量子力学期末复习课件ppt.ppt
病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程三个实验现象经典物理的理论无法解释u黑体辐射u光电效应u氢原子光谱从而诞生了量子力学黑体辐射、光电效应和康普顿散射揭示了光的波粒二象性绪 论1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Bohr原子轨道量子化1、玻尔的量子论1913年，Bohr把PlanckEinstein的概念运用来解决原子结构和光谱的问题，提出了原子的量子论，其中极为重要的两个概念（假定）：定态假设与量子跃迁（1）定态假定假设电子围绕原子核做圆周运动时，只能处在一些分立的稳定状态，简称定态。假设在定态时，电子的轨道角动量也是量子化的，只能取约化普朗克常数的整数倍，这些轨道才是稳定的。定态概念是为了解决电子绕原子核转动时稳定存在而不辐射的问题而提出的2病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（2）量子跃迁电子从一个定态到另一个定态是跳跃式的，称为跃迁。当原子从高能级定态向低能级定态跃迁时，发出一个光子。反之，则吸收一个光子。发射或吸收的光子频率 是唯一确定的，由频率条件给出：3病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程微粒的粒子性与波动性的关系：4病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 第二章：波函数和 Schrodinger 方程5病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.1 波函数的统计解释 2.2 态叠加原理 2.3 波函数随时间的变化Schrodinger 方程2.4 粒子流密度和粒子数（量子力学）守 恒定律2.5 定态Schrodinger方程2.6一维无限深方势阱6病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.1 波函数的统计解释 7病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.1波函数的统计解释波函数是描述微观粒子的状态由于微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同时确定，当粒子处于某一状态时，坐标和动量一般具有许多可能值，这些可能值各自以一定的概率出现，这些概率可以由一个函数得出波函数只要系统的波函数已知，系统的其它性质也可以知道：由波函数可以得到体系的各种性质，因此我们说波函数描述体系的量子状态（简称状态或者态）8病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程概率波：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在改点找到粒子的概率成正比例。按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波假设波函数描写粒子的状态，在空间一点（x,y,z）和时间t，波的强度是概率密度强度与在该时刻改点找到粒子的概率成正比9病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程波函数归一化条件根据波函数的统计诠释，在任何时刻，对于一个粒子而言，一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事件。粒子在整个空间出现的概率为“一”假如波函数的概率有限，但不等于“一”，则可以将波函数乘以一个常数，使概率等于“一”。这个常数就是归一化因子10病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程11病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程12病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程13病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程小结：描写微观粒子的量子状态：表示几率密度，描述微观粒子在该点出现的概率概率密度对整个空间求积分为“1”14病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2 态叠加原理15病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程如果 是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加 也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的态叠加原理态叠加原理16病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程已知：=C11+C22 那么空间找到电子的几率则是：|2=|C11+C22|2=(C1*1*+C2*2*)(C11+C22)=|C1 1|2+|C22|2+C1*C21*2+C1C2*12*电子穿过上狭缝出现在点的几率密度电子穿过下狭缝出现在点的几率密度相干项 正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。量子力学遵从态叠加原理，概率密度是否遵从叠加原理？这表明粒子穿过双狭缝后在P点出现的概率密度一般不等于穿过上狭缝到达P点的概率密度与穿过下狭缝到达P点的概率密度之和，而需要加上干涉项！17病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程以上是表示为两个态1和2 的线性叠加，推广到一般的情况，态可以表示为许多态1、2、3、n的线性叠加=C11+C22、+Cnn 这就是量子力学的态叠加原理。强调：态叠加原理指的是波函数，不是指概率叠加2.2态叠加原理18病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.3 波函数随时间的变化Schrodinger 方程19病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程量子力学能量算符量子力学动量算符量子力学的两个算符20病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.4粒子流密度和粒子数（量子力学）守恒定律21病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程波函数是用来描述粒子在某一时间某一位置粒子出现的概率（概率密度）是：几率守恒定律几率流密度22病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程质量守恒定律质量密度，为质量与概率乘积质量流密度，为质量与概率流密度乘积质量守恒定律23病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程电荷守恒定律电荷密度，为电荷与概率乘积电流密度，为电荷与概率流密度乘积电荷守恒定律24病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程波函数标准条件式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意选取的，所以S是任意闭合面。要使积分有意义，必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续 总之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。25病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.5 定态薛定谔方程26病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一般的薛定谔方程针对一般的薛定谔方程可以是时间的函数，在这种情况下，通过初态波函数去求解末态波函数很难目前我们只讨论不随时间变化的情况。