线性相关与线性无关.pptx

会计学 1线性相关与线性无关第1 页/共21 页第2 页/共21 页第3 页/共21 页第4 页/共21 页第5 页/共21 页3.2.2 3.2.2求相关系数的方法 求相关系数的方法考虑 考虑 m m 个 个 n n 维列向量：维列向量：第6 页/共21 页即 有非零解，这里 为 矩阵.求出的非零解的m个分量 就是所要求的相关系数。类似地，m个n维行向量 线性相关 第7 页/共21 页例 讨论向量组线性相关，则的线性相关性.若解 由于,从而 线性相关 求出一组不全为零的数第8 页/共21 页第9 页/共21 页即变量个数大于方程个数有自由变量第10 页/共21 页第11 页/共21 页第12 页/共21 页第13 页/共21 页定理3.2.2 如果向量组 线性无关，而添加一个同维向量 后所得到的向量组 线性相关，则 可以用 线性表出，且表示法是惟一的。证 可表性 因为 为线性相关组，所以存在不全为零的m+1个数 使得如果，则 不全为零，且，这与 为线性无关组的假设矛盾。所以必有，于是得到线性表出式。第14 页/共21 页即 可由向量组 线性表出。惟一性：如果由两个线性表出式则有因为 线性无关，必有 即 所以线性表出式惟一。第15 页/共21 页定理 定理3.2.3 3.2.3 设 设 为线性相关组，则任意扩 为线性相关组，则任意扩充后的同维向量组 充后的同维向量组，必为线性相关组。必为线性相关组。定理 定理 3.2.3 3.2.3 可以简述为 可以简述为“相关组的扩充向量组必为相 相关组的扩充向量组必为相关组 关组”，或者，或者“部分相关，整体必相关 部分相关，整体必相关”.它的等价 它的等价说法是 说法是“无关组的子向量组必为无关组 无关组的子向量组必为无关组”或者 或者“整体无关，部分必无关 整体无关，部分必无关”.第16 页/共21 页定理3.2.4 设有两个向量组，它们的前n个分量对应相等：如果 为线性相关组，则 必为线性相关组。证 因为 为线性相关组，所以一定存在不全为零的数 使得第17 页/共21 页第18 页/共21 页其中前n个等式成立也就是下述向量方程成立：这就证明了 为线性相关组。我们把向量组 称为向量组 的“接长”向量组；而把向量组 称为向量组 的“截短”向量组。定理3.2.4可以简述为“相关组的截短向量组必为相关组”.它的等价说法是“无关组的接长向量组必为无关组”.注意:“扩充或子组”与“接长或截短”的区别，前者是维数不变，向量个数增减；后者是向量个数不变，维数增减.第19 页/共21 页例 例12 12考虑以下三个向量组 考虑以下三个向量组:其中 其中,B,B是 是A A的子向量组 的子向量组,A,A是 是B B的扩充向量组 的扩充向量组,C,C是 是A A的接 的接长向量组 长向量组,A,A是 是C C的截短向量组 的截短向量组.第20 页/共21 页