第7章矩阵的特征值和特征向量精选文档.ppt
第7章矩阵的特征值和特征向量本讲稿第一页，共三十页特征值：的根 为矩阵A的特征值特征向量：满足 的向量v为矩阵A的对于特征值 的称为矩阵A的特征多项式 是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，从而求得所有特征值的近似。特征向量本讲稿第二页，共三十页7.1 幂法 矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如：矩阵的谱半径。幂法就是一种求矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。幂法要求A有完备的特征向量系，即A有n个线性无关的特征向量。在实践中，常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征值和特征向量如下：特征值：特征向量：幂法可以求，基本思想很简单。本讲稿第三页，共三十页设线性无关，取初值，作迭代设：则有：本讲稿第四页，共三十页（1）若：则k足够大时，有可见 几乎仅差一个常数所以：任意分量相除特征向量乘以任意数，仍是特征向量本讲稿第五页，共三十页（2）若：则k足够大时，有所以：所以：本讲稿第六页，共三十页算法：1、给出初值，计算序列2、若序列表现为，相邻两个向量各个分量比趋向于常数若序列表现为，奇偶序列各个分量比趋向于常数，则若序列表现为其他，退出不管本讲稿第七页，共三十页求矩阵 A的按模最大的特征值解 取x(0)=(1,0)T,计算x(k)=Ax(k-1),结果如下例k x1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)0 1 01 0.25 0.22 0.10250 0.083333 0.41 0.416653 0.042292 0.034389 0.41260 0.412674 0.017451 0.014190 0.41263 0.41263可取 0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.本讲稿第八页，共三十页决定收敛的速度，特别是|2/1|希望|2/1|越小越好。不妨设 1 2 n，且|2|n|。12nO p=(2+n)/2思路令 B=A pI，则有|I A|=|I(B+pI)|=|(p)I B|A p=B。而，所以求B的特征根收敛快。本讲稿第九页，共三十页在幂法中，我们构造的序列可以看出因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0本讲稿第十页，共三十页改进幂法的规范运算则，易知：所以，有：最大分量为1本讲稿第十一页，共三十页即（1）若：本讲稿第十二页，共三十页本讲稿第十三页，共三十页时，有时，有收敛分别收敛到反号的两个数本讲稿第十四页，共三十页（2）若：分别收敛到两个向量，且不是互为反号。本讲稿第十五页，共三十页求：则：本讲稿第十六页，共三十页算法：1、给出初值，计算序列2、若序列收敛，则若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数互为反号，则若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数不互为反号，则本讲稿第十七页，共三十页反幂法所以，A和A1的特征值互为倒数这样，求A1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值为避免求逆的运算，可以解线性方程组本讲稿第十八页，共三十页若知道某一特征根 i 的大致位置 p，即对任意 j i 有|i p|j p|，并且如果(A pI)1存在，则可以用反幂法求(A pI)1的主特征根 1/(i p)，收敛将非常快。思路本讲稿第十九页，共三十页7.1 Jacobi方法对称阵P为n阶可逆阵，则A与P1AP相似，相似阵有相同的特征值。若A对称，则存在正交阵Q(QTQ=I)，使得直接找Q不大可能。我们可以构造一系列特殊形式的正交阵Q1,.,Qn对A作正交变换使得对角元素比重逐次增加，非对角元变小。当非对角元已经小得无足轻重时，可以近似认为对角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是这样一类方法。本讲稿第二十页，共三十页1、Givens旋转变换对称阵为正交阵p列 q列本讲稿第二十一页，共三十页记：则：变换的目的是为了减少非对角元的分量，则本讲稿第二十二页，共三十页记则的按模较小根所以：本讲稿第二十三页，共三十页本讲稿第二十四页，共三十页2、Jacobi迭代取p,q使，则定理：若A对称，则本讲稿第二十五页，共三十页 解 记 A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有例 用Jacobi 方法计算对称矩阵的全部特征值.从而有本讲稿第二十六页，共三十页所以再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得本讲稿第二十七页，共三十页本讲稿第二十八页，共三十页从而A的特征值可取为 12.125825,28.388761,34.485401本讲稿第二十九页，共三十页为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间,对经典的 Jacobi方法可作进一步改进.1.循环 Jacobi方法:按(1,2),(1,3),(1,n),(2,3),(2,4),(2,n),(n-1,n)的顺序,对每个(p,q)的非零元素apq作 Jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至(A)为止.2.过关 Jacobi方法:取单调下降收敛于零的正数序列k,先以 1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过 1的非对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过 1时,再换下一个关卡值2,直到关卡值小于给定的精度.本讲稿第三十页，共三十页