薛定谔方程可以利用分离变量法求特解，薛定谔方程性质，时间部分和空间部分是分离的，薛定谔方程的解可以表示为空间部分乘以时间部分空间部分时间部分27病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程方程时间部分所描述的状态是具有确定能量的状态，因而，我们称为定态，我们称为定态波函数波函数称为定态薛定谔方程28病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程求解定态问题的步骤（1）列出定态 Schrodinger方程（2）根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：（3）写出定态波函数即得到对应第n个本征值 En 的定态波函数（4）通过归一化确定归一化系数Cn29病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例题一个质量为m的粒子在一维势场中运动，其中，写出两种条件下的定态薛定谔方程？30病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.6一维无限深方势阱31病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一、列出各势域上的薛定谔方程；二、求解薛定谔方程；三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）32病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程什么是一维无限深势阱问题？在一维空间运动的粒子，它的势能在一定区域内（-axa）为零，而在此区域外势能为无限大U(x)=0|x|a由于体系的势能U(x)不随时间变化，因此一维无限深势阱在阱内满足定态薛定谔方程33病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定态薛定谔方程34病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一步：列出各势区域上的薛定谔方程35病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第I区域和第III区域|x|a针对一维无限深势阱，可以分为三个区域：第一个区域和第三个区域，由于势能为无穷大，因而，这两个区域的波函数为零定态薛定谔方程:36病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程针对区域II由于势阱内部势能为零，此时薛定谔方程可以简写为：|x|a|x|a|x|a方程的解U=037病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程二阶常系数齐次线性微分方程或者或者三个方程是等价的38病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二步：利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数39病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程根据波函数的连续性代入到下面的方程得到由于A和B不能同时为零，因而，得到两组解（1）（2）A=0B=040病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一维无限深粒子的能量的能级公式：能级分布是不均匀的，能级越高，能级之间的间距就越大41病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程两组波函数=N为正偶数，|x|a0|x|a（1）=N为正奇数，|x|a0|x|a（2）42病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第三步：波函数归一化43病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程再由波函数的归一化条件=N为正奇数，|x|a0|x|a=N为正偶数，|x|a0|x|a于是波函数44病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程=N为正奇数，|x|a0|x|a=N为正偶数，|x|a0|x|a于是波函数根据定态波函数公式本征函数45病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程小结 由无限深方势阱问题的求解可以看 出，解薛定谔方程的一般步骤如下：一、列出各势域上的薛定谔方程；二、求解薛定谔方程；三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。46病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.7一维有限深势阱47病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程仅讨论束缚态（0EV0）情况按阱内与阱外三个区求解粒子所满足的定态薛定谔方程为：I II III一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域为零（）而在此区域外，势能为48病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程粒子所满足的定态薛定谔方程为：第一步：写出定态薛定谔方程49病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二步：分区写出定态薛定谔方程50病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程I II III势阱外区：也就是第一，第三区域，定态薛定谔方程为：令得一般解为：考虑到无穷远波函数为0，得：第一区域第三区域 51病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程其解为势阱内区：第二区域，薛定谔方程为：令为零52病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一区域第三区域第二区域53病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2.8势垒贯穿54病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程粒子所满足的定态薛定谔方程为：第一步：写出定态薛定谔方程55病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第二步：分区写出定态薛定谔方程56病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程0 aV(x)V0I II IIIE势阱外区：也就是第一，第三区域，定态薛定谔方程为：令得一般解为：第一区域第三区域57病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程0 aV(x)V0I II IIIE势阱内区：也就是第二区域，定态薛定谔方程为：得一般解为：第二区域58病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第三步：利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数59病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.波函数连续综合 整理 记之2.波函数导数连续60病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程习题1波函数归一化由归一化条件：61病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程习题2概率若一维运动的粒子，其波函数为 求波函数在空间区域内出现的概率62病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程习题2概率流密度若一维运动的粒子，其波函数 求该波函数的概率流密度共轭波函数63病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程习题3一维势阱一维有限深势阱一维无限深势阱I II IIIU(x)=0|x|aU(x)=0|x|a/264病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程粒子所满足的定态薛定谔方程为：I II III习题3一维有限深势阱一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域为零（）而在此区域外，势能为求束缚态能级所满足的方程65病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程I