2023届高考数学专项练习数列求和与递推综合归类含答案.pdf

数列求和与递推综合归类目录目录重难点题型归纳1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练29重难点题型归纳重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法等差与等比型累加法【典例分析】1.1.(等差累加法)已知数列 an中，已知a1=2，an+1-an=2n，则a50等于()A.2451B.2452C.2449D.24502.2.(等比累加法)已知数列 an满足a1=2，an+1-an=2n，则a9=()A.510B.512C.1022D.10242023届高考数学专项练习【技法指引】【技法指引】对于递推公式为an-an-1=f n，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：anan-1=g(n)(n2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列 annN*是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a1、数列 a2n的第2项、数列an2的第5项恰好构成等比数列，则数列 an的通项公式为()A.an=2n-1B.an=2n+1C.an=n-1D.an=n+12.已知数列 an中，a1=1，前n项和Sn=n+23an，则 an的通项公式为.题型二换元型累加、累积法换元型累加、累积法【典例分析】1.1.已知数列 an满足：a1=13，(n+1)an+1-nan=2n+1，nN*，则下列说法正确的是()A.an+1anB.an+1anC.数列 an的最小项为a3和a4D.数列 an的最大项为a3和a4【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列 an中，a1=2，an+1n+1=ann+ln 1+1n，则an=()A.a8B.2+n-1lnnC.1+n+lnnD.2n+nlnn2.已知数列 an满足a1=32，an=nn-1an-1-n2n.(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 an的前n项和为Sn，求满足Sn12的所有正整数n的取值集合.题型三周期数列型递推周期数列型递推【典例分析】1.1.已知数列 an满足 a1=2，an+1=1+an1-an，(n N*)，则 a1 a2 a3 a2009 a2010=_ _【变式演练】1.数列an中，a1=1，a2=3，an+1=an-an-1(n2,nN*)，那么a2019=()A.1B.2C.3D.-32.数列 an的首项a1=3，且an=2-2an-1n2，则a2021=()A.3B.43C.12D.-2题型四【二阶等比数列型递推二阶等比数列型递推【典例分析】1.1.已知数列 an满足a1=2,且an=2an-1-1(n2,nN+)，则an=_【变式演练】1.已知数列 an中，a1=1，an=3an-1+4(nN且n2)，则数列 an通项公式an为()A.3n-1B.3n+1-2C.3n-2D.3n2.已知数列an满足：an+1=2an-n+1(nN*)，a1=3.(1 1)证明数列bn=an-n(nN*)是等比数列，并求数列an的通项；(2 2)设cn=an+1-ananan+1，数列cn的前n项和为Sn，求证：Sn1，a7a81，a7-1a8-10.则下列结论正确的是(多选题)A.0q1B.a7a91，且a2020a20211，a2020-1a2021-10，下列结论正确的是(多选题)A.S2020S2021B.a2020a2022-1-x2+2x+t成立，求t的范围【变式演练】2.已知 an为等比数列，且 a1a2021=1，若 f x=21+x2，求 f a1+f a2+f a3+f a2021的值题型十分组求和型分组求和型【典例分析】1.1.已知等比数列 an的公比大于1，a2=6，a1+a3=20.(1)求 an的通项公式；(2)若bn=an+1log3an+12log3an+22，求 bn的前n项和Tn.【技法指引】【技法指引】对于an+bn结构，利用分组求和法【变式演练】1.设Sn为数列 an的前n项和，已知an0，a2n+2an=4Sn+3 nN*，若数列 bn满足b1=2，b2=4，b2n+1=bnbn+2nN*(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)设cn=1Sn,n=2k-1,kN*bn,n=2k,kN*求数列 cn的前n项的和Tn.