一本通数学2023高考.pdf

衡中数学一本通高分手册2/397.3专题 01集合专辑.4专题 02常用逻辑用语.11专题 03函数性质.20专题 04函数与导数.30专题 05三角函数与解三角.41专题 06平面向量.53专题 07数列.63专题 08不等式.74专题 09立体几何.89专题 10解析几何.107专题 11排列组合 二项式定理.141专题 12概率与统计.152专题 13算法、推理与证明、复数.177专题 14极坐标与参数方程、不等式选讲.190专题 15分段函数的性质、图象以及应用.214专题 16基本初等函数中含有参数问题.228专题 17函数、数列、三角函数中大小比较问题.239专题 18函数、不等式中恒成立问题.253专题 19数列中的最值问题.267专题 21几何体与球切、接的问题.283专题 22几何体的表面积与体积的求解.299专题 23与圆有关的最值问题.311专题 24立体几何角的计算问题.319专题 25椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用.337专题 26圆锥曲线的“三定”与探索性问题.351专题 27概率与统计相结合问题.369衡中数学一本通高分手册4/397专题专题 01集合专辑集合专辑1【高考全国 I 卷理数 2】设集合 A=x|x240，B=x|2x+a0，且 AB=x|2x1，则 a=（）A4B2C2D4【答案】B【思路导引】由题意首先求得集合 A，B，然后结合交集的结果得到关于 a 的方程，求解方程即可确定实数 a的值【解析】求解二次不等式240 x 可得：2|2Axx，求解一次不等式20 xa可得：|2aBx x 由于|21ABxx，故：12a，解得：2a 故选 B【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了一元二次不等式的解法、含参数的一元一次不等式的解法，考查利用集合的交集运算求参数的值，考查数形结合思想，考查数学运算及直观想象等学科素养解题关键是正确求解一元二次不等式，应用数形结合法求参数的值2【高考全国 II 卷理数 1】已知集合2,1,0,1,2,3,1,0,1,1,2UAB ，则UAB（）A2,3B2,2,3C2,1,0,3D2,1,0,2,3【答案】A【思路导引】首先进行并集运算，然后计算补集即可【解析】由题意可得：1,0,1,2AB，则 U2,3AB 故选 A【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了集合的并集和补集运算，考查数学运算学科素养解题关键是正确理解并集和补集的含义3【高考全国卷文数 1】已知集合1,2,3,5,7,11A，315|Bxx，则 AB 中元素的个数为（）A2B3C4D5【答案】B【思路导引】采用列举法列举出AB中元素的即可【解析】由题意，5,7,11AB I，故AB中元素的个数为 3，故选 B衡中数学一本通高分手册5/397【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了，考查集合的交集运算，考查集合的含义，考查数学运算学科素养4【高考江苏卷 1】已知集合1,0,1,2,0,2,3AB，则AB【答案】0,2【解析】由题知，0,2AB【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查集合的交集运算，考查数学运算学科素养解题关键是正确集合交集的含义一、考一、考向分析向分析：二、考二、考向讲解向讲解考查内容解题技巧元素的特征(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的如 1,2,3 与 3,2,1 构成的集合是同一个集合(4)解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误(5)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性集合的表示（1）使用列举法表示集合的四个注意点元素间用“，”分隔开，其一般形式为a1，a2，an；元素不重复，满足元素的互异性；元素无顺序，满足元素的无序性；对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无衡中数学一本通高分手册6/397限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.（2）利用描述法表示集合应关注五点写清楚该集合代表元素的符号例如，集合xR|x1不能写成x1所有描述的内容都要写在花括号内例如，xZ|x2k，kZ，这种表达方式就不符合要求，需将 kZ 也写进花括号内，即xZ|x2k，kZ不能出现未被说明的字母在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写例如，方程 x22x10 的实数解集可表示为xR|x22x10，也可写成x|x22x10在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如直角三角形，自然数等集合的关系（1）对子集概念的理解集合 A 是集合 B 的子集的含义是：集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 xA 能推出 xB.例如0,11,0,1，则 00,1,01,0,1如果集合 A 中存在着不是集合 B 的元素，那么集合 A 不包含于 B，或 B 不包含 A.此时记作 AB 或 BA.注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如0N.