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高中数学必修2知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE ABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥P ABCDE几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台P ABCDE几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2空间几何体的三视图和直观图（1）定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。；侧视图（从左向右）（2）画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第1页(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第1页3）直观图：斜二测画法4）斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5）用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3空间几何体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）S直棱柱侧面积chSS圆柱侧2 rhcS正棱锥侧面积12chS圆锥侧面积rl正棱台侧面积2（c12）hS圆台侧面积(r R)lSS圆柱表2 r r l3）柱体、锥体、台体的体积公式S圆锥表2r r圆台表rl Rl R22V柱Sh台V圆柱Sh rh2V锥1V台(S31Sh3V13r h2圆锥R2)h4）球体的表面积和体积公式：V球=4R；3S球面=R243第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（1）平面 平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；D C 平面的表示：通常用希腊字母、表示，如平面（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。点与平面的关系：点A在平面 内，记作A；点A不在平面 内，记作A点与直线的关系：点A的直线l上，记作：Al；点A在直线l外，记作A l；直线与平面的关系：直线l在平面内，记作l；直线l不在平面内，记作l。（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：A l,B l,A,B l3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第2页(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第2页推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面和相交，交线是a，记作a。符号语言：P AI B AI B l,P l公理3的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a b=accb强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O线中的一条上；般取在两直 两条异面直线所成的角（0，2）；当两条异面直线所成的角是直角时，我2们就说这两条异面直线互相垂直，记作 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。ab；2.1.32.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第3页(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第3页符号表示：Ab=aab2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：aBab=P ab2、判断两平面平行的方法有三种：1）用定义；2）判定定理；3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.32.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：=a ab=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线线L叫做平面足。L与平面互相垂直，记作L，直的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第4页(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第4页注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.32.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图第三章 直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线2、倾斜角的取值范围：3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tan当直线l与x轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线l与x轴垂直时,=90,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成0rb)r2(x0a)(y0b)=r2，点在圆上2(3)(x0a)(y024.1.2圆的 一般方程1、圆的一般方程：x2y2 Dx Ey2、圆的一般方程的特点：(1)x2和y2的系数相同，不等于0没有xy这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线l：ax by c 0，圆C：x2y2Dx Ey F 0，圆的半径为r，圆心(D,E2线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：(1)当d r时，直线l与圆C相离；(2)当d r时，直线l与圆C相切；(3)当d r时，直线l与圆C相交；)到直24.2.2圆与圆的位置关系 两圆的位置关系设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1)当l r1r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当l r1r2时，圆C1与圆C2外切；(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第7页(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第7页3)当|r1r2|l r1r2时，圆C1与圆C2相交；4)当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；4.2.3直线与圆的方程的应用 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：(1)设直线l:Ax By C 0，圆C:x a2 y b2 r2，圆心C a,b到l的距离为dAa Bb C，A2B2则有d r l与C相离；d r l与C相切；d rl与C相交2(2)设直线l:Ax By C 0，圆C:x a方程之后，令其222中的判别式为，则有y br，先将方程联立消元，得到一个一元二次0 l与C相离；0 l与C相切；注：如果0 l与C相交圆心的位置在原点，可使用公式xx02切点坐标，r表示半径。yy0r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论(3)过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0yy0r2(课本命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推 广)4.3.1空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫 做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。4.3.2空间两点间的距离公式1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公 式P1P2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2N1Nx(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第8页(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结-第8页
