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第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念课时一：集合有关概念课时一：集合有关概念1.1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。2.2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。3.3.集合的中元素的三个特性：集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。例：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.3.集合的表示集合的表示：如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。xR|x-32,x|x-32语言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4 4、集合的分类、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：x|x2=55 5、元素与集合的关系：、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R1人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第1页人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第1页课时二、集合间的基本关系课时二、集合间的基本关系1.1.“包含”关系子集“包含”关系子集（1）定义：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集。记作：A B（或B）注意：A B有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。B 或 BA反之:集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A2 2“相等”关系：“相等”关系：A=B (5A=B (55 5，且，且 5 55 5，则，则 5=5)5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1“元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且 A B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作 AB(或 BA)或若集合 AB，存在 xB 且 x A，则称集合 A 是集合 B 的真子集。如果 AB,BC,那么 AC 如果 AB同时 BA 那么 A=B3.3.不含任何元素的集合叫做空集，记为不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1个真子集课时三、集合的运算课时三、集合的运算运算类型交集并集定义由所有属于 A 且属于 B 由所有属于集合 A 或属的元素所组成的集合,于集合 B 的元素所组成叫做 A,B 的交集记作 的集合，叫做 A,B 的并AB（读作A 交 B），集记作：AB（读作即 AB=x|xA，且A 并 B），即 ABxB=x|xA，或 xB)补集全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A的补集（或余集）记作CSA，CSA=x|xS,且xA韦恩图示ABABSA性性质质 A A=AAUA=A AU=AA=AUB=BUAA B=BAAUBA BA A BBAUBB图1图 2(CuA)(CuB)=Cu(AUB)(CuA)U(CuB)=Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=课时四：函数的有关概念课时四：函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使2人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第2页人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第2页对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)，xA（1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；（2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域2函数的三要素：定义域、值域、对应法则3函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(xA)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。（3）函数图像变换的特点：1）函数y=f(x)关于X 轴对称y=-f(x)2）函数y=f(x)关于Y 轴对称y=f(-x)3）函数y=f(x)关于原点对称y=-f(-x)课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2 2定义域定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。3人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第3页人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第3页求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3 3、相同函数的判断方法：、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备)4 4、区间的概念、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示课时六：课时六：1 1值域值域:先考虑其定义域先考虑其定义域（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；（2）反表示法：针对分式的类型，把Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数关系式，由 X 的范围类似求 Y 的范围。(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。课时七课时七1.分段函数（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA)称为f、g 的复合函数。4人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第4页人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第4页（4）常用的分段函数1）取整函数：2）符号函数：3）含绝对值的函数：2映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数课时八函数的单调性课时八函数的单调性(局部性质局部性质)及最值及最值1 1、增减函数、增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2 2、图象的特点图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3 3、函数单调区间与单调性的判定方法、函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：5人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第5页人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第5页1 任取 x1，x2D，且 x11，且nN当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数。此时，a 的 n 次方根用符号表示。当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数 a的正的 n 次方根用符号表示，负的n 的次方根用符号表示。正的n 次方根与负的 n 次方根可以合并成（a0）。注意：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作n0 0。8人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第8页人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第8页当n是奇数时，nan a，当n是偶数时，nan|a|a(a 0)a(a 0)式子叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。3、分数指数幂正数的分数指数幂的amna(a 0,m,n N,n 1)，anm*mn1amn1nam(a 0,m,n N*,n 1)0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义4、有理数指数米的运算性质rrrs（1）aa a(a 0,r,sR)；rsrs(a)a（2）rrs(ab)a a（3）(a 0,r,s R)；(a 0,r,s R)5、无理数指数幂a一般的，无理数指数幂a（a0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。课时十五：指数函数的性质及其特点（课时十五：指数函数的性质及其特点（1 1）1、指数函数的概念：一般地，函数y ax(a 0,且a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1为什么？2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像：（1）（2）（3）（4）（5）图像特征a1a1向、轴正负方向无限延伸图像关于原点和 Y 轴不对称函数图像都在 X 轴的上方函数图象都过定点（0，1）自左向右看图像逐渐自左向右看图像逐渐上升。上升。图像特征0a19人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第9页人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第9页在第一象限内图像纵在第一象限内图像纵坐标都大于 1。坐标都大于 1。在第二象限内图像纵在第二象限内图像纵坐标都小于 1。坐标都大于 1。x0，a 1x0，a 0，a 1x1xx函数值开始增加较慢，函数值开始减小极快，图像上升的趋势愈来图像上升的趋势愈来到了某一值后增长速到了某一值后减小速愈陡。愈陡。度极快。度较慢。课时十六：指数函数的性质及其特点（课时十六：指数函数的性质及其特点（1 1）指数函数的图象和性质a10a1 时，若 X1X2,则有 f(X1)10a111人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第11页人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第11页110101定义域 x0值域为 R在 R 上递增函数图象都过定点（1，0）定义域 x0值域为 R在 R 上递减函数图象都过定点（1，0）（三）幂函数（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如y x(aR)的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当0 1时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于 时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴12人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第12页人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)-第12页
