高考浙江卷理科数学(详细解析).pdf

2011 年高考浙江卷理科数学参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件 A，B 相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么 n次独立重复试验中事件A 恰好发生 k 次的概率kn-kPn(k)=Cknp(1-p)(k=0,1,2,，n)台体的体积公式V=h(S1S1S2 S2)13其中S,S分别表示台体的上、柱体的体积公式V Sh其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式V 13Sh其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式2S=4R球的体积公式V 43 R3一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x,x 0,（1）设函数f(x)2若f()4,则实数=x,x0.（A）-4 或-2（B）-4 或 2（C）-2 或 4（D）-2 或 2【答案答案】B【解析解析】当 0时，f()2 4,4；2当 0，f()2 4,4.（2）把复数z的共轭复数记作z，i 为虚数单位，若 z=1+I,则(1 z)z（A）3-i（B）3+i（C）1+3i（D）3【答案答案】A【解析解析】z 1 i，z 1i，(1 z)z (2 z)(1 z)3i.(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案答案】D【解析解析】由正视图可排除A、B 选项；由俯视图可排除 C 选项.（4）下列命题中错误的是（A）如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（C）如果平面平面，平面平面，=l，那么l 平面（D）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案答案】D【解析解析】若面 面，在面内与面的交线不相交的直线平行平面，故 A 正确；B 中若内存在直线垂直平面，则，与题没矛盾，所以 B 正确；由面面的性质知选项 C 正确.x2y50（5）设实数x,y满足不等式组2x y70,若x,y为整数，则3x4y的最小值是x0，y0，（A）14（B）16（C）17（D）19【答案答案】B【解析解析】可行域如图所示2x+y-7=0yoX+2y-5=0 xx 2y 5 0 x 33联立，解之得，又边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为，当42x y 7 0y 1z 3x 4y过点（4，1）时，有最小值 16.（6）若02，-130，cos()，cos()，则cos()2432423（A）335 36（B）（C）（D）3399【答案答案】C【解析解析】cos(4)12 33，0，sin()，又cos()，0，32243423，6sin()4234)cos(cos(2)cos(4)(42)cos(42)sin(4)sin(4132 365 3).2333391a1m”是a 或b的（7）若a,b为实数，则“0ab（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案答案】A1b1成立；当a 0,b 0时，两边同除以a可b11111得b 成立，“0 ab 1”是“a 或b”的充会条件，反过来ab 0，由a 或b 得不ababa到0 ab 1.【解析解析】当a 0,b 0时，由0 ab 1两边同除b可得a x2y2y221有公共的焦点，C2的一条渐近线与以（8）已知椭圆C1:221(ab0)与双曲线C1:x ab4C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则2（A）a 131222（B）a 13（C）b（D）b 222【答案答案】Cy2【解析解析】由双曲线x 1 知渐近线方程为y 2x，又椭圆与双曲线有公共焦点，422222椭圆方程可化为b xb 5 yb 5 b，联立直线与椭圆方程消y得，22x2b5 b2b25b22a2，又C1将线段 AB 三等分，12 2，225b 2035b 202解之得b 21.2（9）有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（A）1234（B）（C）D5555【答案答案】B2223222A2A2A3 A3A2A22【解析解析】由古典概型的概率公式得P 1.55A5（10）设 a，b，c 为 实 数，f(x)(x a)(x2bx c),g(x)(ax 1（)cx2bx 1).记 集 合S=x f(x)0,xR,T x g(x)0,xR,若S，T分别为集合元素 S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（A）S=1 且T=0（B）S 1且 T=1（C）S=2 且T=2（D）S=2 且T=3【答案答案】C2【解析解析】当a b c 0时，s 1且|T|0；当a 0,b 0且b 4c 0时，s 1且|T|1；当a 0,b2 4a 0时，s 2且|T|3.非选择题部分（共非选择题部分（共 100100 分）分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分（11）若函数f(x)x xa为偶函数，则实数a。【答案答案】0【解析解析】f(x)为偶函数，f(x)f(x)，22即x|x a|(x)|x a|x a xa,a 0.2（12）若某程序图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是。