高二数学(人教版)选修4-5教案：第09课时不等式的证明方法之——综合法与分析法.pdf

高中数学课课题：题：第 09 课时不等式的证明方法之二：综合法与分析法目的要求目的要求：重点难点重点难点：教学过程教学过程：一、引入一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，A B 2AB是常常要用到的一个重要不等式。二、典型例题二、典型例题：例 1、a,b都是正数。求证：2222ab 2.ba证明：由重要不等式A B 2AB可得abab 2 2.baba本例的证明是综合法。例 2、设a 0,b 0，求证a b a b ab.证法一分析法要证a b a b ab成立.只需证(a b)(a abb)ab(a b)成立，又因a b 0，只需证a ab b ab成立，又需证a 2ab b 0成立，即需证(a b)0成立.而(a b)0显然成立.由此命题得证。证法二综合法高中数学2222223322332222高中数学两边同时加上ab得b(a m)a(b m)两边同时除以正数b(b m)得（1）。读一读：如果用P Q或Q P表示命题 P 可以推出命题 Q（命题 Q 可以由命题 P推出），那么采用分析法的证法一就是（1）(2)(3)(4).而采用综合法的证法二就是(4)(3)(2)(1).如果命题 P 可以推出命题 Q，命题 Q 也可以推出命题 P，即同时有P Q,Q P，那么我们就说命题 P 与命题 Q 等价，并记为P Q.在例 2 中，由于b,m,b m都是正数，实际上(1)(2)(3)(4).例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长LL L L为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面2422 L L L积为。所以本题只需证明 。424高中数学222高中数学 L 证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形2 L L L的水管的截面面积为。只需证明：。4242222L2L2为了证明上式成立，只需证明。2164411。，得：24L因此，只需证明4。两边同乘以正数 L L上式显然成立，所以。24这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例 5、证明：a b c ab bc ca。证法一因为a b 2ab（2）b c 2bc（3）c a 2ca（4）所以三式相加得2(a b c)2(abbc ca)（5）两边同时除以 2 即得（1）。法二22222222222222证因为a2b2 c2(ab bc ca)所以（1）成立。111(a b)2(b c)2(c a)2 0,22222例 6、证明：(a b)(c d)(ac bd).（1）证明（1）(a b)(c d)(ac bd)0（2）22222222a2c2b2c2 a2d2b2d2(a2c2 2abcd b2d2)0（3）b2c2 a2d2 2abcd 0（4）(bc ad)2 0（5）（5）显然成立。因此（1）成立。.并指出等号在什么时候成立？例 7、已知a,b,c都是正数，求证a b c 3abc高中数学333高中数学分析：本题可以考虑利用因式分解公式a3b3c33abc (a bc)(a2b2c2abbc ca)着手。证明：a b c 3abc=(a bc)(a2b2c2abbc ca)=3331(a b c)(a b)2(b c)2(c a)2.2由于a,b,c都是正数，所以a b c 0.而(a b)2(b c)2(c a)2 0，可知a b c 3abc 0333即a b c 3abc（等号在a b c时成立）333探究探究：如果将不等式a b c 3abc中的a3,b3,c3分别用a,b,c来代替，并在两边同除以 3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：(1 a b)(1b c)(1 c a)27，其中a,b,c是互不相等的正数，且abc 1.三、小结三、小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、练习四、练习：1、已知x 0,求证：x 3331 2.x2、已知x 0,y 0,x y,求证114.xyx y高中数学高中数学五、作业：高中数学