题型十一错位相减型求和错位相减型求和【典例分析】1.1.已知数列 an满足a1=2，且 an+1-3 an+1+4=0，nN N*.(1)求证：数列1an-1 是等差数列；(2)若数列 bn满足bn=2n+1an-1，求 bn的前n项和.【技法指引】【技法指引】对于anbn结构，其中an是等差数列，bn是等比数列，用错位相减法求和；思维结构结构图示如下【变式演练】1.已知等比数列 an的首项 a1=1，公比为 q，bn是公差为 d d0的等差数列，b1=a1，b3=a3，b2是b1与b7的等比中项(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn的前n项和为Sn，数列 cn满足ncn=a2nSn，求数列 cn的前n项和Tn题型十二正负相间型求和正负相间型求和【典例分析】1.1.已知数列 an各项均为正数，且a1=2，an+12-2an+1=an2+2an(1)求 an的通项公式(2)设bn=-1nan，求b1+b2+b1+b20【变式演练】1.设等差数列 an的前n项和为Sn，已知a3+a5=8,S3+S5=10.(1)求 an的通项公式；(2)令bn=(-1)nan，求数列 bn的前n项和Tn.题型十三无理根式型裂项相消求和无理根式型裂项相消求和【典例分析】1.1.设数列 an的前n项和为Sn，且满足2Sn=3an-3(1)求数列 an的通项公式：(2)若bn=an3,n为奇数1log3an+log3an+2,n为偶数，求数列和 bn的前10项的和【变式演练】1.设数列 an的前n n项和Sn满足2Sn=nan+n，nN+，a2=2，(1 1)证明：数列 an是等差数列，并求其通项公式(2 2)设bn=1anan+1+an+1an，求证：Tn=b1+b2+bn1.题型十四指数型裂项相消指数型裂项相消【典例分析】1.1.已知数列 an的前n项和为Sn，且Sn=2an-1.(1)求an；(2)设bn=anan+1-1 an+2-1，求数列 bn的前n项和Tn.【变式演练】1.数列 an满足：a1+2a2+3a3+n-1an-1=2+n-22nn2.(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn=anan-1an+1-1，Tn为数列 bn的前n项和，若Tnm2-3m+3恒成立，求实数m的取值范围.题型十五等差指数混合型裂项等差指数混合型裂项【典例分析】1.1.已知数列 an满足Sn=n a1+an2，其中Sn是 an的前n项和.(1)求证：an是等差数列；(2)若a1=1,a2=2，求bn=2n1-ananan+1的前n项和Tn.【变式演练】2.已知等比数列 an的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足 a4=4a23，数列 Sn的前 n项之积为bn，且1Sn+2bn=1(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)设dn=bn+2anbnbn+1，若数列 dn的前n项和Mn，证明：730Mn13题型十六裂和型裂项相消裂和型裂项相消【典例分析】1.1.已知数列 an的满足a1=1，am+n=am+anm,nN N*.(1)求 an的通项公式；(2)记bn=(-1)n2n+1anan+1，数列 bn的前2n项和为T2n，证明：-1T2n-23.【技法指引】【技法指引】正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：-1npn+qkn+bk(n+1)+b=-1nt1kn+b+1k(n+1)+b【变式演练】1.记正项数列 an的前n项积为Tn，且1an=1-2Tn(1)证明：数列 Tn是等差数列；(2)记bn=-1n4n+4TnTn+1，求数列 bn的前2n项和S2n题型十七分离常数型裂项分离常数型裂项【典例分析】1.1.已知等差数列 an的前n项和为Sn，若S8=4a4+20，且a5+a6=11.(1)求 an的通项公式；(2)设bn=n2+n+1anan+1，求 bn的前n项和Tn.【变式演练】1.已知等差数列 an的通项公式为an=2n-c c2，记数列 an的前n项和为SnnN*，且数列Sn为等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列4Snanan+1 的前n项和为TnnN*，求 Tn的通项公式好题演练好题演练好题演练1.