第7章二阶电路精选文档.ppt

第7章二阶电路本讲稿第一页，共六十八页7.1 LC电路中的正弦震荡电路中的正弦震荡 当电路中包含有两个独立的动态元件时，描述电路当电路中包含有两个独立的动态元件时，描述电路的方程是二阶线性常系数微分方程。在二阶电路中，的方程是二阶线性常系数微分方程。在二阶电路中，给定的初始条件有两个，它们由储能元件的初始值决给定的初始条件有两个，它们由储能元件的初始值决定。定。如果两个独立的动态元件是一个如果两个独立的动态元件是一个LC回路，储能将不断回路，储能将不断地在地在L和和C（电场和磁场）之间往返，形成（电场和磁场）之间往返，形成LC回路中的正弦回路中的正弦等幅振荡。等幅振荡。本讲稿第二页，共六十八页本讲稿第三页，共六十八页7.2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应7.2.1 电路和方程电路和方程7.2.2 过阻尼过阻尼(over damped)情况情况7.2.3 临界阻尼临界阻尼(critically damped)情况情况7.2.4 欠阻尼欠阻尼(under damped)情况情况7.2.5 零阻尼情况零阻尼情况7.2.6 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应本讲稿第四页，共六十八页7.2.1 电路和方程电路和方程 如图所示，电路中无电如图所示，电路中无电源，电路响应为零输入源，电路响应为零输入响应响应有以下三种初始状态情况有以下三种初始状态情况：下面仅以第一种情况为例讨论该电路的零输入响应。下面仅以第一种情况为例讨论该电路的零输入响应。一一.定性分析定性分析本讲稿第五页，共六十八页由由KVL，有，有代入电容的代入电容的VAR得微分方程：得微分方程：二二.数学分析数学分析本讲稿第六页，共六十八页初始条件为：初始条件为：可求得特征根：可求得特征根：（1）式特征方程为）式特征方程为本讲稿第七页，共六十八页1、当当 时，即时，即 时，时，S S1 1、S S2 2 为两个不相等的负实根，其响应形式为为两个不相等的负实根，其响应形式为：根据两特征根的形式，响应可分为四种：根据两特征根的形式，响应可分为四种：称为过阻尼称为过阻尼本讲稿第八页，共六十八页2 2、当、当 时时,S,S1 1、S S2 2 为两相等的负实根，为两相等的负实根，其响应为：其响应为：称为临界阻尼称为临界阻尼为临界电阻为临界电阻本讲稿第九页，共六十八页3 3、当当 时，即时，即 时，时，S S1 1、S S2 2 为一对共轭复根：称为欠阻尼。则响应形式为为一对共轭复根：称为欠阻尼。则响应形式为式中：式中：；;本讲稿第十页，共六十八页4 4、当当R=0R=0时，即时，即 0 0时，时，S S1 1、S S2 2 为一对共轭虚根：为一对共轭虚根：称为无阻尼。则响应形式为称为无阻尼。则响应形式为本讲稿第十一页，共六十八页7.2.2 过阻尼过阻尼(overdamped)情况情况特征根为两个不相等的负实根，特征根为两个不相等的负实根，令令其中其中显然有显然有本讲稿第十二页，共六十八页（1）式通解为：）式通解为：上式求导，得：上式求导，得：初始条件代入（初始条件代入（3）、（）、（4）式，得：）式，得：本讲稿第十三页，共六十八页由（由（5）式求得）式求得代入（代入（3）得方程（）得方程（1）满足初始条件的解为：）满足初始条件的解为：进一步求得：进一步求得：本讲稿第十四页，共六十八页结果分析：结果分析：(2)(3)令令 diL/dt=0,求得求得 iL 的极值点的极值点(1)且且uc(t)单调下降单调下降本讲稿第十五页，共六十八页(4)过渡过程的能量情况如过渡过程的能量情况如下图所示：下图所示：(5)过阻尼情况下，电路具有非振荡的过渡过程。