2023届辽宁省丹东市高三总复习质量测试（二）数学试题含 答案.pdf

按秘密级事项管理丹东市2023届高三总复习质量测试（二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.本试卷共22题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1.己知向量a=(2,1),b=(3,2），则 a(a-b)=A.-5B.-32.不等式_1_1的解集为x+2 c.3B.x阳1D.5A.xlxl,x手2C.xl-2xl3.直线 x+ay-3=0 与直线（a+l)x+2y-6=0平行，则 a=A.-2B.1c.-2或1D.-1或24.古希腊科学家阿基米德发明了享誉世界的极水器，称为阿基米德螺旋泵，两千多年后的今天，左图所示的螺旋泵，仍在现代工农业生产中使用，其依据是“阿基米德螺线”y x 了主班主妻军言三言专茎土去二三；Jl二三三三飞主二雪?在右圈所示的平面直角坐标系x句中，点A匀速离开坐标系原点0，同时又以固定的角速度绕坐标系原点。逆时针转动，产生的轨迹就是“阿基米德螺线”，该阿基米德螺线与坐标轴交点依次为1A1（一1,0),AiO，一勾，A3(3，的，A4(0，的，A5(-S，时，按此规律继续，若四边形A,A，十1A,+,4，叶的面积为220，则 n=A.7B.8C.9数学试题第1页（共4页D.10数学试题答案第1页（共8页）丹东市丹东市 2023 届高三总复习质量测试（二）届高三总复习质量测试（二）数学试题评分参考 一、选择题 1B 2C 3A 4C 5D 6A 7D 8D 二、选择题 9BC 10AC 11ABD 12BCD 三、填空题 137 1422 1512 169 四、解答题 17解：（1）当 n2 时，由 nan1Snn(n1)21 得(n1)anSn1n(n1)21，两式相减得an1an1 由a15，得a2S15，从而an1是以 5 为首项，1 为公差的等差数列 故an1a2(n1)(1)6n 因为 716a1，所以an 5，n1，7n，n2 （5 分）（2）由题设及（1）可知Snnan1n(n1)2112(n6.5)21618 当 n6 和 n7 时，Sn取最大值 20，于是Sn20 （10 分）18解：（1）f(x)2sin(x3)，由2，得 2 列表如下：x 0 12 3 712 56 2x3 3 2 32 2 73 f(x)3 2 0 2 0 3 描点连线，得 f(x)在0，)内的图象简图：数学试题答案第2页（共8页）（6 分）（2）解法 1：由 f(x)在12，712上是减函数知71212T2，因为 T2，所以 2 因为 0，x12，712，所以 x3123，7123 由 02 得31232，3712332，由题意只能1232，从而 2 （12 分）解法 2：因为 0，x12，712，所以 x3123，7123 由题设知123，71232k2，2k32，kZ，从而 1232k2，71232k32 解得 24k2247k2因为 0，所以 247k20，24k2247k2 故712k0，因为 kZ，所以 k0，于是 2 （12 分）19解法 1：（1）因为平面 CDD1C1平面 ABCD，ADDC，所以 AD平面 CDD1C1，D1DC 是二面角D1ADC 的平面角，故D1DC120 连结 DE，则 DEC1D1，从而 DECD又 ADCD，DEADD，所以 CD平面AED，因此 CDAE （6 分）y 12 3 712 563 x O 2 2 数学试题答案第3页（共8页）D1 C B A A1 B1 C1 F E G O D D1 C B A A1 B1 C1 F E D y x zH D1 C B A A1 B1 C1 F E G I D（2）设 AB2，则 DE 3，所以 CEAE AD2DE2 7 连结 AC 交 BD 于点 O，连结 CE 交交 DF 于点 G，连结 OG因为 AE平面 BDF，所以 AEOG，因为 O 为 AC 中点，所以 G 为 CE 中点，故 OG12AE72且直线 OG 与 DF所成角等于直线 AE 与 DF 所成角 在 