(山东省泰安市2023届高三二模数学试题)已知数列 an的前n项和为Sn，a1=2，an0，anan+1=4Sn.(1)求an；(2)设bn=-1n 3n-1，数列 bn的前n项和为Tn，若kN*，都有T2k-1T2k成立，求实数的范围.2.(2023全国模拟预测)已知正项数列 an满足a1=1，an+1an=1+1n.(1)求证：数列 a2n为等差数列；(2)设bn=1a2nan+1+ana2n+1，求数列 bn的前n项和Tn.3.(2023全国学军中学校联考二模)设数列 an满足an+1=3an-2an-1n2,a1=1,a2=2.(1)求数列 an的通项公式；(2)在数列 an的任意ak与ak+1项之间，都插入k kN*个相同的数(-1)kk，组成数列 bn，记数列 bn的前n项的和为Tn，求T27的值.4.(2023全国长郡中学校联考二模)已知正项数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an=Sn+Sn-1(nN N*且n2).(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列an+22nanan+1 的前n项和为Tn，求证：Tn1.5.(2023四川攀枝花统考三模)已知等差数列 an的公差为d d0，前n项和为Sn，现给出下列三个条件：S1,S2,S4成等比数列；S4=32；S6=3 a6+2.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求数列 an的通项公式；(2)若bn-bn-1=2ann2，且b1=3，设数列1bn 的前n项和为Tn，求证：13Tn0，所以an=1+n-1d，所以a2n=1+2n-1d，an2=1+n2-1d，又a1、数列 a2n的第2项、数列 an2的第5项恰好构成等比数列，即1，1+3d，1+24d构成等比数列，所以 1+3d2=1 1+24d，解得d=2，d=0(舍去)，所以an=2n-1.故选：A.2.已知数列 an中，a1=1，前n项和Sn=n+23an，则 an的通项公式为.【答案】an=n n+12【分析】由Sn=n+23an，变形可得则Sn-1=n+13an-1，两式相减变形可得anan-1=n+1n-1，又由an=anan-1an-1an-2a2a1a1，计算可得an=n(n+1)2，验证a1即可得答案【详解】根据题意，数列an中，a1=1，Sn=n+23an(nN*)，Sn=n+23an，Sn-1=n+13an-1，-可得：an=(n+2)an3-(n+1)an-13，变形可得：anan-1=n+1n-1，则an=anan-1an-1an-2a2a1a1=n+1n-1nn-2311=n(n+1)2；n=1时，a1=1符合an=n(n+1)2；故答案为：an=n(n+1)2题型二换元型累加、累积法换元型累加、累积法【典例分析】1.1.已知数列 an满足：a1=13，(n+1)an+1-nan=2n+1，nN*，则下列说法正确的是()A.an+1anB.an+1anC.数列 an的最小项为a3和a4D.数列 an的最大项为a3和a4【答案】C【详解】令bn=nan，则bn+1-bn=2n+1，又a1=13，所以b1=13，b2-b1=3，b3-b2=5，bn-bn-1=2n-1，所以累加得bn=13+n-13+2n-12=n2+12，所以an=bnn=n2+12n=n+12n，所以an+1-an=n+1+12n+1-n+12n=n-3n+4n n+1，所以当n3时，an+13时，an+1an，即a1a2a3=a4a5an，所以数列 an的最小项为a3和a4，故选：C.【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列 an中，a1=2，an+1n+1=ann+ln 1+1n，则an=()A.a8B.2+n-1lnnC.1+n+lnnD.2n+nlnn【答案】D【详解】由题意得，an+1n+1=ann+lnn+1n，则ann=an-1n-1+lnnn-1，an-1n-1=an-2n-2+lnn-1n-2，a22=a11+ln21，由累加法得，ann=a11+lnnn-1+lnn-1n-2+ln21，即ann=a1+lnnn-1n-1n-221，则ann=2+lnn，所以an=2n+nlnn，故选：D2.已知数列 an满足a1=32，an=nn-1an-1-n2n.