II III势阱外区：也就是第一，第三区域，定态薛定谔方程为：令得一般解为考虑到无穷远波函数为0，得：第一区域第三区域按阱内与阱外三个区求解66病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程其解为势阱内区：第二区域，薛定谔方程为：令为零67病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第一区域第三区域第二区域边界条件：（1）（2）（3）（4）68病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程令令69病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第三章量子力学中的力学量70病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（1）单位算符（2）逆算符（3）复共轭算符（4）转置算符（5）厄米算符（6）角动量算符算符的复共轭算符（*）71病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对易式所满足的等式72病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对易式所满足的等式73病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程算符对易关系若，则称 与 不对易若=，则称 与 对易若=-，则称 与 反对易为了表述简洁，人们定义了对易括号：,若,0，则称 与 不对易若,=0，则称 与 对易74病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程注意：当 与 对易，与 对易，不能推知 与 对易与否。例如：75病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程76病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程77病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程78病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程79病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程80病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程81病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程82病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程本征值本征值算符的本征函数与本征值83病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程本征函数之间的关系课本3.2.4这代表着动量算符不同本征值的两个本征函数在整个空间区域可以归一为函数，如果本征值相同，则为1，不同则为0对于本征函数积分为零的式子我们称之为这两个本征函数正交性这是厄米算符本征函数所特有的性质84病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程什么是厄米算符？如何证明厄米算符具有不同本征值的本征函数具有正交性？85病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程算符和它表示的力学量之间的关系量子力学的一个基本假定：算符是作用在本征态上的，并可以得到一个具体数值本征值如果体系不处于算符的本征态，而处于任意一个态这时算符和它表示的力学量之间的关系如何？假设是算符的本征函数，对应的本征值为，则任意波函数可以按照本征函数展开为级数本征函数的这种性质称为完全性，其中系数可以由本征函数和任意波函数求得86病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程如何求？由于本征函数具有正交归一性，于是对于：两边同时乘以，并对x的整个区域积分所以：87病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程被称为概率振幅，代表概率，它表示在任意态中，测量力学量F得到的结果是算符的本征值的概率假设已经归一化了，则88病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系；即：对于任意波函数都可以表示为体系本征函数的级数展开当体系处于本征态时，算符与本征函数相互作用，可以得到一个确定的力学量值当体系处于任意波函数所描述的状态时，算符作用在任意波函数上没有确定值，而只有一系列可能值，这些可能值是表示这个力学量算符的本征值之一，并且可能值也都是以确定的概率出现总结89病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例氢原子基态波函数按动量算符的本征函数展开概率振幅概率密度二、力学量的平均值90病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1.一般平均值公式二、力学量的平均值力学量平均值就是指多次测量的平均结果。如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：2.平均值公式91病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（一）两力学量同时有确定值的条件体系处于任意状态（x）时，力学量F一般没有确定值 如果力学量F有确定值，（x）必为F的本征态，即 如果有另一个力学量G在态中也有确定值，则必也是G的一个本征态，即结论：当在 态中测量力学量F和G时，如果同时具有确定值，那么必是二力学量共同本征函数。92病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（二）两算符对易算的物理意义证：若两个力学量算符有一组共同的本征函数系，而且组成完全系，则二算符对易。则本征函数，不是一般函数93病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（三）逆定理如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数94病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程不确定关系（测不准关系）（1）两力学量算符对易则同时有确定值；（2）若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题：两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度：测量值 Fn 与平均值 的偏差的大小。、测不准关系的严格推导95病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程下面我们要讨论的是两个算符不对易的情况，也就是说它们不能同时有确定值这就是坐标和动量的测不准关系：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大 96病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例1：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下，Lx=Ly=097病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程S 矩阵的么正性么正矩阵满足S+S=I式子的矩阵称为么正矩阵由么正矩阵所表示的变换称为么正变换，所以由一个表象到另一个表象的变换是么正变换S+S=S S+S+=S-1厄米矩阵？98病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程99病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程100病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第七章自旋与全同粒子光谱的精细结构复杂塞曼效应全同粒子Bose 子如：光子（s=1）；介子（s=0）。Fermi 子 例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。101