RtEDC 中，DG12CE72，因为 OD 2，所以 cosOGD(72)2(72)2(2)22727237 因此直线 AE 与 DF 所成角的余弦值为37 （12 分）解法 2：（1）同解法 1（2）设 AB2，则 DE 3，所以 AE AD2DE2 7 取 DC 中点为 G，连结 EG 交交 DF 于点 H，则 EGDD12 连结 AG 交 BD 于点 I，连结 HI，因为 AE平面 BDF，所以 AEIH 直线 HI 与 DH 所成角等于直线 AE 与 DF 所成角 正方形 ABCD 中，GI13AG，DI13DB2 23，所以 GH13EG，故 HI13AE73 在DHG 中，GH13EG23，GD1，EGD60，由余弦定理 DH73在DHI 中，cosDHI(73)2(73)2(2 23)22737337 因此直线 AE 与 DF 所成角的余弦值为37 （12 分）解法 3：（1）同解法 1（2）由（1）知 BE平面 ABCD，以 D 为坐标原点，DA为 x 轴正方向，|DA|为 2 个单 位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz 由（1）知 DE 3，得 A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，3)，C1(0，1，3)则CC1(0，1，3)，DC(0，2，0)，AE(2，0，3)，DB(2，2，0)由CFtCC1(0t1)，得DFDCCF(0，2t，3t)数学试题答案第4页（共8页）因为 AE平面 BDF，所以存在唯一的，R，使得AEDBDF，解得 t23，从而DF(0，43，233)所以直线 AE 与 DF 所成角的余弦值为|cos|AEDF|AE|DF|37 （12 分）20解：（1）f(x)定义域为(0，)，f(x)1axx，由 f(12)0 得 a2 若 a2，当 0 x12时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x12时，f(x)0，f(x)单调递减 因此 a2 （4 分）（2）设 g(x)xf(x)(x12)2，则 g(x)lnx2x2f(x)因为 g(e2)2e20，g(12)1ln20，所以存在唯一x0(0，12)，使 g(x0)0，且当 0 xx0时，g(x)0，g(x)单调递减；当x0 x12时，g(x)0，f(x)单调递增，当 1x32时，g(x)0，g(x)单调递减 由 g(x0)0 得 lnx02x02，所以 g(x0)(x012)20 因此当 0 x12时，g(x)g(x0)0 而 g(32)12(ln27ln8e)0，于是当 0 x32时，xf(x)(x12)20 （12 分）21解：（1）法 1：记甲地小白鼠样本 X 值的平均数为-x，方差为s21；记乙地小白鼠样本 X 值的平均数为-y，方差为s22，则-x14，-y21，s216，s2217，所以 120-x90-y21012014902121017 2120s21(-x)290s22(-y)2210 46(1417)2317(2117)27 23 （4 分）法 2：记甲地小白鼠样本的 X 值为x1，x2，x120，平均数为-x，方差为s21；记乙地小白鼠样本的 X 值为y1，y2，y90，平均数为-y，方差为s22 因为-x14，-y21，s216，s2217所以 120-x90-y21012014902121017 由k1120(xk)-x)2120s21，k1120(xk)-x)0，可得 数学试题答案第5页（共8页）k1120(xk)2k1120(xk)-x-x)2 k1120(xk)-x)22(xk-x)(-x)(-x)2 k1120(xk)-x)22(-x)k1120(xk)-x)k1120()-x)2 120s21120(-x)2 3060 同理k190(yk)290s2290(-y)23099，于是 s21210k1120(xk)2k190(yk)23060309921023 （4 分）（2）法 1：因为 234.8，所以 P(12.2X21.8)P(X)0.68 