高二数学讲义直线与椭圆的位置关系.pdf

高二数学讲义第七讲高二数学讲义第七讲直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系椭圆性质椭圆性质1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角外角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切.4.5.6.7.7.x0 xy0yx2y221.1若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y2若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程abx xy y是02021.abx2y2椭圆221(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点ab2角形的面积为SF1PF2 b tan.2x2y2椭圆椭圆221（a ab b0 0）的焦半径公式：）的焦半径公式：ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0).).其中其中 e=c/a.e=c/a.8.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.9.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.x2y2b210.AB 是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为 AB 的中点，则kOMkAB 2，abab2x0即KAB 2。a y0 x0 xy0yx02y02x2y2222.11.若P0(x0,y0)在椭圆221内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2abababx2y2x2y2x0 xy0y2.12.若P0(x0,y0)在椭圆221内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是222ababab(x x0)2(y y0)21与直线Ax By C 0有 公共点 的充 要 条件是13.椭圆22abA2a2 B2b2(Ax0 By0C)2.一一.课内基础练习题课内基础练习题一、选择题：1、已知 F1,F2是定点，|F1F2|=8,动点 M 满足|M F1|+|M F2|=8，则点 M 的轨迹是（）（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段2、过椭圆4x2 2y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成ABF2，那么ABF2的周长是（）A.2 2 B.2 C.2 D.13、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 ()(A)3倍 (B)2 倍 (C)2倍 (D)3倍2x2y2x2y21与曲线1(m9)一定有 ()4、曲线25925 m9 m(A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)围成的面积相等 (D)相同的通径二、填空题x2y2 1，则 k 的取值范围是5、设椭圆的标准方程为k 53kx2y22=1 的焦距为 4，则这个椭圆的焦点坐标是_ _6、已知椭圆2aa7、已知圆C:(x 1)2 y2 25及点A(1,0),Q为圆上一点，AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M，则点 M 的轨迹方程为。8、ABC 的两个顶点坐标分别是B(0，6)和 C(0，-6)，另两边 AB、AC 的斜率的乘积是-迹方程为 .9直线y 2k与曲线9k x y 18k x(kR,且k 0)的公共点的个数为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)422224，那么顶点 A 的轨9二二.应用椭圆性质解题应用椭圆性质解题x2y21上的点上的点M到焦点到焦点F1的距离为的距离为 2 2，N为为MF1的中点，的中点，则则ON（O为坐标原点）为坐标原点）的值为的值为()例 1、椭圆椭圆259A4B2C8D例例 2 2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,2)和和B(2 3,1)两点的椭圆方程两点的椭圆方程22例例 3 3.已知方程 x cos+y sin=1,(0,/2)讨论方程表示的曲线的形状32x2y21的焦点为焦点，过直线的焦点为焦点，过直线l：x y 9 0上一点上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，例例 4.4.以椭圆以椭圆123点点M应在何处？并求出此时的椭圆方程应在何处？并求出此时的椭圆方程1.1.弦长问题弦长问题例例5 5.设椭圆6x2+2y2=12中有一内接三角形PAB,过O,P的直线的倾斜角为(1)试证过A,B的直线的斜率是定值;(2)求PAB面积的最大值.,直线AP,BP的斜率符合kAP kBP0,3例例 6.6.已知长轴为已知长轴为 1212，短轴长为短轴长为 6 6，焦点在焦点在x轴上的椭圆，轴上的椭圆，过它的左焦点过它的左焦点F1作倾斜解为作倾斜解为两点，求弦两点，求弦AB的长的长2.2.对称问题对称问题:例 7.给定椭圆 C:x2+4y2=4.(1)若 A,B 是曲线 C 上关于坐标轴不对称的任意相异两点,求这两点的对称轴 L 在 x 轴上的截距 t 的取值范围;(2)对于(1)中的 t的取值范围内的to,过点 M(to,0)作直线L,设 L是曲线 C 上关于坐标轴不对称的两点A,B的对称轴,求直线 L 的斜率 k 的取值范围.3.3.成比例线段成比例线段例8.椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上,其焦距与长轴长之比为且C分有向线段AB的比为2.（）用直线l的斜率k(k0)表示OAB的面积;（）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程.4.4.与向量有关与向量有关例9.设x、yR R，i i、j j为直角坐标平面内x、y 轴正方向上的单位向量，若向量a a=xi i+(y+2)j j,b b=xi i+(y-2)j j,a a+b b=8.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设OPOAOB,是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.的直线交椭圆于的直线交椭圆于A，B32,过点C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A、B两点，35.5.轨迹问题轨迹问题例 10.