【答案答案】534【解析解析】k 3时，a 464，b 384，a b；4k 4时，a 4256，b 4256，a b；44k 5时，a 4256 4，b 5625，a b.5（13）设二项式(x【答案答案】2【解解a6若 B=4A，则 a 的值是。)(a 0)的展开式中x3的系数为 A,常数项为 B，x】k析析由3题意得Tk16 ka kk6kk2 C6x，aC6xx24A aC6，B aC6，又B 4A，24242aC6，解之得a 4，又a 0，4aC642a 2.（14）若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻行四边形的面积为是。【答案答案】边 的 平1，则 与 的夹角的取值范围25,6 61，1，1，2【解析解析】由题意得：sinsin11，22又(0,)，(5,).6 6（15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司2，得到乙公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记 X 为该毕业31生得到面试得公司个数。若P(X 0)，则随机变量 X 的数学期望E(X)125【答案答案】3面试的概率为【解析解析】PX 0 121221p，p.2312221111PX 1 2，3232321115PX 2 2，323212211PX 3，326EX 0（16）设x,y为实数，若4x2 y2 xy 1,则2x y的最大值是.。【答案答案】222115151 23.12312632 1052222【解析解析】4x y xy 1，(2x y)3xy 1，即(2x y)32xy 1，2(2x y)232x y282 10()1，解之得：(2x y)2，即2x y.2255x2 y21的焦点，点A,B在椭（17）设F1,F2分别为椭圆3A的坐标是.圆上，若F1A5F2B;则点【答案答案】0,1【解解析析】设直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B，又F1A 5F2B，由椭圆的对称性可得F1A 5BF1，设Ax1,y1，Bx2,y2，又|F1A|63 263 2x1，|F1B|x2，323263 263 2(x1)5(x2)3232解之得x1 0，点 A 的坐标为0,1.x 2 5 2 x21三、解答题;本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（18）（本题满分 14 分）在ABC中，角A.B.C所对的边分别为 a,b,c.已知sin AsinC psinBpR,且ac（）当p 12b.45,b 1时，求a,c的值；4()若角B为锐角，求 p 的取值范围；（19）（本题满分 14 分）已知公差不为 0 的等差数列an的首项a1为 a(aR),设数列的前 n 项和为Sn，且111，成等比数列a1a2a4（1）求数列an的通项公式及Sn（2）记An11111111，当n 2时，试比较An与Bn的大小.，Bn.S1S2S3Sna1a2a22a2n（20）本题满分 15 分）如图，在三棱锥P-ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O落在线段 AD 上，已知 BC8，PO4，AO3，OD2（）证明：APBC；（）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。2（21）（21）（本题满分 15 分）已知抛物线C1:xy，圆C2:x2(y4)21的圆心为点 M。（）求点 M 到抛物线C1的准线的距离；（）已知点 P 是抛物线C1上一点（异于原点），过点 P 作圆C2的两条切线，交抛物线C1于 A，B两点，若过 M，P 两点的直线l垂足于 AB，求直线l的方程.（22）（本题满分 14 分）设函数f(x)(xa)2ln x，aR（）若xe为y f(x)的极值点，求实数a；（）求实数a的取值范围，使得对任意的x（0,3e，恒有f(x)4e成立.注：e为自然对数的底数。2参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 5 分，满分分，满分 5050 分。分。（1）B（2）A（3）D（4）D（5）B（6）C（7）A（8）C（9）B（10）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 4 分，满分分，满分 2828 分。分。5（11）0（12）5（13）2（14）6,65（15）3（16）2 105（17）(0,1)三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。ac 54（）解：由题设并利用正弦定理，得1ac 4a 1a 14解得或1c 4c 1（）解：由余弦定理，b2=a2+c2-2ac cosB=(a+c)2-2ac cosB212=p2b2-1即p 2b 2b cosB,231cosB,22因为03cosB1,得p2(,2)，由题设知p20，所以62p2（19）本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同事考查分类讨论思想。满分 14 分。（）解：设等差数列an的公差为 d,由(1211),a2a1a4得(a1d)2 a1(a13d)。因为d 0,所以d a1 an所以an na,Sn（）解：因为所以an(n1)，212 11(),Sna nn1An111121.(1).S1S2S3Snan1因为a2n1 2n1a,所以11()n1111122(11).Bn.a1a2a22a2n1a11a2n211012n1n,当 n2 时，2nCnCnCn.Cnn1，即1n12所以，当 a0 时，AnBn；当 a0 时，AnBn。