从注射过疫苗的小白鼠取出 N 只，其中产生抗体的有 K 只，则 KB(N，0.68)，P(Kk)C102N0.32N(178)k(k0，1，2，N)当 N102 时，P(K102)0；当 N102 时，P(K102)(178)102C102N0.32N 记(N)(178)102C102N0.32N，则(N)(N1)C102N0.32C102N1N1010.32(N1)由(N)(N1)1 等价于 N1010.32(N1)，当且仅当 N101.320.68149，知当 103N148 时，(N)(N1)；当 N149 时，(N)(N1)；当 N149 时，(N)(N1)；故 N149 或 N150 时，(N)最大，所以 N 的估计值为 149，或 150 （8 分）法 2：因为 234.8，所以 P(12.2X21.8)P(X)0.68 从注射过疫苗的小白鼠取出 N 只，其中产生抗体的有 K 只，则 KB(N，0.68)，P(Kk)C102N0.32N(178)k(k0，1，2，N)当 N102 时，P(K102)0；当 N102 时，P(K102)(178)102C102N0.32N 若 N102，则 P(K102)178102P(K101)P(K101)若 N103，则 (178)102C102N0.32N(178)102C102N10.32N1，(178)102C102N0.32NC102N10.32N1 化简得 0.32(N1)N101，0.32NN102解得 149N150 综上，N 的估计值为 149，或 150 （8 分）数学试题答案第6页（共8页）（3）记 n 只小白鼠检测费用为 Y 元，当 n 只小白鼠全部产生抗体时，Yn9，当 n只小白鼠不都产生抗体时，Y11n9，则 P(Yn9)0.991n，P(Y11n9)10.991n 因此 E(Y)n(n9)0.991n(11n9)(10.991n)n1110(10.009)n9n 因为 n50，所以(10.009)n1C1n0.0091C2n0.0092C3n0.009310.009n 故E(Y)n0.09n9n120.09n9n12.8，当且仅当 n10 时取等号 于是每只小白鼠平均检测费用的最小值约为 2.8 元，n 的估计值为 10 （12 分）【注 1】（2）等价于这个问题：数列an中，an 0，1n102，(178)102C102n0.32n，n102，求使an取最大值时的 n 值【注 2】（2）法 2 若 N102 时的验证不可少【注 3】（2）因为 234.8，所以 P(12.2X21.8)P(X)0.68 从注射过疫苗的小白鼠取出 N 只，其中产生抗体的有 Y 只，则 KB(N，0.68)，P(Kk)C102N0.32N(178)k(k0，1，2，N)（5 分）【以下得以下得 0 分分】因为使 P(Kk)取得最大值时的整数 k102，所以 C102N0.32N(178)102C101N0.32N(178)101，C102N0.32N(178)102C103N0.32N(178)103 化简得 N1011020.320.68，N1021030.320.68解得 149N150.47 因此 N 的估计值为 149，或 150 （5 分）22解法 1：（1）由题设 4a2，a2由a2b2 a32，得 b1 所以 C 的方程为x24y21 （4 分）（2）A(2，0)，B(2，0)，设 M(x1，y1)，则y214x214，所以直线 AM 与 BM 的斜率之积为y1x12y1x12y21x21414 因为直线 BM 与 BN 的斜率之积为34，所以直线 BN 斜率为 AM 斜率的 3 倍 （6 分）数学试题答案第7页（共8页）因为M1(x1，y1)，设 N(x2，y2)，由 y2x223y1x12，y2x24y1x14得x25x182x15，y23y12x15 由对称性知 MN 经过 x 轴上的定点 Q(t，0)，因为y2x2t3y12x155x182x15t3y1(52t)x1(85t)，由y2x2ty1x1t，得 t1，所以 MN 经过定点 Q(1，0)（8 分）所以|S1S212|QA|QB|y1y2 