某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，97%的患者检验结果为阳性，的患者检验结果为阳性，95%的未患病者检验结果为阴性，设该的未患病者检验结果为阴性，设该病的发病率为病的发病率为0.4%现有某人的检验结果为阳性，问他确实患病现有某人的检验结果为阳性，问他确实患病的概率是多少？的概率是多少？得到得到由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 解解 记记B为检验结果是阳性，则为检验结果是阳性，则 为检验结果是阴性，为检验结果是阴性，A表示患表示患有该病，则有该病，则 为未患该病由题意为未患该病由题意 第34页/共36页 例例数数字字通通讯讯过过程程中中，信信源源发发出出0、1两两种种状状态态信信号号，其其中中发发0的的信信号号概概率率为为0.55，发发1的的信信号号概概率率为为0.45。由由于于信信道道中中存存在在干干扰扰，在在发发0的的信信号号时时候候，接接收收端端分分别别以以概概率率0.9、0.05和和0.05接接收收为为0、1和和“不不清清”。在在发发1的的信信号号时时候候，接接收收端端分分别别以以概概率率0.85、0.05和和0.1接接收收为为1、0和和“不不清清”。现现接接收收端接收到一个端接收到一个“1”的信号。问发端发的是的信号。问发端发的是0的概率是多少的概率是多少?解解：设设A=“发发射射端端发发出出0”，B=“接接收收端端接接收收到到一一个个“1”的的信信号号”0 0 1 1 不不清清0(0.55)(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)1 1 0 0 不不清清(0.85)(0.05)(0.1)第35页/共36页