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大地测量学基础第1页，本讲稿共16页2-3 2-3 偶然误差的规律性偶然误差的规律性一、真值与真误差一、真值与真误差 1.1.真值真值 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值，这一数值就称为该观测量的真值。通常观测量的真值表示为：2.2.真误差真误差 设进行了n次观测，各观测值为L L1 1、L L2 2、L Ln n，其相应真值为：，则每一个观测值的真值与观测值之间必然存在一个差数，称为真误差，即若用向量表示为：若用向量表示为：若用向量表示为：若用向量表示为：则：则：则：则：(2-3-1(2-3-1）(2-3-3(2-3-3）注：若不考虑系统误差注：若不考虑系统误差注：若不考虑系统误差注：若不考虑系统误差(2-3-2(2-3-2）第2页，本讲稿共16页 二、偶然误差的特性二、偶然误差的特性例例1 1：在：在相同的条件下相同的条件下独立独立观测了观测了358358个三角形的全部内角，每个三角形内角之个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于和应等于180180度，但由于误差的影响往往不等于度，但由于误差的影响往往不等于180180度，按度，按计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.20.2秒进行统计。秒进行统计。误误 差差区区 间间+个数个数n ni i频率频率n ni i/n n(n ni i/n n)/d d个数个数n ni i频率频率n ni i/n n(n ni i/n n)/d)/d0.000.000.200.2045450.1260.1260.6300.63046460.1280.1280.6400.6400.200.200.400.4040400.1120.1120.5600.56041410.1150.1150.5750.5750.400.400.600.6033330.0920.0920.4600.46033330.0920.0920.4600.4600.600.600.800.8023230.0640.0640.3200.32021210.0590.0590.2950.2950.800.801.001.0017170.0470.0470.2350.23516160.0450.0450.2250.2251.001.001.201.2013130.0360.0360.1800.18013130.0360.0360.1800.1801.201.201.401.406 60.0170.0170.0850.0855 50.0140.0140.0700.0701.401.401.601.604 40.0110.0110.0550.0552 20.0060.0060.0300.0301.601.600 00 00 00 00 00 0和和1811810.5050.5051771770.4950.4951.1.表格法：表格法：见图见图第3页，本讲稿共16页例例2 2：在相同的条件下独立观测了：在相同的条件下独立观测了421421个三角形的全部内角，每个三角形内角个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于之和应等于180180度，但由于误差的影响往往不等于度，但由于误差的影响往往不等于180180度，按度，按计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.20.2秒进行统计。秒进行统计。误误 差差区区 间间+个数个数n ni i频率频率n ni i/n n(n ni i/n)/d/n)/d个数个数n ni i频率频率n ni i/n n(n ni i/n n)/d)/d0.000.000.200.2040400.0950.0950.4750.47537370.0880.0880.4400.4400.200.200.400.4034340.0810.0810.4050.40536360.0850.0850.4250.4250.400.400.600.6031310.0740.0740.3700.37029290.0690.0690.3450.3450.600.600.800.8025250.0590.0590.2950.29527270.0640.0640.3200.3200.800.801.001.0020200.0480.0480.2400.24018180.0430.0430.2150.2151.001.001.201.2016160.0380.0380.1900.19017170.0400.0400.2000.200.2.402.402.602.601 10.0020.0020.0100.0102 20.0050.0050.0250.0252.602.600 00 00 00 00 00 0和和2102100.4990.4992112110.5010.501第4页，本讲稿共16页(n ni i/n n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差概率密度函数曲线概率密度函数曲线2.2.直方图法：直方图法：面积面积=(ni/n)/d*d=ni/n所有面积之和所有面积之和=n1/n+n1/n+.=1d见表见表第5页，本讲稿共16页 (ni/n)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差0.630 (ni/n)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差0.475 (ni/n)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差结论：结论：观测值一定，其分观测值一定，其分布也就确定，因此一组观布也就确定，因此一组观测值对应相同的分布。不测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是但其极限分布均是正态分正态分布布。d d d 例例1 1 直方图：直方图：例例2 2 直方图：直方图：第6页，本讲稿共16页在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；（不会超过一定的界限；（有界性有界性）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；（多；（聚中性聚中性）绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；（对称性对称性）当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零，于零，即Limni=1nni=Limnn=03.3.