2y1(4x1)2x15(4x21)(4x1)2(2x15)2 14(52x1952x12)264 设 52x1x，因为2x12，所以 1x9设 f(x)x9x，f(x)(x3)(x3)x，因为当 1x3 时，f(x)0，当 3x9 时，f(x)0，所以 6f(x)10 因此|S1S214f(x)226414(62)264 3，当且仅当 x3 取等号，取等号时，x11，y132 于是当 M(1，32)，N(1，32)时，|S1S2取最大值 3 （12 分）解法 2：（1）同解法 1（2）A(2，0)，B(2，0)，设 M(x1，y1)，则y214x214，所以直线 AM 与 BM 的斜率之积为y1x12y1x12y21x21414 因为直线 BM 与 BN 的斜率之积为34，所以直线 BN 斜率为 AM 斜率的 3 倍 （6 分）因为M1(x1，y1)，设 N(x2，y2)，由 y2x223y1x12，y2x24y1x14得x25x182x15，y23y12x15 由y211x214，知x224y22(5x18)24(2x15)29y21(2x15)2(5x18)2369x214(2x15)21，故点 N 在 C 上 数学试题答案第8页（共8页）由对称性知 MN 经过 x 轴上的定点 Q(t，0)，因为y2x2t3y12x155x182x15t3y1(52t)x1(85t)，由y2x2ty1x1t，得 t1，所以 MN 经过定点 Q(1，0)（8 分）可知 MN 不垂直于 y 轴，设 MN：xmy1，联立x24y21 得(m24)y22my30，因为16(m23)0，所以y1，y2m2m23m24，因此|S1S212|QA|QB|y1y24 m23m244(1m2412)214 由(1m2412)21434，得|S1S2 3，当 M(1，32)，N(1，32)时等号成立，于是|S1S2取最大值 3 （12 分）小题详解第1页（共6页）丹东市 2023 届高三总复习质量测试（二）数学小题详解 1已知向量 a(2，1)，b(3，2)，则 a(ab)A5 B3 C3 D5 答案：B 解：a(ab)(2，1)(1，1)2(1)1(1)3 2不等式3x21 的解集为 Ax|x1，x2 Bx|x1 Cx|2x1 Dx|x2 或 x1 答案：C 解：不等式3x21 等价于x1x20，等价于(x1)(x2)0，解集为x|2x1 3直线 xay30 与直线(a1)x2y60 平行，则 a A2 B1 C2 或 1 D1 或 2 答案：A 解：由 12a(a1)，得 a2 或 a1 当 a2 时，l1：x2y30，l2：x2y60，l1l2 当 a1 时，l1：xy30，l2：xy30，l1与l2重合 4古希腊科学家阿基米德发明了享誉世界的汲水器，称为阿基米德螺旋泵，两千多年后的今天，左图所示的螺旋泵，仍在现代工农业生产中使用，其依据是“阿基米德螺线”在右图所示的平面直角坐标系 xOy 中，点 A 匀速离开坐标系原点 O，同时又以固定的角速度绕坐标系原点 O 逆时针转动，产生的轨迹就是“阿基米德螺线”，该阿基米德螺线与坐标轴交点依次为A1(1，0)，A2(0，2)，A3(3，0)，A4(0，4)，A5(5，0)，按此规律继续，若四边形AnAn1An2An3的面积为 220，则 n A7 B8 C9 D10 答案：C 解：如图，凸四边形AnAn1An2An3对角线垂直，故其面积等于 12(nn2)(n1n3)2(n1)(n2)由 2(n1)(n2)220 得 n12，或 n9，因为 nN*，所以 n9 5ABC 中，AC 2，BC 3，A60，则 cosB A22 B12 C12 D22 答案：D 小题详解第2页（共6页）解：由正弦定理3322sin B，得 sinB22，因为 BCAB，所以 cosC22 6设函数 f(x)满足 f(x1)f(x)0，当 0 x1 时，f(x)21x，则 f(log0.58)A2 B1 C1 D2 答案：A 解：由 f(x1)f(x)0 得 f(x2)f(x)因为log0.58log283，所以 f(log0.58)f(3)f(322)f(1)f(0)2，选 A 7若 cos0，2(sin2 