(1 1)求数列 an的通项公式；(2 2)设数列 an的前n项和为Sn，求满足Sn0，所以 Sn是递增数列.因为a1=1+12=32，a2=2+24=52，a3=3+323=278，a4=4+424=174，a5=5+525=16532，所以S1=32，S2=4，S3=598，S4=93812，于是所有正整数n的取值集合为 1,2,3,4.题型三周期数列型递推周期数列型递推【典例分析】1.1.已知数列 an满足 a1=2，an+1=1+an1-an，(n N*)，则 a1 a2 a3 a2009 a2010=_ _【答案】-6【解析】由已知有a2=1+a11-a1=-3,a3=1-31+3=-12,a4=1-121+12=13,a5=1+131-13=2，所以a5=a1=2，所以数列 an是周期数列，且周期为4，a1a2a3a4=a5a6a7a8=a2005a2006a2007a2008=1，而a2009a2010=a1a2=2(-3)=-6，所以a1a2a3a2010=-6。【技法指引】【技法指引】若数列an满足an+an-1=s，则 an周期T=2若数列an满足an+an-1+an-2=s，则 an周期T=3若数列an满足anan-1=s，则 an周期T=2若数列an满足anan-1an-2=s，则 an周期T=3【变式演练】1.数列an中，a1=1，a2=3，an+1=an-an-1(n2,nN*)，那么a2019=A.1 1B.2 2C.3 3D.-3 3【答案】B【详解】由题意，得a3=2，a4=-1，a5=-3，a6=-2，a7=1，由此发现数列 an是以6为周期的数列，又2019=3366+3，所以a2019=a3=2，故正确答案为B.2.数列 an的首项a1=3，且an=2-2an-1n2，则a2021=()A.3B.43C.12D.-2【答案】A【详解】解：因为a1=3，且an=2-2an-1n2，所以a2=2-23=43，a3=2-243=12，a4=2-212=-2，a5=2-2-2=3，a6=2-23=43，所以数列 an是以4为周期的周期数列，所以a2021=a5054+1=a1=3。故选：A题型四【二阶等比数列型递推二阶等比数列型递推【典例分析】1.1.已知数列 an满足a1=2,且an=2an-1-1(n2,nN+)，则an=_【答案】2n-1+1【解析】由an=2an-1-1，得：an-1=2 an-1-1，n2,nN+数列 an-1为首项为1，公比为2的等比数列，an-1=12n-1，即an=2n-1+1【技法指引】【技法指引】an+1=qan+p(q0，1,p,q为常数),构造等比数列an+,=pq-1【变式演练】1.已知数列 an中，a1=1，an=3an-1+4(nN且n2)，则数列 an通项公式an为()A.3n-1B.3n+1-2C.3n-2D.3n【答案】C【详解】由a1=1，an=3an-1+4知：a2=7且an+2an-1+2=3(n2)，而a1+2=3，a2+2=9，an+2是首项、公比都为3的等比数列，即an=3n-2，故选：C2.已知数列an满足：an+1=2an-n+1(nN*)，a1=3.(1 1)证明数列bn=an-n(nN*)是等比数列，并求数列an的通项；(2 2)设cn=an+1-ananan+1，数列cn的前n项和为Sn，求证：Sn1.【答案】(1)an=2n+n；(2)见解析【详解】(1)解：由bn=an-n知an=bn+n，代入得：bn+1+n+1=2 bn+n-n+1，化简得：bn+1=2bn，即 bn是等比数列，又b1=a1-1=3-1=2，则bn=2n，进而有an=2n+n(2)证明：由于cn=an+1-ananan+1=1an-1an+1，所以Sn=c1+c2+cn=1a1-1a2+1a2-1a3+1an-1an+1=1a1-1an+1=1-1an+11，a7a81，a7-1a8-10.则下列结论正确的是(多选题)A.0q1B.a7a91，a7a81，a7-1a8-11，0a81，A.0q1，故正确；B.a7a9=a281，0a81，且a2020a20211，a2020-1a2021-10，下列结论正确的是(多选题)A.S2020S2021B.a2020a2022-11，则 a1q2019a1q2020=a12q40391，又由a11，必有q0，则数列 an各项均为正值，若 a2020-1a2021-11，0a20211，则必有0q0，必有S2020S2021，A正确；对于B，若0a20211，则a2020a2022-1=a20212-1a2a20201a20210，可知T2020是数列 Tn中的最大项，C错误；对于D，易得D正确，故选：ABD.