偶然误差的特性：偶然误差的特性：返回返回第7页，本讲稿共16页2-4 2-4 衡量精度的指标衡量精度的指标精度精度：所谓精度是指所谓精度是指偶然误差偶然误差分布的密集离散程度。分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。注意：注意：一组观测值具有相同的分布，一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。但偶然误差各不相同。第8页，本讲稿共16页 (ni/n)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差0.630 (ni/n)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差0.475d d 例例1 1 直方图：直方图：例例2 2 直方图：直方图：(ni/n)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差d 显而易见：显而易见：例例1 1的误差分布曲线较高的误差分布曲线较高且陡峭，精度高；且陡峭，精度高；例例2 2的误差分布曲线较低的误差分布曲线较低且平缓，精度低。且平缓，精度低。特别提示特别提示：第9页，本讲稿共16页一、方差与中误差一、方差与中误差1.1.方差：方差：2.2.中误差（标准差）：中误差（标准差）：结论：结论：越小，误差越小，误差曲线越陡峭，误差分曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。布越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。(ni/n)/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差闭合差d 第10页，本讲稿共16页3.3.方差方差与中误差的计算：方差方差与中误差的计算：注意：这里的注意：这里的 n n 是有限次观测！是有限次观测！第11页，本讲稿共16页二、平均误差二、平均误差1.1.定义：定义：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望，称为平均误差，即值的数学期望，称为平均误差，即2.2.平均误差与中误差的关系：平均误差与中误差的关系：3.3.平均误差的计算：平均误差的计算：第12页，本讲稿共16页三、或然误差三、或然误差 f()0闭合差闭合差50%1/21/21.1.定义：定义：若误差出现在若误差出现在 之之间的概率等于间的概率等于 ，即，即 则称则称则称则称 为或然误差。为或然误差。为或然误差。为或然误差。2.2.或然误差与中误差的关系：或然误差与中误差的关系：3.3.或然误差的计算：或然误差的计算：实用上只能得到的实用上只能得到的估值：估值：估值：估值：将相同观测条件下得到的一组误差将相同观测条件下得到的一组误差按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为为 ；当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为；当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为 。在实。在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差。用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差。第13页，本讲稿共16页四、极限误差四、极限误差五、相对误差五、相对误差中误差与观测值之比，称为相对误差，一般用中误差与观测值之比，称为相对误差，一般用1/N1/N表示。表示。返回返回例例2-1 2-1 观测了两段距离，分别为观测了两段距离，分别为1000m2cm1000m2cm和和500m2cm500m2cm。问：这两段。问：这两段距离的真误差是否相等？精度是否相同？它们的相对精度是否相同？距离的真误差是否相等？精度是否相同？它们的相对精度是否相同？答答 ：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相同的，中误差：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相同的，中误差均为均为2cm2cm。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为2/100000=1/500002/100000=1/50000，后一段距离的相对中误差为，后一段距离的相对中误差为2/50000=1/250002/50000=1/25000。第一。第一条边精度高。条边精度高。角度元素没有相对精度。角度元素没有相对精度。第14页，本讲稿共16页2-5 2-5 精度、准确度与精确度精度、准确度与精确度 观测值的质量取决于观测误差（偶然误差与系统观测值的质量取决于观测误差（偶然误差与系统误差）的大小。误差）的大小。一、精度：精度是指误差分布密集或离散的程度，是衡量偶一、精度：精度是指误差分布密集或离散的程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。然误差大小程度的指标。精度反映了观测结果与其数学期望的接近程度。精度反映了观测结果与其数学期望的接近程度。二、准确度：准确度是指观测量的真值与观测量的数学期望二、准确度：准确度是指观测量的真值与观测量的数学期望之差，即之差，即 ，是衡量系统误差大小程度的指，是衡量系统误差大小程度的指标。标。准确度反映了观测量的真值与其数学期望的接近程度。准确度反映了观测量的真值与其数学期望的接近程度。第15页，本讲稿共16页三、精确度：精确度是精度与准确度的合成，是指观测三、精确度：精确度是精度与准确度的合成，是指观测结果与其真值的接近程度，精确度可用观测值的均方结果与其真值的接近程度，精确度可用观测值的均方误差来衡量，即：误差来衡量，即：精确度衡量偶然误差和系统误差大小程度的指标。精确度衡量偶然误差和系统误差大小程度的指标。即观测值中不存在系统误差时，亦即观测值中即观测值中不存在系统误差时，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。时精确度就是精度。返回返回当当时时第16页，本讲稿共16页