5cos)1cos2，则 tan2 A43 B34 C34 D43 答案：D 解法 1：由 2(sin2 5cos)1cos2，得 2cos22sincos2 5cos 因为 cos0，所以15cos25sin1，于是 cos()1，tan2 取，得 tan2，从而 tan22tan1tan243 解法 2：由 2(sin2 5cos)1cos2，得 2cos22sincos2 5cos 因为 cos0，所以 cos2sin 5，设 f(x)cosx2sinx，则 x 是 f(x)的极大值点，因此 f()0得 tan2，从而 tan22tan1tan243 8设函数 yf(x)由关系式 x|x|y|y|1 确定，函数 g(x)f(x)，x0，f(x)，x0则 Ag(x)为增函数 Bg(x)为奇函数 Cg(x)值域为1，)D函数 yf(x)g(x)没有正零点 答案：D 解：可知 f(x)1x2，x0，1x2，0 x1，x21，x1画以下曲线：y2x21(x0，y0)，x2y21(x0，y0)，x2y21(x0，y0)这些曲线合并组成 f(x)图象，是两段以 yx 为渐近线的双曲线和一段圆弧构成 小题详解第3页（共6页）因为 g(x)f(x)，x0，f(x)，x0作 f(x)图象在轴右侧部分包括点(0，1)关于 x 轴对称，得到曲线C1，再作C1关于坐标原点对称，去掉点(0，1)得到曲线C2，C1与C2合并组成 g(x)图象 由 g(x)图象可知，g(x)不是奇函数，g(x)不是增函数，g(x)值域为 R当 x0 时，f(x)图象与 g(x)图象没有公共点，从而函数 yf(x)g(x)没有正零点 9在复平面内，O 为坐标原点，A 为 z1i 对应的点，则 Az 的虚部为i Bz6为纯虚数 C1 3iz 2 DOA2z2 答案：BC 解：z 的虚部为1，选项 A 错误z6(z2)3(2i)38i，是纯虚数，选项 B 正确 1 3iz|1 3i|z|22 2，选项 C 正确OA2|z|22，z22i，OA2z2，选项 D 错误 10如图，玻璃制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1内 部灌进一多半水后封闭，仅让底面棱 BC 位于水平 地面上，将容器以 BC 为轴进行旋转，水面形成四 边形 EFGH，忽略容器壁厚，则 AA1D1始终与水面 EFGH 平行 B四边形 EFGH 面积不变 C有水部分组成的几何体不可能是三棱柱 DAEBF 为定值 答案：AC 解：可知 BC水面 EFGH，因为A1D1BC，所以A1D1始终与水面平行，选项 A 正确 EHFG，EF 改变，水面所在四边形 EFGH 面积改变，选项 B 错误 有水部分组成的几何体为棱柱，因为水的体积大于一半容器容积，所以不可能是三棱柱，选项 C 正确 有水部分的棱柱体积不变，高 BC 也不变，所以底面面积不变，所以当且仅当 E，F 分别在棱 AA1，BB1上时，AEBF 是定值（反例可否定），选项 D 错误 11设 M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线 C：x24y 上两点，F 为 C 的焦点，直线 MN 经过点D(0，6)，则 A若|MF|3，则|NF|19 BC 在点 M 处的切线经过点(x12，0)CMFN 为钝角 D若|DM|DN|48，则|x1x2|4 答案：ABD 解：MN 不垂直于 x 轴，可设 ykx6，联立x24y 得x24kx240，16k2960，所以x1x24k，x1x224 因为 F(0，1)，若|MF|3，则y12，而y1y2x214x224(x1x2)21636，故y218，|NF|19，选项 A 正确 A1 B1 C1 D1 A B C D E F G H 小题详解第4页（共6页）由 yx2知 C 在点 M 处的切线方程为 yx214x12(xx1)，即 yx12(xx12)，经过点(x12，0)，选项 B 正确 由 F(0，1)得FMFNx1x2(kx15)(kx25)(k21)x1x25k(x1x2)2514k2，而M，N，F 不共线，当|k|12时，MFN 