题型七“和”定值型递推“和”定值型递推【典例分析】1.1.若数列 an满足an+2an+1+an+1an=k(k为常数)，则称数列 an为等比和数列，k称为公比和，已知数列 an是以3 3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2019=_.【答案】21009【详解】解：令bn=an+1an，则bn+bn+1=3，bn+1+bn+2=3，-得：bn+2-bn=0，即bn+2=bn,又b1=a2a1=2，所以b2=a3a2=1，所以bn=1,n=2k2,n=2k-1 kN*,即an+1an=1,n=2k2,n=2k-1 kN*，所以a2019=a1a2a1a3a2a4a3a2019a2018=1212121212=21009所以a2019=21009.故答案为21009【变式演练】1.已知数列 a an 满足a an+a an+1=12(n n N N*)，a a2=2 2，S Sn是数列 a an 的前n n项和，则S S21为()A.5 5B.72C.92D.132【答案】B【详解】因为an+an+1=12，所以an+1+an+2=12an+2=an.因此an=2(n为偶数),an=-32(n为奇数)，S21=1012+-32=72，选B.2.知数列an满足：an+1+an=4n-3(nN*)，且a a1=2 2，则an=【答案】an=2n,n为奇数2n-5,n为偶数【详解】数列an满足a1=2，an+1+an=4n-3(nN*)，当n=1时，a2+a1=1，解得a2=-1当n2时，an+2+an+1=4n+1，an+2-an=4，数列an的奇数项构成等差数列，首项为2，公差为4；偶数项构成等差数列，首项为-1，公差为4a2k-1=2+4(k-1)=4k-2，即n为奇数时：an=2na2k=-1+4(k-1)=4k-5，即n为偶数时：an=2n-5an=2n，n为奇数2n-5，n为偶数 题型八分段型等差等比求和分段型等差等比求和【典例分析】1.1.已知数列 an满足a1=2，an+1=32an,n为奇数2an,n为偶数.(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列 bn的通项公式；(2)求 an的前12项和.【答案】(1)b1=3，b2=9，bn=3n(2)1820【分析】(1)由数列 an的通项公式可求出a2、a4，从而得到b1、b2，又由bn=3bn-1可知数列 bn是以3为首项，以3为公比的等比数列.故bn=a2n=3n；(2)由数列 an的通项公式可得数列 a2n-1是以2为首项，以3为公比的等比数列，然后根据等比数列求和求解即可.【详解】(1)解：由题意得：当n=2k-1时，a2k=32a2k-1当a=2k时，a2k+1=2a2k由 a2 k-1+1=2a2 k-1，即a2k-1=2a2(k-1)，k1把 代入，得a2k=3a2 k-1k1故bn=a2n=3a2 n-1=3bn-1，且b1=a2=32a1=3，b2=a4=32a3=3a2=9，所以数列 bn是以3为首项，以3为公比的等比数列.故bn=a2n=3n.(2)把 代入，得a2k+1=2a2k=3a2k-1，且a1=2所以数列 a2n-1是以2为首项，以3为公比的等比数列，故a2n-1=23n-1，于是a1+a2+a3+a12=a1+a3+a5+a7+a9+a11+a2+a4+a6+a8+a10+a12=2 30+31+35+31+32+36=5236-1=1820.【变式演练】1.已知数列 an满足a1=1,an+1=an+1,n=2k-1,an,n=2k.(1)求a2,a5的值；(2)求 an的前50项和S50【答案】(1)a2=2，a5=3(2)S50=675【分析】(1)根据递推公式依次求出2,3,4,5项即可；(2)先说明奇数项成等差，然后将和分为奇数项与偶数项的和分别求和即可.【详解】(1)根据递推公式可知：a2=a1+1=2,a3=a2=2,a4=a3+1=3,a5=a4=3(2)根据递推公式知：当kN N时，a2k=a2k-1+1,a2k+1=a2k于是a2k+1=a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1所以，a2k-1是以1为首项，1为公差的等差数列；且a2k+1=a2kS50=a1+a3+a49+a2+a4+a50=(1+2+3+25)+(2+3+4+26)=(1+25)252+(2+26)252=675题型九函数中心型倒序求和函数中心型倒序求和【典例分析】1.1.