椭圆 x2+2y2=8 和点 P(4,1),过 P 作直线交椭圆于 A(x1,y1),B(x2,y2),在 AB 上取点 Q 满足条件:APQB PB AQ,求 Q 点的轨迹方程.例例 11.11.ABC的底边的底边BC 16，AC和和AB两边上中线长之和为两边上中线长之和为 3030，求此三角形重心求此三角形重心G的轨迹和顶点的轨迹和顶点A的轨迹的轨迹例例 12.12.已知动圆已知动圆P过定点过定点A3，0，且在定圆，且在定圆B：x3 y2 64的内部与其相内切，求动圆圆心的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方的轨迹方2程程6.6.点差法点差法x21 1 y21，（，（1 1）求过点）求过点P，且被且被P平分的弦所在直线的方程；平分的弦所在直线的方程；例例 13.13.已知椭圆已知椭圆22 2（2 2）求斜率为）求斜率为 2 2 的平行弦的中点轨迹方程；的平行弦的中点轨迹方程；（3 3）过）过 Q(2,1)Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4 4）椭圆上有两点）椭圆上有两点 A A、B B，O为原点，且有直线为原点，且有直线 OAOA、OBOB 斜率满足斜率满足 K KOAOA K KOBOB=-1/2=-1/2，求线段求线段 ABAB 中点中点M的轨迹方程的轨迹方程x2y21，试确定，试确定m的取值范围，使得对于直线的取值范围，使得对于直线l：y 4xm，椭圆，椭圆C上有不同的两点上有不同的两点例例 14.14.已知椭圆已知椭圆C：43关于该直线对称关于该直线对称高二高二 A A 数学讲义第七讲（数学讲义第七讲（140210140210）课后作业）课后作业本试卷共 18 题，时间 45 分钟，满分 100 分）班级：班级：姓名：姓名：一.填空选择题1.如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线AB1与 BF 交于 D,且BDB1 90,则椭圆的焦距与长轴长之比为为()A3 1B25 1C235 1D22x222.设 F1、F2为椭圆+y=1 的两焦点，P 在椭圆上，当4F1PF2面积为 1 时，PF1PF2的值为()A、0B、1C、2D、3x2y21的一条弦被A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是()3.椭圆369Ax2y 0B2x y 10 0C2x y 2 0Dx 2y 8 04.已知F1,F2为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若PF1F2:PF2F1:F1PF21:2:3,则此椭圆的焦距与长轴长之比为 _.x225 5、已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆y 1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，3则ABC 的周长是（）（A）2 3（B）6（C）4 3（D）126.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（23，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是；x2y27 7、如图，把椭圆1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂2516F是椭圆的一个焦点，线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，则PF P P P12F PF34F PF56F P7F _;x2y228.已知 A、B 分别是椭圆221的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P(1,）在椭圆上，线段 PB 与 y2absin Asin B轴的交点 M 为线段 PB 的中点。点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于 ABC，那么的值sinC为。二.简答题1如图，A、B为两个定点，且|AB|=23，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线L 交MA于点P，请你建立适当的直角坐标系.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设直线x-y+1=0与曲线C交于E、F两点，O为坐标原点，试求OEF的面积.414x2y2.2 2、椭圆 C:221(a b 0)的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上，且PF1 F1F2,|PF1|,|PF2|33ab（）求椭圆C 的方程；（）若直线l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M，交椭圆C 于A,B两点，且A、B 关于点 M对称，求直线 l 的方程.3.在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2 2的圆C与直线y x相切于坐标原点O，椭圆x2y21与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10a29（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由x2y24.设椭圆221(a b 0)的左、右焦点分别为F，F2，A是椭圆上的一点，AF2 F1F2，原点O到直线1ab1AF1的距离为OF1（）证明a 2b；（）求t(0，b)使得下述命题成立：设圆x2 y2t2上任意3点M(x0，y0)处的切线交椭圆于Q1，Q2两点，则OQ1OQ2yHAF1OF2x5x2 y21的左、右焦点.（）若 P 是第一象限内该曲线上的一点，PF1 PF2，5.设 F1、F2分别是曲线44求点 P 的作标；（）设过定点 M（0，2）的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B，且AOB 为锐角（其中 O 为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.老师讲义老师讲义20142014 年冬季高二年冬季高二 A A 数学讲义第七讲（数学讲义第七讲（140210140210）直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系椭圆性质椭圆性质14.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角外角.15.PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.16.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切.x0 xy0yx2y221.117.