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第一章第一章勾股定理勾股定理【知识点归纳】【知识点归纳】1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题1、面积问题2、求长度问题3、最短距离问题勾股定理的应用4、航海问题5、网格问题6、图形问题考点一：勾股定理考点一：勾股定理（1 1）对于任意的直角三角形，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为如果它的两条直角边分别为 a a、b b，斜边为，斜边为c c，那么一定有那么一定有a2 b2 c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2 2）结论：）结论：有一个角是有一个角是 3030的直角三角形，的直角三角形，3030角所对的直角边等于斜边的一半。角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是有一个角是 4545的直角三角形是等腰直角三角形。的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。（3 3）勾股定理的验证）勾股定理的验证(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第1页(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第1页baabacbabccababacab例题：例题：b例例 1 1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。（1 1）在 RtABC 中，C=90若 a=5，b=12，则 c=_；若 a=15，c=25，则 b=_；若 c=61，b=60，则 a=_；若 ab=34，c=10 则 RtABC 的面积是=_。（2 2）如果直角三角形的两直角边长分别为n21，2n（n1），那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n21D、n21（3 3）在 RtABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）A.a2b2 c2 B.a2c2 b2C.c2b2 a2 D.以上都有可能（4 4）已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7 或 25例例 2 2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1 1）直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_。（2 2）已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2（3 3）已知 x、y 为正数，且x2-4+（y2-3）2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15例例 3 3：探索勾股定理的证明：探索勾股定理的证明(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第2页(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第2页有四个斜边为 c、两直角边长为 a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。EAFGBMHCD考点二：勾股定理的逆定理考点二：勾股定理的逆定理（1 1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a,b,ca,b,c 有关系，有关系，a2 b2 c2，那么这个三角形是直，那么这个三角形是直角三角形。角三角形。（2 2）常见的勾股数：常见的勾股数：（3n,4n,5n3n,4n,5n）,(5n,12n,13n),(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)(9n,40n,41n).（n n 为正整数）为正整数）（3 3）直角三角形的判定方法：）直角三角形的判定方法：如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a,b,ca,b,c 有关系，有关系，a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。，那么这个三角形是直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例题：例例 1 1：勾股数的应用：勾股数的应用（1 1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.4，5，6 B.2，3，4 C.11，12，13 D.8，15，17（2 2）若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（）A、234 B、346 C、51213 D、467例例 2 2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1 1）下面的三角形中：ABC 中，C=AB；ABC 中，A：B：C=1：2：3；ABC 中，a：b：c=3：4：5；(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第3页(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第3页ABC 中，三边长分别为 8，15，17其中是直角三角形的个数有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（2 2）若三角形的三边之比为21:1，则这个三角形一定是（）22A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.不等边三角形（3 3）已知 a，b，c 为ABC 三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形（4 4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A 钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形（5 5）若ABC 的三边长 a,b,c 满足a2b2c2200 12a16b20c，试判断ABC 的形状。（6 6）ABC 的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且a+b+c 是 3 的倍数，则c 应为，此三角形为。例例 3 3：求最大、最小角的问题：求最大、最小角的问题（1 1）若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。（2 2）已知三角形三边的比为 1：3：2，则其最小角为。考点三：勾股定理的应用例题：考点三：勾股定理的应用例题：例例 1 1：面积问题：面积问题（1 1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A、B、C、D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是（）A.13 B.26 C.47 D.94BBAS1CDS2CS1S2S3AS3E（图 1）（图 2）（图 3）(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第4页(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第4页（3 3）如图，ABC 为直角三角形，分别以 AB，BC，AC 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（）A.S1+S2 S3 B.S1+S2=S3C.S2+S3 S1D.以上都不是（2 2）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A.S1-S2=S3 B.S1+S2=S3C.S2+S3 S1D.S2-S3=S1例例 2 2：求长度问题：求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。（2 2）在一棵树 10m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘 A 处；另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？DBCA例例 3 3：最短路程问题：最短路程问题（1 1）如图 1，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为 2，AB，CD 分别是两底面的直径，AD，BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是。（结果保留根式）DC（图 1）AB(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第5页(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第5页（2 2）如图 2，有一个长、宽、高为3 米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点 A 要爬到顶点 B，那么这只昆虫爬行的最短距离为。A（图 2）例例 4 4：航海问题：航海问题B（1 1）一轮船以 16 海里/时的速度从 A 港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里/时的速度从 A港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距_海里（2 2）如图 1，某货船以24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点A 处测得某岛 C 在北偏东 60的方向上。该货船航行 30 分钟到达 B 处，此时又测得该岛在北偏东 30的方向上，已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。北CACD60AB30DM东B（图 1）（图 2）（3）如图 2，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风中心，沿BC 方向以 15km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=100km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第6页(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第6页例例 5 5：网格问题：网格问题（1 1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理数的边数是（）A0 B1 C2 D3（2 2）如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对（3 3）如图，小方格都是边长为 1 的正方形,则四边形 ABCD 的面积是()A 25 B.12.5 C.9 D.8.5D DABA AC CCCBAB B（图 1）（图 2）（图 3）例例 6 6：图形问题：图形问题（1 1）如图 1，求该四边形的面积（2 2）（20102010 四川宜宾）四川宜宾）如图 2，已知，在ABC中，A=45，AC=2，AB=3+1，则边 BC 的长为12D134AC3B（图 1）（图 2）（3 3）某公司的大门如图所示,其中四边形 是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3，=2,现有一辆装满货物的卡车,高为 2.5,宽为 1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由.(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第7页(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第7页（4 4）将一根长 24 的筷子置于地面直径为 5，高为 12 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 h，则 h 的取值范围。【培优提高】【培优提高】1.1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（A）4 cm（B）5 cm（C）6 cm（D）10 cmBADC2如图所示，在 RtABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，CD5，求AB的长33.3.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为 3、8、5（在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为 4（在图乙中画一个即可）甲乙4 4下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，65 5在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（）A锐角三角形 B直角三角形(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第8页(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第8页C钝角三角形 D等腰直角三角形6.6.已知ABC是边长为 1 的等腰直角三角形，以 RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰 RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是EDCBAFG7.7.如图，每个小正方形的边长为 1，ABC的三边a,b,c的大小关系式：（A）a c b（B）a b c（C）c a b（D）c b a8（本题满分 10 分）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。定理表述请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（3 分）尝试证明以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以 a、b 为底，以a b为高的直角梯形（如图 2），请你利用图 2，验证勾股定理；（4 分）知识拓展利用图 2 中的直角梯形，我们可以证明BC a b,AD=。a b2.其证明步骤如下：c(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第9页(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第9页又在直角梯形 ABCD 中有 BC AD（填大小关系），即，a b2.c(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第10页(完整)初二数学-勾股定理讲义(经典)-第10页
