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双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程教学目标（一）教学知识点双曲线的有关概念.（二）能力训练要求使学生巩固对双曲线概念的掌握.（三）德育渗透目标使学生认识到一切事物“变”是绝对的，而“不变”是相对的，从“变”中认识“不变”，以“不变”应“万变”.教学重点双曲线的有关概念教学难点从“变”中认识“不变”教学方法师生共同讨论法通过对例题的共同讨论，使学生对形“变”而质“不变”有深刻的认识，达到突破难点之目的.教具准备投影片三张第一张：课本 P106 例 3（记作8.3.2 A）第二张：本课时教案的例 4、例 5（或上节课后的思考题）（记作8.3.2 B）第三张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作8.3.2 C）教学过程.课题导入师上节课我们学习了双曲线的定义、标准方程以及方程中 a、b、c 三者之间的关系，请同学们回忆一下这些基本内容.生平面到两个定点F1、F2 的距离的差的绝对值为常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.师其标准方程是怎样的？x2y2212b生a(a0,b0)y2x2212ab或(a0,b0)师双曲线中 a、b、c 三者之间的关系是怎样的？生a2+b2=c2师求双曲线的标准方程时关键是什么？生关键是确定 a、b 的值.师好，对双曲线的有关概念从同学们回答的问题看，大家掌握得比较好，下面我们来看几个例子.（打出投影片8.3.2 A）.讲授新课人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程1-第1页人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程1-第1页师（读题）同学们已经作了预习，请回答在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2 s，能说明什么问题？生由于声音传播有速度，因此在A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2 s，说明爆炸点距 A处较远，且距 B 处较近，爆炸点到 A 处的距离与它到 B 处的距离的差是常数.师那么由此可以知道爆炸点在怎样的曲线上？生甲爆炸点在以 A、B 为焦点的双曲线上，且爆炸点在离 B 处接近的一支上.师甲同学分析的有道理吗？全面吗？谁还有不同意见？生乙我认为甲同学分析的虽有道理但不全面，由题意只能知道爆炸点到 A 处的距离与它到 B 处的距离的差总是一个常数，但未说明这个常数小于A、B 两处的距离，因此，爆炸点还有可能在线段 AB 的延长线上或无轨迹.师乙同学分析的很好，看来他（她）对双曲线定义的掌握已经是非常熟练了，希望大家以后一定要勤于思考，善于发表自己的见解，在学习中形成一种争鸣的氛围，这样你们一定会有很大提高的.师对于第二问，大家要在第一问的基础上结合第二问中的已知条件作出准确判断，谁来分析一下？生丙由于 A、B 两地之间距离为 800 m,声速为 340 m/s，所以可知 3402=680800 即爆炸点一定在以 A、B 为焦点的双曲线上且在距离 B 处较近的一支上.师丙同学分析的很好，下面请大家完成解答过程.（学生在下面做，请一位同学在黑板上板书，教师讲评）师我们求出了满足条件的爆炸点所在曲线方程，但能确定爆炸点的准确位置吗？生不能，因为双曲线右支上任意一点都符合题意.师本例说明利用两个不同的观测点，测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在双曲线方程，但不能确定爆炸点的准确位置，而现实生活中为了安全，我们最关心的则是炮弹爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这一问题呢？生在前面问题的基础上再增设一个观测点 C，利用 B、C（或 A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定出爆炸点的准确位置.师好，非常正确，给大家一个自己命题的机会，将例 3 做怎样的补充就可以变成一个求爆炸点的准确位置的题目呢？（学生思考，似乎很简单却又一时构建不出来）师请将这个问题留到课下再解决讨论，希望大家通过研讨有所收获.师我们一起再来思考一个问题，如果 A、B 两处同时听到爆炸声，说明爆炸点到 A、B 两处的距离相等，那么爆炸点应在什么曲线上呢？生线段 AB 的垂直平分线上.师好，我们来看一个题目.（打出投影片8.3.2 A）x2y21例 4已知方程2 mm 1表示双曲线，求 m 的取值范围.师请一位同学上来板书，其余同学在下面练习.2 m 0生丁据题意得m1 0解之：m-1.m 的取值范围为 m-1.