若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y218.若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程abx xy y是02021.abx2y219.椭圆221(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点ab2角形的面积为SF1PF2 b tan.2x2y220.20.椭圆椭圆221（a ab b0 0）的焦半径公式：）的焦半径公式：ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0).).其中其中 e=c/a.e=c/a.21.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.22.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.x2y2b223.AB 是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为 AB 的中点，则kOMkAB 2，abab2x0即KAB 2。a y0 x0 xy0yx02y02x2y2222.24.若P0(x0,y0)在椭圆221内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2abababx2y2x2y2x0 xy0y2.25.若P0(x0,y0)在椭圆221内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是222ababab(x x0)2(y y0)21与直线Ax By C 0有 公共点 的充 要 条件是26.椭圆22abA2a2 B2b2(Ax0 By0C)2.一一.课内基础练习题课内基础练习题一、选择题：1、已知 F1,F2是定点，|F1F2|=8,动点 M 满足|M F1|+|M F2|=8，则点 M 的轨迹是（D）（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段2、过椭圆4x2 2y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成ABF2，那么ABF2的周长是（A）A.2 2 B.2 C.2 D.13、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 (B )(A)3倍 (B)2 倍 (C)2倍 (D)3倍2x2y2x2y21与曲线1(m9)一定有 (B )4、曲线25925 m9 m(A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)围成的面积相等 (D)相等的通径二、填空题x2y2 1，则 k 的取值范围是 3k4 或 4k3时,为双曲线;当0c3时,为椭圆.x2y2(2)此时曲线M方程为:198(3)略.高二高二 A A 数学讲义第七讲（数学讲义第七讲（140210140210）课后作业答案）课后作业答案本试卷共 18 题，时间 45 分钟，满分 100 分）班级：班级：姓名：姓名：一.填空选择题1.如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线AB1与 BF 交于 D,且BDB1 90,则椭圆的焦距与长轴长之比为为()A33 15 15 1BCD2222bb5 122解析 B.()1 a c ac e ac2x222.（广东省四校联合体 2007-2008 学年度联合考试）设 F1、F2为椭圆+y=1 的两焦点，P 在椭圆上，当F1PF24面积为 1 时，PF1PF2的值为()A、0B、1C、2D、3解析 A.SF1PF23|yP|1，P 的纵坐标为32 63，从而P 的坐标为(,)，PF1PF20，333x2y21的一条弦被A(4,2)平分,那么这条弦所在的3.(广东广雅中学 20082009 学年度上学期期中考)椭圆369直线方程是()Ax2y 0B2x y 10 0C2x y 2 0Dx 2y 8 02y y2x1y12x2y21,1,两式相减得：x1 x2 4(y1 y2)1 0，解析 D.369369x1 x2y y21x1 x28,y1 y2 4，1 x1 x224.已知F1,F2为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若PF1F2:PF2F1:F1PF21:2:3,则此椭圆的焦距与22长轴长之比为 _.解析3 1三角形三边的比是1:3:2x225 5、已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆y 1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，3则ABC 的周长是（C）（A）2 3（B）6（C）4 3（D）126.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（23，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是；b b2422y y2a a2b b,c c2 3x xa a 161为所求；解：解：已知222164a a b b c cF F(2 3,0)x2y27 7、如图，把椭圆1的长轴AB分成8等份，过每个分点2516F是椭圆的一个焦点，则作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，35_;PF P P P12F PF34F PF56F P7F _x2y28.(广东省汕头市金山中学20082009 学年高三第一次月考)已知 A、B 分别是椭圆221的左右两个焦点，ab2）在椭圆上，线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。点 C 是椭圆上异于长轴2sin Asin B端点的任意一点，对于ABC，那么的值为。sinCO 为坐标原点，点 P(1,解析（1）点M是线段PB的中点OM是PAB的中位线又OM ABPA ABc 111221a2b222a b c解得a2 2,b21,c21x2 y2=1椭圆的标准方程为2（2）点 C 在椭圆上，A、B 是椭圆的两个焦点ACBC2a2 2，AB2c2在ABC 中，由正弦定理，ABCBCACABsin Asin BsinCsin Asin BBC AC2 22sinCAB2二.简答题1如图，A、B为两个定点，且|AB|=23，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线L 交MA于点P，请你建立适当的直角坐标系.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设直线x-y+1=0与曲线C交于E、F两点，O为坐标原点，试求OEF的面积.