为锐角，当|k|12时，MFN 为直角，当|k|12时，MFN 为钝角，选项 C 错误|DM|DN|DMDNx1x2(y16)(y26)(k21)x1x224(k21)由 24(k21)48，得 k1，即x1x24，选项 D 正确 12函数 f(x)x3ax29x1 的导函数 f(x)满足 f(x)f(2)，则 Af(0.56)f(3.43)6 Bf(ln10)f(3ln2)Cf(3)f(23)Df(2 3)f(e10)答案：BCD 解：由 f(x)3(x1)(x3)可知 f(x)在(，1)单调递增，在(1，3)单调递减，在(3，)单调递增，且 f(x)图象关于点(2，3)中心对称 由对称性得 f(0.56)6f(3.44)，从而 f(0.56)f(3.43)6 等价于 f(3.43)f(3.44)，因为 33.433.45，选项 A 错误 因为 1ln103，13ln23，而 ln10(3ln2)ln20e30，所以 ln103ln2，因此 f(ln10)f(3ln2)，选项 B 正确 当 0 x1 时，g(x)f(x)f(2x)单调递增，所以 g(x)g(1)0，即 f(x)f(2x)，因为 031，所以 f(3)f(23)，选项 C 正确 当 x2 3时，x24x10，所以 f(x)x(x24x1)2(x24x1)33，从而 f(2 3)f(2 3)，f(e10)f(2 3)等价于 f(e10)f(2 3)，因为 2 3e101，所以 f(2 3)f(e10)，选项 D 正确 13若集合 A1，2，3，4，B2，3，4，5，则 AB 真子集的个数为_ 答案：7 解：AB2，3，4，真子集的个数为C03C13C232317 14如图，电商平台售卖的木制“升斗”，底部封闭，上部开口，把该升斗看作一个正四棱台，该四棱台侧棱与底面成角的余弦值为_ 答案：22 解：该四棱台侧棱与底面成角的余弦值为(4022)221822 小题详解第5页（共6页）15等比数列an前 6 项中的两项分别为 1，2，记事件 A：a30，事件 B：an既不是递增数列也不是递减数列，则 P(A|B)_ 答案：12 解：若等比数列an既不是递增数列也不是递减数列，则公比为负数因为an前 6 项中的两项分别为 1，2，所以 1，2 只能是an的第 1，3，5 项或第 2，4，6 项中的两项 事件 AB：若a30，则an的第 1，3，5 为负，第 2，4，6 项为正，共有A23种可能 事件 B：1，2 是an第 1，3，5 项或第 2，4，6 项中的两项，有 2A23种可能 所以 P(A|B)P(AB)P(B)A232A2312 16对 20 进行“乘以 2”或“减去 3”的一种运算，对得到的结果再进行“乘以 2”或“减去 3”的一种运算，一直进行这样运算，每进行一种运算记作一次运算，已知运算n 次后，得到结果为 49，则 n 的最小值为_ 答案：16，数学建模后，知 n 值最小的运算顺序为(203333)2322349 解法 1：画“树状图”可知得到结果 49 时 n 的最小值为 9，运算顺序为(203333)2322349 解法 2：由 49 为奇数且不为 3 的倍数，得第 n 次运算为“523”，且最小的 n 值应使“乘以 2”运算的次数最少设 n 次运算中有 k(1kn1)次是“乘以 2”，第ak次是“乘以 2”运算，其中 1a1a2akn1，则 203(a11)23(a2a11)23(a3a21)23(nak)49 小题详解第6页（共6页）（1）当 k1 时，由203(a11)23(na1)49，得 493a13n52，na11，无解（2）当 k2 时，由203(a11)23(a2a11)23(na2)49，得 6a13n3a249，无解 （3）当 k3 时，由203(a11)23(a2a11)23(a3a21)23(na3)49，得 4a12a2a3n51 因为 1a1a2a3n1，所以a16，n8 若 n8，则 4a12a2a343，只能a37，此时 2a1a218 无解 若 n9，当a16 时，2a2a318 无解；当a15 时，a27，a38，运算顺序为(203333)2322349 于是 n 的最小值为 9