过阻尼情况下，电路具有非振荡的过渡过程。电压和电流表达式中，特征根电压和电流表达式中，特征根 s1=-1 对应项对应项 在在过渡过程中起主要作用。过渡过程中起主要作用。本讲稿第十六页，共六十八页7.2.3 临界阻尼临界阻尼(critically damped)情况情况特征根为两个相等的负实根：特征根为两个相等的负实根：（1）式通解为：）式通解为：上式求导，得：上式求导，得：本讲稿第十七页，共六十八页初始条件代入（初始条件代入（6）、（）、（7）式，求得：）式，求得：代入（代入（6）式得微分方程（）式得微分方程（1）满足初始条件的解为：）满足初始条件的解为：分析可知，分析可知，uc、iL 波形图与过阻尼情况类似。波形图与过阻尼情况类似。本讲稿第十八页，共六十八页7.2.4 欠阻尼欠阻尼(underdamped)情况情况特征根为一对共轭复根：特征根为一对共轭复根：其中其中本讲稿第十九页，共六十八页可设（可设（1）式通解为：）式通解为：上式求导，得：上式求导，得：初始条件代入（初始条件代入（8）、（）、（9）式，得：）式，得：本讲稿第二十页，共六十八页由（由（10）式求得）式求得其中、d、0及及 的关系如下图所示：的关系如下图所示：d0 本讲稿第二十一页，共六十八页方程（方程（1）满足初始条件的解为：）满足初始条件的解为：进一步求得：进一步求得：本讲稿第二十二页，共六十八页分析分析：(1)(1)u uc c 和和 i iL L 均是幅值按指数规律衰减的正弦函数。均是幅值按指数规律衰减的正弦函数。(2)(2)(3)(3)u uc c 的过零点为的过零点为i iL L 的过零点为的过零点为d0 本讲稿第二十三页，共六十八页由由可求得可求得 i iL L的极值点为的极值点为(4)(4)u uc c 的过零点即的过零点即 i iL L的极值点的极值点。本讲稿第二十四页，共六十八页结果分析结果分析*过渡过程中电场和磁场能量相互转换，由于耗能电阻的过渡过程中电场和磁场能量相互转换，由于耗能电阻的存在，总能量逐渐减少。存在，总能量逐渐减少。C 放能L 吸能R 耗能放能放能耗能吸能放能耗能本讲稿第二十五页，共六十八页*欠阻尼情况下，电路具有阻尼振荡欠阻尼情况下，电路具有阻尼振荡(damped oscillation)(damped oscillation)或衰减振荡的过渡过程。由或衰减振荡的过渡过程。由 可知可知u uc c(t)(t)和和i iL L的包络线函数分别为的包络线函数分别为称称 为衰减系数，为衰减系数，越大，则电压和电流越大，则电压和电流衰减越快；衰减越快；称称 d d 为衰减振荡角频率，为衰减振荡角频率，d d 越大，则电压和电流振越大，则电压和电流振荡越剧烈。荡越剧烈。本讲稿第二十六页，共六十八页*由可知，若电路中可知，若电路中L L、C C一定，则一定，则R R越小，越小，就越小，就越小，d d 就越大。电路过渡过程的振荡性就会越强，就越大。电路过渡过程的振荡性就会越强，过渡过程时间也会越长。过渡过程时间也会越长。可以想象，若可以想象，若R=0R=0，则过，则过渡过程会无休止地进行下去。渡过程会无休止地进行下去。本讲稿第二十七页，共六十八页7.2.5 零阻尼情况零阻尼情况特征根为一对共轭虚根：特征根为一对共轭虚根：（相当于欠阻尼情况下（相当于欠阻尼情况下 =0、d=0、=0。）。）本讲稿第二十八页，共六十八页利用欠阻尼情况的分析结果，得：利用欠阻尼情况的分析结果，得：零阻尼情况下，电路响应为等幅振荡的正弦函数，零阻尼情况下，电路响应为等幅振荡的正弦函数，0 0称为称为无阻尼振荡角频率。电场和磁场不断进行着完全的能无阻尼振荡角频率。电场和磁场不断进行着完全的能量交换，但总能量并不减少，任一时刻的电路总能量都等量交换，但总能量并不减少，任一时刻的电路总能量都等于电路的初始储能。