答案：（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系；则A（-3，0），B（3，0），|AP|+|PB|=|PA|+|PM|=423，P点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（4分）2a=4，2c=23，a=2，c=3，b=1，x22P点的轨迹方程为+y=1.（6分）4（2）设E（x1，y1），F（x2，y2）x y 1 0由x2得(y 1)2 4y2 4 02 y 1 4即5y2-2y-3=0.解得y1=-3，y2=1，5设直线x-y+1=0与x轴的交点为P（-1，0）11SOEF=SOPE+SOPF=|OP|y1|+|OP|y2|22=8411|OP|（|y1|+|y2|）=1.2255414x2y2.2 2、椭圆C:221(a b 0)的两个焦点为F1,F2,点P 在椭圆C上，且PF1 F1F2,|PF1|,|PF2|（）33ab求椭圆 C 的方程；（）若直线l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M，交椭圆C 于A,B两点，且 A、B 关于点 M 对称，求直线 l 的方程.解：()因为点 P 在椭圆 C 上，所以2a PF1 PF2 6，a=3；在 RtPF1F2中F1F2PF2 PF122 2 5,故椭圆的半焦距 c=5,从而 b2=a2c2=4,所以椭圆 C 的方程为x2y21；()设 A，B 的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）；已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心 M94的坐标为（2，1）；从而可设直线 l 的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.x1 x218k29k 2.因为 A，B 关于点 M 对称；所以2249k解得k 88，所以直线 l 的方程为y(x 2)1,即 8x-9y+25=0.显然，所求直线方程符合题意。993.在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2 2的圆C与直线y x相切于坐标原点O，椭圆x2y21与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为102a9（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由m 2m n解解:(1):(1)设圆 C 的圆心为(m，n)则解得n 2n2 2 2所求的圆的方程为(x2)2(y2)28；(2)由已知可得2a 10；a 5；椭圆的方程为x2y21；右焦点为F(4，0)；假设存在 Q（x,y)，则有(x2)2(y2)28且（x-4)2+y2=16，解之可2594 12得 y=3x，从而有点（,)存在。55x2y24.设椭圆221(a b 0)的左、右焦点分别为F，F2，A是椭圆上的一点，AF2 F1F2，原点O到直线1ab1AF1的距离为OF1（）证明a 2b；（）求t(0，b)使得下述命题成立：设圆x2 y2t2上任意3点M(x0，y0)处的切线交椭圆于Q1，Q2两点，则OQ1OQ2y解:（）：由题设AF2 F0)，不妨设点A(c，y)，其中y 0，由于点A在椭圆上，有，0)，F2(c，1F2及F1(cAHb2c2y2a2b2y2b21，21，解得y，从而得到Ac，a2b2a2baaHOOF1F1OF2x过点O作OH AF1，垂足为H，易知F故1HOF1F2A，F2AF1A；由椭圆定义得AF1 AF2 2a，又HO F2A11F AOF1，所以2，33F1A2a F2Aab2b2a，即a 2b（）解法一：圆x2 y2t2上的任意点M(x0，y0)解得F2A，而F2A，得2aa2处的切线方程为x0 x y0y t2当t(0，b)时，圆x2 y2t2上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q1和Q2，因此点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标是方程组2t2 x0 x t2 x0 xx0 x y0y t22 2b的解当y0 0时，由式得y 代入式，得x 2，222y0y0 x 2y 2b224t2x02t42b2y0即(2x y)x 4t x0 x2t 2b y 0，于是x1 x2，x1x222222x0 y02x0 y02020224220422t2 x0 x1t2 x1x2144t2x01 422222t 2b y02t x0t(x1 x2)x0 x1x2y1y22t x0t x02222y0y0y1y02x0 y02x0 y022222t42b2x02t42b2y0t42b2x03t42b2(x0 y0)若，则OQ OQx x y y 0121212222222222x0 y02x0 y02x0 y02x0 y02222所以，3t42b2(x0 y0)0由x0 y0t2，得3t 2b t 0在区间(0，b)内此方程的解为t 42 26b3当y0 0时，必有x0 0，同理求得在区间(0，b)内的解为t 66b另一方面，当t b时，可推出33x1x2 y1y2 0，从而OQ1OQ2综上所述，t 6b(0，b)使得所述命题成立35x2 y21的左、右焦点.（）若 P 是第一象限内该曲线上的一点，PF1 PF2，5.设 F1、F2分别是曲线44求点 P 的作标；（）设过定点 M（0，2）的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B，且AOB 为锐角（其中 O 为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.（）易知a 2，b 1，c 3F1(3,0)，F2(3,0)设P(x,y)(x 0,y 0)则5x2PF1PF2(3 x,y)(3 x,y)x y 3，又 y21，4422722x y x 1x2134P(1,)联立2，解得，3322x y21y y 42 4（）显然x 0不满足题设条件可设l的方程为y kx2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)x21216k y21x x 联立 4 x24(kx2)2 4(14k2)x216kx12 0 x1x2122214k14ky kx22由 (16k)24(14k2)12 0；16k23(14k2)0，4k 3 0，得k 234又AOB为锐角 cosAOB 0 OAOB 0，OAOB x1x2 y1y2 0又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1 x2)4x1x2 y1y2(1k2)x1x22k(x1 x2)41216k12(1k2)2k 16k4(4k2)(1k)2k()44 02222214k14k14k14k14k21333 k2 4综可知 k2 4，k的取值范围是(2,)(,2)4422