(完整版)初中几何辅助线——圆常用辅助线.pdf
初中几何辅助线圆常用辅助线初中几何辅助线圆常用辅助线题型题型 1.1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题勾股定理解题.例例 1 1 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于 C、D 二点.求证：AC=BD证明:过 O 作 OEAB 于 EO 为圆心，OEABAE=BECE=DEOAC=BDACEDB练习：练习：如图，AB 为O 的弦，P 是 AB 上的一点，AB=10cm，PA=4cm.求O 的半径.OBPA题型题型 2.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例例 2 2 如图，已知 AB 是O 的直径，M、N 分别是 AO、BO 的中点，CMAB,DNAB,求证：证明：（一）连结 OC、ODM、N 分别是 AO、BO 的中点OM=CAD11AO、ON=BO22OA=OBOM=ONCMOA、DNOB、OC=ODRtCOMRtDONCOA=DOBMONB（二）连结 AC、OC、OD、BDM、N 分别是 AO、BO 的中点AC=OCBD=ODOC=ODAC=BD-1-(完整版)初中几何辅助线圆常用辅助线-第1页(完整版)初中几何辅助线圆常用辅助线-第1页题型题型 3.3.有弦中点时常连弦心距有弦中点时常连弦心距例例 3 3 如图，已知 M、N 分别是O 的弦 AB、CD 的中点,AB=CD，求证：AMN=CNM证明：连结 OM、ONCO 为圆心，M、N 分别是弦 AB、CD 的中点AOMABONCDAB=CDNMOM=ONOOMN=ONMAMN=90oOMNDBoCNM=90 ONMAMN=CNM题型题型 4.4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例例 4 4 如图，已知O1与O2为等圆，P 为 O1、O2的中点，过 P 的直线分别交O1、O2于 A、C、D、B.求证：AC=BD证明：过 O1作 O1MAB 于 M,过 O2作 O2NAB 于 N，则 O1MO2NO1MO1PO2NO2PAMO1CPDNO1P=O2PO1M=O2NAC=BDO2B题型题型 5.5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：连结过弧中点的半径连结过弧中点的半径连结等弧所对的弦连结等弧所对的弦连结等弧所对的圆心角连结等弧所对的圆心角例例 5 5 如图，已知D、E 分别为半径 OA、OB 的中点，C 为弧 AB 的中点，求证：CD=CE证明：连结 OCC 为弧 AB 的中点AB BCAOC=BOCD、E 分别为 OA、OB 的中点，且 AO=BOODACEB11OD=OE=AO=BO22又OC=OCODCOECCD=CE结论结论 1.1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半.结论结论 2.2.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.结论结论 3.3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.-2-(完整版)初中几何辅助线圆常用辅助线-第2页(完整版)初中几何辅助线圆常用辅助线-第2页例例 6 6 如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，P 为 AC 延长线上一点，且AC=PC,PB 的延长线交O 于 D，求证：AC=DC证明：连结 ADAB 为O 的直径ADP=90oAC=PCAC=CD=DBOACP1AP2练习：如图，在RtABC 中，BCA=90o,以 BC 为直径的O 交 AB 于 E，D 为 AC 中BCCFBEEF题型题型 6.6.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.题型题型 7.7.有等弧时常作辅助线有以下几种：有等弧时常作辅助线有以下几种：点，连结 BD 交O 于 F.求证：作等弧所对的弦作等弧所对的弦作等弧所对的圆心角作等弧所对的圆心角作等弧所对的圆周角作等弧所对的圆周角练习：1.如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，交点为E，F 为 DC 延长线上一点，连结AF 交O 于M.求证：AMD=FMC(提示：连结 BM)2.如图，ABC 内接于O，D、E 在 BC 边上，且 BD=CE，1=2，求证：AB=AC（提示如图）FAM12COBABCEDOEGFD2题图1题图题型题型 8.8.有弦中点时，常构造三角形中位线有弦中点时，常构造三角形中位线例例 7 7 已知，如图，在O 中，ABCD，OEBC 于 E，求证：OE=证明：作直径 CF，连结 DF、BFCF 为O 的直径CDFD又CDABABDF1AD2ACOEDAD BFAD=BFOEBCO 为圆心CO=FOCE=BEFB1BF21OE=AD2OE=-3-(完整版)初中几何辅助线圆常用辅助线-第3页(完整版)初中几何辅助线圆常用辅助线-第3页题型题型 9.9.圆上有四点时，常构造圆内接四边形圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例例 8 8 如图，ABC 内接于O，直线 AD 平分FAC，交O 于 E，交 BC 的延长线于 D，求证：ABAC=ADAE证明：连结 BE1=32=1E3=2F四边形 ACBE 为圆内接四边形A31OACD=E2ABEADCAEABACADABAC=ADAEBCD题型题型 10.10.两圆相交时，常连结两圆的公共弦两圆相交时，常连结两圆的公共弦例例 9 9 如图，O1与O2相交于 A、B，过 A 的直线分别交O1、O2于 C、D，过 B 的直线分别交O1、O2于 E、F.求证：CEDFD证明：连结 ABA四边形为圆内接四边形CABF=CO2O1同理可证：ABE=DABF ABE=180oFEBoCD=180CEDF题型题型 11.11.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可这条直线垂直即可.如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可于半径的长即可.例例 1010 如图，P 为O 外一点，以 OP 为直径作圆交O 于 A、B 两点，连结 PA、PB.求证：PA、PB 为O 的切线证明：连结 OAAPO 为直径POPAO=90oOAPABOA 为O 的半径PA 为O 的切线同理：PB 也为O 的切线例例 1111如图，同心圆 O，大圆的弦 AB=CD，且 AB 是小圆的切线，切点为E，求证：CD 是小圆的切线证明：连结 OE，过 O 作 OFCD 于 FDFOE 为半径，AB 为小圆的切线OEABCOOFCD,AB=CDBOF=OEAECD 为小圆的切线-4-(完整版)初中几何辅助线圆常用辅助线-第4页(完整版)初中几何辅助线圆常用辅助线-第4页练习：如图，等腰ABC，以腰 AB 为直径作O 交底边 BC 于 P，PEAC 于 E,求证：PE 是O 的切线AOECBP题型题型 12.12.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例例 1212 如图，在 RtABC 中，C=90o，AC=12，BC=9，D 是 AB 上一点，以 BD 为直径的O切 AC 于 E，求 AD 长.解：连结 OE，则 OEACBCACOEBCOEAOBCAB在RtABC中，AB=AC2 BC21229215CEOEAB OB15OE9AB1545OE=OB=845BD=2OB=44515AD=ABDB=15=4415答：AD 的长为.4ADOB练习：如图，O 的半径 OAOB，点 P 在 OB 的延长线上，连结 AP 交O 于 D，过 D 作O 的切线 CE 交 OP 于 C，求证：PC=CDPCBODEA-5-(完整版)初中几何辅助线圆常用辅助线-第5页(完整版)初中几何辅助线圆常用辅助线-第5页