已知 A x1,y1，B x2,y2是函数 f(x)=2x1-2x,x12-1,x=12 的图象上的任意两点(可以重合)，点 M为AB的中点，且M在直线x=12上(1)求x1+x2的值及y1+y2的值；(2)已知S1=0，当n2时，Sn=f1n+f2n+f3n+fn-1n，求Sn；(3)若在(2)的条件下，存在n使得对任意的x，不等式Sn-x2+2x+t成立，求t的范围【答案】(1)x1+x2=1，y1+y2=-2(2)Sn=1-n(3)-,-1【分析】(1)利用中点坐标公式求出x1+x2=1，将x1、x2带入 f x1、f x2化简求出y1+y2=-2；(2)利用倒序相加求和法求出Sn；(3)根据条件将不等式转化为 Snmax-x2+2x+tmax求解.【详解】(1)由题意设M12,yM，当x1=12时，x2=12，x1+x2=12+12=1，y1+y2=(-1)+(-1)=-2；当x112时，x212因为M为AB的中点，所以x1+x2=212=1，y1+y2=2x11-2x1+2x21-2x2=2x11-2x2+2x21-2x11-2x11-2x2=2 x1+x2-8x1x21-2 x1+x2+4x1x2=2-8x1x2-1+4x1x2=-2，综合得，x1+x2=1，y1+y2=-2.(2)由(1)可得，当x1+x2=1时，y1+y2=-2，所以 fkn+fn-kn=-2,k=1,2,3,n-1，当n2时，Sn=f1n+f2n+f3n+fn-1n，Sn=fn-1n+fn-2n+fn-3n+f1n，+得2Sn=-2(n-1)，则Sn=1-n，当n=1时，S1=0满足Sn=1-n，所以Sn=1-n.(3)令g(x)=-x2+2x+t，则g(x)max=g(1)=1+t，因为存在n使得对任意的x，不等式Sn-x2+2x+t成立，所以 Snmaxg(x)max，由(2)得Sn=1-n，则 Snmax=S1=0，所以1+t0，即t1，由a2=6，a1+a3=20得6q+6q=20，解之得q=3或q=13(舍去)，由a2=6得，a1=2，所以 an的通项公式为an=23n-1.(2)由(1)知，bn=an+1log3an+12log3an+22=23n-1+1n n+1=23n-1+1n-1n+1所以 bn的前n项和为Tn=2 30+31+3n-1+1-12+12-13+1n-1n+1=21-3n1-3+1-1n+1=3n-1n+1【技法指引】【技法指引】对于an+bn结构，利用分组求和法【变式演练】1.设Sn为数列 an的前n项和，已知an0，a2n+2an=4Sn+3 nN*，若数列 bn满足b1=2，b2=4，b2n+1=bnbn+2nN*(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)设cn=1Sn,n=2k-1,kN*bn,n=2k,kN*求数列 cn的前n项的和Tn.【答案】(1)an=2n+1，bn=2n，nN*(2)Tn=n2 n+1+4 2n-13n为偶数n+12 n+2+2n+1-43n为奇数 【分析】(1)求数列 an的通项公式时，利用an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2 化简式子，结合等差数列的定义和通项公式来求.求数列 bn的通项公式时，直接借助等比数列的定义和通项公式来求.(2)结合(1)的结论先求出数列 cn的通项公式，分n为奇数和偶数两个方面，借助裂项相消法和分组求和法来求出数列 cn的前n项的和Tn.【详解】(1)由an0，a2n+2an=4Sn+3，得：当n=1时，a21+2a1=4S1+3=4a1+3，即a21-2a1-3=0，解得a1=3或a1=-1(负值舍去)，.当n2时，a2n-1+2an-1=4Sn-1+3，-得：a2n+2an-a2n-1-2an-1=4Sn-4Sn-1=4an，即 an+an-1an-an-1=2 an+an-1所以an-an-1=2，所以数列 an是以3为首项，2为公差的等差数列.所以an=2n+1 nN*.因为数列 bn满足b1=2，b2=4，b2n+1=bnbn+2所以数列 bn是等比数列，首项为b1=2，公比q=b2b1=2，所以bn=2n.故：an=2n+1 nN*，bn=2n.