人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程1-第2页人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程1-第2页师生丁做得正确吗？生正确.师请大家再仔细考虑考虑.2 m 0生戊生丁的解答不完善，当m1 0取 m-2 时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线，因此 m 的取值范围应是 m-1 或 m-2.x2y21m 2m 1师生戊的补充使这个题目的解完整了，请大家注意：方程表示的双曲线，其焦点在什么位置，原题中的已知信息并不能确定，当题中并未告诉时，对一切可能的情况都要进行讨论，否则将会出现遗漏现象，导致解答不完善或解答不完全正确.这一点同学们绝对不能忽视.（教师将甲乙两位同学的解答进行整理，给学生一个完整系统的印象）师再来分析这样一个题目.（打出投影片8.3.2 B）(x 1)2(y 2)21169例 5方程表示双曲线吗？若是，其中心在哪里？焦点坐标是什么？若不是，说明理由.师读题（学生不知该如何入手，不知该从哪个角度去考虑）师由与椭圆的平移类比考虑，试试看.（教师耐心等待一下，这时学生的思维会处于兴奋状态）(x 1)2(y 2)2x2y211169169生己方程表示双曲线，这个方程可以看作是将双曲线按向量(1,-2)平移得到的曲线的方程，而平移是不改变曲线的形状和性质的，所以方程表示双曲线，其中心在（1，-2），焦点坐标是（-4，-2），（6，-2）.师生己所谈方程表示双曲线及其为什么表示双曲线的理由正确吗？生正确.x2y21（还有部分同学若转不过弯来，不妨让学生试着将双曲线169按向量（1，-2）平移一下，若必要的话，师生可一起做一下平移过程）师中心在（1，-2）是什么道理呢？x2y21生将双曲线169按向量（1，-2）平移，曲线的中心（0，0）也按向量x2y21（1，-2）平移，所以曲线169的中心从（，）移到了（1，-2）.师回答完全正确，焦点坐标是怎样得到的呢？人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程1-第3页人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程1-第3页x2y2x2y211169169生庚双曲线的焦点是（-5，0）、（5，0）将双曲线按向量(1,-2)平移，它的焦点相应的也按向量（1，-2）平移，用平移公式得平移后的焦点坐标是（-4，-2）、（6，-2）.x2y21169生辛也可以这样考虑：既然是平移，而平移不改变曲线的形状、性质，又的焦点在 x 轴上离中心 5 个长度单位，所以平移后，焦点在过中心平行于 x 轴的直线上离中心的距离仍然不变，也是 5 个长度单位，据此可写出焦点坐标.师生庚、生辛的回答都是正确的，我们每一位同学都应该养成善于动脑联想、善于类比归纳的学习习惯.化生疏为熟悉，进而达到解决问题的目的，请注意：已知中给出的方程称为双曲线的标准型方程.课堂练习课本 P107 练习 3x2y21259证明椭圆与双曲线 x2-15y2=15 的焦点相同.x2y21259证明：在椭圆中有 c2=a2-b2c2=25-9=16椭圆的焦点坐标为 F1（-4，0）、F2（4，0）在双曲线 x2-15y2=15 中有c2=a2+b2c2=15+1=16双曲线的焦点坐标为 F1（-4，0）、F2（4，0）故得证.课时小结本节课我们继续讨论了求双曲线的标准方程，以及双曲线标准方程中参变量范围的确定方法和双曲线平移后的知识.对于前者，由于有问题的实际意义，所以为双曲线知识的应用作出了启示，让我们看到了双曲线在实际生活中的一个重要应用，体现了“理论源于实践，又用于实践”这一辩证唯物主义观点，对于后者，要从参数的变化、方程形式的变化中，把握其不变的特性.课后作业（一）课本 P108 习题 8.3 4、5、6（二）1.预习内容：预习课本 P1088.4 双曲线的简单几何性质至 P111 例 1 结束.2.预习提纲：（1）依照讨论椭圆的几何性质的方法和步骤，推出双曲线的几何性质，即范围、对称性、顶点、离心率及它们变化对曲线的影响.（2）实轴、虚轴的概念，a、b、c 的几何意义.（3）渐近线的概念、方程.（4）等轴双曲线的概念.（5）画出双曲线草图的方法.人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程1-第4页人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程1-第4页板书设计人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程1-第5页人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程1-第5页