因振荡仅由电路的初始储能所产生，于电路的初始储能。因振荡仅由电路的初始储能所产生，故称为自由振荡。故称为自由振荡。本讲稿第二十九页，共六十八页无阻尼无阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼临界阻尼临界阻尼本讲稿第三十页，共六十八页本讲稿第三十一页，共六十八页电路所示如图，电路所示如图，t=0 时打开开时打开开关。求关。求:电容电压电容电压uC ,并画波形并画波形图。图。解解:(1)uc(0-)=25V iL(0-)=5A 特征方程为特征方程为 50s2+2500s+106=0例例:5F2010100.5H10050V+-uc+-iL520101050V+-iL+uC-0-电路电路25V201010+-5AiC0+电路电路(2)uc(0+)=25V iC(0+)=-5A本讲稿第三十二页，共六十八页201010+-uCLCt 0 电路电路(4)由由本讲稿第三十三页，共六十八页uC t035825本讲稿第三十四页，共六十八页例：例：判断如图所示电路，是过阻尼情况还是欠判断如图所示电路，是过阻尼情况还是欠 阻尼情况。阻尼情况。解：解：由由KVL可知可知由由KCL知知则则本讲稿第三十五页，共六十八页而而将式将式(2)和式和式(3)代入式代入式(1)得电路的二阶微分方程得电路的二阶微分方程其特征方程为其特征方程为本讲稿第三十六页，共六十八页特征根为特征根为因因 ，电路为过阻尼情况。，电路为过阻尼情况。本讲稿第三十七页，共六十八页左图为有源左图为有源RC振荡电路，振荡电路，讨论讨论k取不同值时取不同值时u2的零的零输入响应。输入响应。节点节点A列写列写KCL有：有：KVL有：有：例例:u2u1ku1 1i2i3i1 1RCRCA+本讲稿第三十八页，共六十八页特征方程特征方程特征根特征根（1）整理得：整理得：本讲稿第三十九页，共六十八页1 k 0衰减振荡衰减振荡3 k 5 00时电容电压的零状态响应。时电容电压的零状态响应。解：解：t t00时，时，(t t)=1V)=1V，可以作为直流激励处理。首先计算，可以作为直流激励处理。首先计算 电路的固有频率电路的固有频率 本讲稿第四十七页，共六十八页 根据这两个固有频率根据这两个固有频率s s1 1=-3+j4=-3+j4和和s s2 2=-3-j4=-3-j4，可以得到全响应的，可以得到全响应的表达式为表达式为 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值u uC C(0)=0(0)=0和电感电流的初始值和电感电流的初始值i iL L(0)=0(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程 本讲稿第四十八页，共六十八页 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K K1 1-1-1和和K K2 2-0.75-0.75，得到电容电，得到电容电压的零状态响应压的零状态响应 可以画出电容电压和电感电流零状态响应的波形为：可以画出电容电压和电感电流零状态响应的波形为：本讲稿第四十九页，共六十八页注：图注：图(c)和和(d)表示当电阻由表示当电阻由R=6减小到减小到R=1，衰减系数由，衰减系数由3变为变为0.5时的电时的电 容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。本讲稿第五十页，共六十八页例例:电路如图所示。已知电路如图所示。已知 R R=4=4，L L=1H=1H，C C=1/3F=1/3F，u uS S(t t)=2V)=2V，u uC C(0)=6V(0)=6V，i iL L(0)=4A(0)=4A。