（20）本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查想象能力和运算求解能力。满分 15 分。方法以：（）证明：如图，以O 为原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz则 O（0,0,0），A（0，-3,0），B（4,2,0），C（-4,2,0）P（0,0,4）AP (0,3,4),BC (8,0,0),由此可得APBC 0所以APBC，即 APBC.（）解：设PM PA,1,PM(0,3,4),BM BP PM BPPA(4,2,4)(0,3,4)(4,23,4 4),AC (4,5,0),BC (8,0,0).设 平 面BMC的 法 向 量n1(x1,y1,z1),平面 APC 的法向量n1(x2,y2,z2),BM n1 0,由BCn1 0,得4x1(23)y1(44)x10,8x1 0,x1 0,23),即可取n (0,1,2344z1y1,445x y,242APn2 0,3y24z20,由即得可取n2(5,4,3),34x 5y 0,22z y,ACn1 0,224由n1n20，得43解得23 0442，故 AM=35综上所述，存在点 M 符合题意，AM=3。方法二：（）证明：由 AB=AC,D 是 BC 的中点，得 ADBC,又 PO平面 ABC,得 POBC。因为 POBC=0，所以 BC平面 PAD故 BCPA.（）解：如图，在平面PAD内作 BMPA于 M,连 CM.由（）中知 APBC,得 AP平面 BMC.又 AP平面 APC,所以平面 BMC平面 APC。在 RtADB 中，AB2=AD2+BD2=41，得 AB=41在 RtPOD 中,PB2=PO2+OD2,在 RtPDB 中,PB2=PD2+BD2,所以 PB2=PO2+OD2+BD2=36，得 PB=6.在 RtPOA 中,PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5PA2 PB2 AB21,又cosBPA 2PAPB3从而PM PBCOSBPA 2,所以AM PA PM 3综上所述，存在点 M 符合题意，AM=3.（21）本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线，圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15 分。（）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：y 117,所以圆心 M（0,4）到抛物线的距离是,44（）解：设 P(x0,x02)，A（x1,x12）B（x2,x22），由题意得x0 1,x1 x2设过点 P 的圆 C2的切线方程为 y-x0=k(x-x0)即y x02 k(x x0)，则|kx04 x02|1k21即(x021)k22x0(4 x02)k(x024)21 0设 PA，PB 的斜率为k1,k2(k1 k2)，则k1,k2是上述方程的两根，所以2x0(x024)(x024)21k1k2，k1k2x021x021将代入y x得x2kxkx0 x02 0，由于x0是此方程的根，故x1 k1 x0,x2 k2 x0,所以2kAB2x0(x024)x024x12 x22 x1 x2 k1k22x0()2x0kMPx1 x2x021x02x0(x04)x042x)()1，解得02x01x022由 MPAB,得kABkMP(x02x035即点 P 的坐标为(23 233 115x4。,)，所以直线 l 的方程为y 11555（22）本题主要考查函数极限的概念、导数运算法则、导数运用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力。分类讨论等分析问题和解决问题的能力。满分14 分。a(xa)2（）解：求导得 f(x)=2(x-a)lnx+=(xa)(2ln x+1-).xx因为 x=e 是 f(x)的极值点，所以 f(e)=ea3检验，符合题意，所以a e或a 3e。（）解：当0a 0，解得a e或a 3e，经ex 1时，对于任意的实数 a,恒有f(x)14c2成立，x 3e，由题意，首先有f(3e)(3ea)2ln(3e)4e2，当1解得3e2e2e a 3eln(3e)ln(3e)由（）知f(x)(xa)(2ln x1)，h(x)2ln x1axa，则h(1)1ax0，h(a)2ln xa0，且h(3e)2ln(3e)1a 2ln(3e)13e3e2eln(3e)3e=2(ln3e1)3 ln(3e)0。又h(x)在（0，+）内单调递增，所以函数h(x)在（0，+）内有唯一零点，记此零点为x0，则1x03e，1x0a。a；当从而，当x(0,x0)时，f(x)0；当x(x0,a)时，f(x)x(a,)时，f(x)0，即f(x)在(0,x0)内单调递增，在(x0,a)内单调递减，在(a,)内单调递增。所以要使f(x)4e2对x(1,3e立，只要22f(x0)(x0a)ln x0 4e,(1)22f(3e)(3ea)ln(3e)4e,(2)恒成成立。h(x0)2ln x01a 0，知x0a 2ln x0 x0（3）将（3）代入（1）得4x02ln3x0 4e2，又x01,+)内单调递增，故11，注意到函数x2ln3x在x0 e。a 3e。再由（3）以及函数 2xlnx+x 在（1.+)内单调递增，可得1由（2）解得，3e2e2e a 3e。ln(3e)ln(3e)所以3e2e a 3eln(3e)2e a 3e。ln(3e)综上，a 的取值范围为3e