人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版).pdf

人教版高中数学 空间向量及其运算_1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1空间向量的有关概念名称零向量单位向量相等向量相反向量概念模为 0 的向量长度(模)为 1 的向量方向相同且模相等的向量方向相反且模相等的向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合平行于同一个平面的向量表示0a ab ba a的相反向量为a aa ab b共线向量共面向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理1人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第1页人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第1页(1)共线向量定理：(2)共面向量定理：(3)空间向量基本定理：3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a a，b b，在空间任取一点O，作OAa a，OBb b，则AOB叫做向量a a与b b的夹角，记作a a，b b，其范围是 0a a，b b，若a a，b b，则称a a与b b互相垂直，记作a a2b b.两向量的数量积已知空间两个非零向量a a，b b，则|a a|b b|cosa a，b b叫做向量a a，b b的数量积，记作a a b b，即a a b b|a a|b b|cosa a，b b(2)空间向量数量积的运算律结合律：交换律：分配律：4空间向量的坐标表示及其应用设a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3).数量积共线垂直模向量表示坐标表示a ab ba ab b(b b0)a ab b0(a a0，b b0)|a a|a a，b b(a a0，b b0)夹角规律方法：2人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第2页人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第2页1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求如本例用OA，OB，OC表示OG，MG等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量来源:Zxxk.Com(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和3.数量积的应用：(1)求夹角，设向量a，b所成的角为，则 cos ，进而可求两异面直线所成的角；|a|b|(2)求长度(距离)，运用公式|a|aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题2ab类型一类型一空间向量的线性运算空间向量的线性运算例：例：如图 3-1-6,已知平行六面体ABCD ABCD.求证:AC AB AD 2AC.3人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第3页人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第3页练习：如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1a，ABb，ADc，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：AP,A1N 练习 2：【2015 高考新课标 2，理 13】设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数 _类型二类型二共线定理、共面定理的应用共线定理、共面定理的应用例例 2 2：射线 AB、AC、AD 不共面,连结 BC、CD、DB,取 AB、BC、CD、DA 的中点 E、F、G、H,如图3-1-20,试判断四边形 EFGH 的图形形状,并用向量的方法证明.4人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第4页人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第4页练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a a=(2,1)，b=b=(1,2),若ma a+nb b=(9,8)(m,n R),则m n的值为_.类型三类型三空间向量数量积的应用空间向量数量积的应用例例 3 3：已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值5人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第5页人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第5页练习 1：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.求BD1与AC夹角的余弦值1（2014广东卷）已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成 60夹角的是()A(1，1，0)2在下列命题中：若向量a a，b b共线，则向量a a，b b所在的直线平行；若向量a a，b b所在的直线为异面直线，则向量a a，b b一定不共面；若三个向量a a，b b，c c两两共面，则向量a a，b b，c c共面；已知空间的三个向量a a，b b，c c，则对于空间的任意一个向量p p总存在实数x，y，z使得p pxa ayb bzc c.其中正确命题的个数是()A06B(1，1，0)C(0，1，1)D(1，0，1)B1C2D3人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第6页人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第6页3.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直C异面B平行D相交但不垂直3114.O为空间任意一点，若OPOAOBOC，则A，B，C，P四点()488A一定不共面C不一定共面B一定共面D无法判断_基础巩固（基础巩固（1 1）1已知a a(2，1，3)，b b(1，2，1)，若a a(a ab b)，则实数 的值为()A22.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AEAF的值为()Aa3若向量c c垂直于不共线的向量a a和b b，d da ab b(，R R，且 0)，则()Ac cd dBc cd dCc c不平行于d d，c c也不垂直于d dD以上三种情况均有可能7214B3C.145D2 12B.a212C.a4D.32a4人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第7页人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第7页4已知a a，b b，c c是空间的一个基底，a ab b，a ab b，c c是空间的另一个基底，一向量p p在基底a a，b b，c c下的坐标为(4，2，3)，则向量p p在基底a ab b，a ab b，c c下的坐标是()A(4，0，3)C(1，2，3)5.已知 2a ab b(0，5，10)，c c(1，2，2)，a ac c4，|b b|12，则以b b，c c为方向向量的两直线的夹角为_6.已知a a(2，1，3)，b b(1，4，2)，c c(7，5，)，若a a，b b，c c三个向量共面，则实数 等于_能力提升（能力提升（2 2）7.在四面体OABC中，OAa a，OBb b，OCc c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE_(用B(3，1，3)D(2，1，3)a a，b b，c c表示)8.A，B，C，D是空间不共面四点，且ABAC0，ACAD0，ABAD0，则BCD的形状是_三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)9.已知空间中三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a aAB，b bAC.(1)若|c c|3，且c cBC，求向量c c.(2)求向量a a与向量b b的夹角的余弦值 8人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第8页人教版高中数学选修2第6讲：空间向量及其运算(学生版)-第8页