求。求t t00时，时，电容电容电压和电感电流的响应。电压和电感电流的响应。解：解：先计算固有频率先计算固有频率本讲稿第五十一页，共六十八页这是两个不相等的负实根，其通解为这是两个不相等的负实根，其通解为 特解为特解为 全响应为全响应为 利用初始条件得到利用初始条件得到 本讲稿第五十二页，共六十八页联立求解以上两个方程得到联立求解以上两个方程得到 最后得到电容电压和电感电流的全响应最后得到电容电压和电感电流的全响应 本讲稿第五十三页，共六十八页求电流求电流 i 的零状态响应。的零状态响应。i1=i 0.5 u1=i 0.5(2 i)2=2i 2由由KVL：整理得：整理得：首先写微分方程首先写微分方程解：解：2-ii1例：例：+u1 1-0.5u1221/6F1HS222Ai本讲稿第五十四页，共六十八页特征根为：特征根为：P1=2 ，P2=6解答形式为：解答形式为：第三步求特解第三步求特解 i由稳态模型有：由稳态模型有：i=0.5 u1u1=2(20.5u1)i=1Au1=2第二步求通解第二步求通解稳态模型稳态模型+u1-2i2A0.5u12本讲稿第五十五页，共六十八页第四步定常数第四步定常数由由0+电路模型：电路模型：+u1-0.5u12W1/6F1Hk2W2W2Ai+u1-0.5u12W2W+2A-uL(0+)本讲稿第五十六页，共六十八页第七章第七章 二阶电路二阶电路7.1 LC电路中的正弦震荡电路中的正弦震荡7.2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应7.3 直流直流RLC串联电路的全响应串联电路的全响应7.4 GLC并联电路的分析并联电路的分析本讲稿第五十七页，共六十八页7.3 GCL并联电路分析并联电路分析它是它是RLCRLC串联电路的对偶电路串联电路的对偶电路,二阶微分方程为：二阶微分方程为：IsGCLiL特征根：特征根：本讲稿第五十八页，共六十八页响应形式：响应形式：2 2、G G ，临界阻尼。，临界阻尼。3 3、G ,G ,G ,为过阻尼。为过阻尼。本讲稿第五十九页，共六十八页已知：已知：iL(0-)=2A uC(0-)=0求求：iL,iR(1)列微分方程列微分方程(2)求特解求特解解：解：RiR-50 V50 100F0.5H+iLiC例：例：应用结点法：应用结点法：本讲稿第六十页，共六十八页(3)求通解求通解特征根为：特征根为：P=-100 j100(4)定常数定常数特征方程为：特征方程为：本讲稿第六十一页，共六十八页(5)求求iR或设解答形式为：或设解答形式为：定常数定常数RiR-50 V50 100F0.5H+iLiCRiR-50V50+iC2A本讲稿第六十二页，共六十八页本讲稿第六十三页，共六十八页 i1=i -0.5 u1=i-0.5 2(2-i)=2i-2由由KVL整理得：整理得：二阶非齐次常微分方程二阶非齐次常微分方程解：解：第一步列写微分方程第一步列写微分方程2-ii1+u1 1-0.5 u1 12 1/6F F1Hk2 222A i例：例：t=0时时,k断开，求电流断开，求电流i的全响应。的全响应。本讲稿第六十四页，共六十八页第二步求通解第二步求通解i s1=-2 ，s2=-6解答形式为：解答形式为：稳态模型稳态模型s2+8s+12=0+u1 1-0.5u1 12222i2A第三步求特解第三步求特解 i”i=0.5 u1u1=2(2-0.5u1)u1=2Vi()=1A本讲稿第六十五页，共六十八页第四步求初值第四步求初值0+电路模型：电路模型：0.5 u+u1 1-1 12 2 2A+uL L-本讲稿第六十六页，共六十八页第五步定常数第五步定常数本讲稿第六十七页，共六十八页作业：作业：P262:7-3、7-6、7-7 P263:7-8 本讲稿第六十八页，共六十八页