(2)因为an=2n+1 nN*，所以Sn=n 3+2n+12=n2+2n=n n+2所以cn=1n n+2，n为奇数2n，n为偶数，其中n为奇数时，cn=1n n+2=121n-1n+2当n为偶数时，Tn=c1+c2+cn=c1+c3+cn-1+c2+c4+cn,所以Tn=121-13+13-15+1n-1-1n+1+22+24+2nTn=121-1n+1+4 1-4n21-4=n2 n+1+4 2n-13当n为奇数时，Tn=c1+c2+cn=Tn+1-cn+1因此Tn=n+12(n+2)+4(2n+1-1)3-2n+1=n+12(n+2)+2n+1-43.故：Tn=n2 n+1+4 2n-13n为偶数n+12 n+2+2n+1-43n为奇数 .题型十一错位相减型求和错位相减型求和【典例分析】1.1.已知数列 an满足a1=2，且 an+1-3 an+1+4=0，nN N*.(1)求证：数列1an-1 是等差数列；(2)若数列 bn满足bn=2n+1an-1，求 bn的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)Tn=n2n+1【分析】(1)根据题意化简可得1an+1-1-1an-1=12证明即可；(2)由(1)可得1an-1=n+12，进而得到bn=n+12n，再根据错位相减法求 bn的前n项和即可.【详解】(1)由 an+1-3 an+1+4=0，得an+1=3-4an+1，所以1an+1-1-1an-1=13-4an+1-1-1an-1=12-4an+1-1an-1=an+12 an-1-22 an-1=an-12 an-1=12，又1a1-1=1，所以数列1an-1 是以1为首项，12为公差的等差数列.(2)由(1)可知，1an-1=1+n-112=n+12，所以bn=2n+1an-1=2n+1 n+12=n+12n.记 bn的前n项和为Tn，则Tn=221+322+423+n2n-1+n+12n，2Tn=222+323+424+n2n+n+12n+1，由-得-Tn=4+22+23+24+2n-n+12n+1=4+4 1-2n-11-2-n+12n+1=-n2n+1，所以Tn=n2n+1.【技法指引】【技法指引】对于anbn结构，其中an是等差数列，bn是等比数列，用错位相减法求和；思维结构结构图示如下【变式演练】1.已知等比数列 an的首项 a1=1，公比为 q，bn是公差为 d d0的等差数列，b1=a1，b3=a3，b2是b1与b7的等比中项(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn的前n项和为Sn，数列 cn满足ncn=a2nSn，求数列 cn的前n项和Tn【答案】(1)an=3n-1或an=-3n-1(2)Tn=8n-59n+532【分析】(1)根据b2是b1与b7的等比中项，利用基本量法可得d=4，进而得到bn=4n-3，再根据b1=a1，b3=a3可得an=3n-1或an=-3n-1；(2)由(1)Sn=n 2n-1，化简可得cn=2n-19n-1，再根据错位相减可得Tn.【详解】(1)第一步：求数列 bn的通项公式因为 bn是公差为d d0的等差数列，b1=a1=1，b2是b1与b7的等比中项，所以 1+d2=1 1+6d，(等比数列的性质)解得d=4或d=0(舍去)，(注意d0)所以数列 bn的通项公式为bn=4n-3第二步：求数列 an的通项公式所以a3=b3=9，又a1=1，所以q=3，所以数列 an的通项公式为an=3n-1或an=-3n-1(2)第一步：求数列 cn的通项公式由(1)得Sn=n 2n-1，an=3n-1或an=-3n-1，由ncn=a2nSn，得cn=a2nSnn=2n-19n-1，第二步：利用错位相减法求和于是Tn=c1+c2+cn=1+391+592+793+2n-19n-1，9Tn=9+392+593+794+2n-19n，则-8Tn=1+2 91+92+93+94+9n-1-2n-19n，(运用错位相减法求和时最后一项注意变号)即-8Tn=1+29 1-9n-11-9-2n-19n，整理得Tn=8n-59n+532，所以数列 cn的前n项和Tn=8n-59n+532题型十二正负相间型求和正负相间型求和【典例分析】1.1.已知数列 an各项均为正数，且a1=2，an+12-2an+1=an2+2an(1)求 an的通项公式(2)设bn=-1nan，求b1+b2+b1+b20【答案】(1)an=2n(2)20【分析】(1)由题知an+1-an=2，进而得 an为等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可；(2)结合(1)，根据分组并项求和法求即可即可.【详解】(1)解：因为a1=2，an+12-2an+1=an2+2an所以，a2n+1-a2n=an+1-anan+1+an=2 an+1+an，因为数列 an各项均为正数，即an+1+an0，所以，an+1-an=2，即数列 an为等差数列，公差为d=2，首项为a1=2.所以an=2+n-12=2n(2)解：由(1)知an=2n，其公差为d=2，所以，bn=-1nan=-1n2n所以，b1+b2+b1+b20=-a1+a2+-a3+a4+-a19+a20=10d=20【变式演练】1.设等差数列 an的前n项和为Sn，已知a3+a5=8,S3+S5=10.(1)求 an的通项公式；(2)令bn=(-1)nan，求数列 bn的前n项和Tn.【答案】(1)an=2n-4;(2)Tn=n,n为偶数3-n,n为奇数.【分析】(1)由题意可列出方程组，求得首项和公差，即可得答案；(2)由(1)可得bn=(-1)nan的表达式，讨论n的奇偶性，结合并项求和，可得答案.【详解】(1)设等差数列 an的公差为d，由S3+S5=10，可得3a1+3d+5a1+10d=10，则2a1+6d=88a1+13d=10，解得a1=-2d=2，所以an=a1+n-1d=-2+2 n-1=2n-4.(2)由(1)知bn=-1n2n-4，当n为偶数时，bn-1+bn=(-1)n-1(2n-6)+(-1)n(2n-4)=6-2n+2n-4=2，所以当n为偶数时，Tn=2n2=n；当n为奇数时，Tn=Tn-1+bn=n-1-(2n-4)=3-n，Tn=n,n为偶数3-n,n为奇数 .题型十三无理根式型裂项相消求和无理根式型裂项相消求和【典例分析】1.1.设数列 an的前n项和为Sn，且满足2Sn=3an-3(1)求数列 an的通项公式：(2)若bn=an3,n为奇数1log3an+log3an+2,n为偶数，求数列和 bn的前10项的和【答案】(1)an=3n(2)121+3-22【分析】(1)根据Sn和an的关系即可相减求解 an是等比数列，进而可求通项，(2)由an=3n，可得bn的通项，进而根据分组求和即可求前10项的和.【详解】(1)由2Sn=3an-3得:当n2时，2Sn-1=3an-1-3，故2Sn-2Sn-1=3an-3-3an-1-32an=3an-3an-1，即an=3an-1n2，当n=1时，a1=3，故 an是以公比为3，首项为3的等比数列，因此an=3n.(2)当n为偶数时，bn=1log3an+log3an+2=1n+n+2=12n+2-n当n为奇数时，bn=an3=3n-12，所以数列和 bn的前10项的和：b1+b3+b5+b7+b9+b2+b4+b6+b8+b10=30+31+32+33+34+124-2+6-4+8-6+10-8+12-10=121+1212-2=121+3-22【变式演练】1.设数列 an的前n n项和Sn满足2Sn=nan+n，nN+，a2=2，(1 1)证明：数列 an是等差数列，并求其通项公式(2 2)设bn=1anan+1+an+1an，求证：Tn=b1+b2+bn1.【答案】(1)证明见解析，an=n；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由2Sn=nan+n，2Sn+1=n+1an+1+n+1作差得到 n-1an+1-nan+1=0，进一步得到nan+2-n+1an+1+1=0，再作差即可得到an+1+an=2an+1，从而使问题得到解决；(2)bn=1n n+1+(n+1)n=n+1-nn(n+1)=1n-1n+1，求和即可.【详解】(1)2Sn=nan+n，2Sn+1=n+1an+1+n+1，两式相减：n-1an+1-nan+1=0用n+1换n，得nan+2-n+1an+1+1=0-，得nan+2-2nan+1+nan=0，即an+1+an=2an+1，所以数列 an是等差数列，又2S1=a1+1，a1=1，a2=2，公差d=1，所以an=n.(II)bn=1anan+1+an+1an=1n n+1+(n+1)n=1n(n+1)(n+1+n)=n+1-nn(n+1)=1n-1n+1.Tn=b1+b2+bn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+11题型十四指数型裂项相消指数型裂项相消【典例分析】1.1.已知数列 an的前n项和为Sn，且Sn=2an-1.(1)求an；(2)设bn=anan+1-1 an+2-1，求数列 bn的前n项和Tn.【答案】(1)an=2n-1(2)121-12n+1-1【分析】(1