而不能写成0N，“”只能用于元素与集合之间如 0N，而不能写成 0N.（2）对真子集概念的理解在真子集的定义中，AB 首先要满足 AB，其次至少有一个 xB，但 xA.若 A 不是 B 的子集，则 A 一定不是 B 的真子集.（3）判断集合间关系的方法用定义判断首先，判断一个集合 A 中的任意元素是否属于另一集合 B，若是，则 AB，否则 A 不是 B 的子集；其次，判断另一个集合 B 中的任意元素是否属于第一个集合 A，若是，则 BA，否则 B 不是 A 的子集；若既有 AB，又有 BA，则 AB.数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍(1)理解并集应关注三点AB 仍是一个集合，由所有属于 A 或属于 B 的元素组成“或”的数学内涵的形象图示如下：衡中数学一本通高分手册7/397集合的运算若集合 A 和 B 中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在 AB 中仅出现一次.（2）理解交集的概念应关注四点概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出当集合 A 和集合 B 无公共元素时，不能说集合 A，B 没有交集，而是 AB.定义中“xA，且 xB”与“x(AB)”是等价的，即由既属于 A，又属于 B 的元素组成的集合为 AB.而只属于集合 A 或只属于集合 B 的元素，不属于 AB.（3）理解补集应关注三点补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算求集合 A 的补集的前提是 A 是全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念UA 包含三层意思：AU；UA 是一个集合，且UAU；UA 是由 U 中所有不属于 A 的元素构成的集合若 xU，则 xA 或 xUA，二者必居其一考查集合的表示：考查集合的表示：【例 1】（2021北京人大附中模拟）已知集合(,)|2,Ax yxyx yN，则A中元素的个数为（）A1B5C6D无数个【答案】C【解析】由题得(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)A，所以 A 中元素的个数为 6，故选 C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力【例 2】（高考全国卷理数 1）已知集合(,)|,Ax yx yyx*N，(,)|8Bx yxy，则AB中元素的个数为（）A2B3C4D6【答案】C【思路导引】采用列举法列举出AB中元素的即可【解析】由题意，AB中的元素满足8yxxy，且*,x yN，由82xyx，得4x，衡中数学一本通高分手册8/397所以满足8xy的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故AB中元素的个数为 4故选 C【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了二元一次方程及二元一次不等式混合组的整数解的解法，考查集合的交集运算，考查数学运算及直观想象等学科素养解题关键是正确应用二元一次方程及二元一次不等式混合组求整数解，理解集合交集的含义【例 3】（2021江苏南通高三期中）若集合|1Mx x，|04NxZx，则()RC MN（）A0B0,1C0,1,2D2,3,4【答案】B【解析】N0，1，2，3，4，RMx|x1，（RM）N0，1，故选 B【点睛】本题考查补集、交集的运算，描述法、列举法的定义，熟记交集，补集的定义是关键，是基础题考查元素的特征考查元素的特征：【例 1】已知集合 Aa2，(a1)2，a23a3，且 1A，则 2 017a的值为_【解析】对集合 A 中的元素分情况讨论，当 a21 时，a1，此时有(a1)20，a23a31，不满足集合中元素的互异性；当(a1)21 时，a0 或 a2，当 a2，则 a23a31，舍去，经验证 a0 时满足；当 a23a31 时，a1 或 a2，由上知均不满足，故 a0，则 2 017a1【例 2】（2021河南南阳月考）2|6510Mxxx，|1Px ax，若PM，则a的取值集合为()A 2B 3C2,3D0,2,3【答案】D【解析】21 1|6510,3 2Mxxx，|1Px ax，PM，P，13P 或12P ，0a 或3a 或2a，a的取值集合为0,2,3，故选 D【点睛】本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题考考查查集合的关系：集合的关系：【例 1】（2021陕西省榆林中学高三三模）已知集合 A0，1，B0，1，2，则满足 ACB 的集合 C 的个数为（）A4B3C2D1【答案】A衡中数学一本通高分手册9/397【解析】由ACB可知集合C中一定有元素 2，所以符合要求的集合C有 2,2,0,2,1,2,0,1，共 4种情况，所以选 A 项【例 2】（2019辽宁高考模拟（理）已知集合 2,3,1A ，集合23,Bm若BA，则实数 m 的取值集合为（）A1B3C1,1D 3,3【答案】C【解析】将选项中的元素逐一验证，排除错误选项，由此得出正确选项若1m，则1,3B，符合BA，排除 B，D 两个选项若1m ，则1,3B，符合BA，排除 A 选项故本小题选 C【点睛】本小题主要考查子集的概念，考查选择题的解法排除法，属于基础题考考查查集合的运算：集合的运算：【例 1】（2021南京市秦淮中学高三开学考试）设1Ax x，220Bx xx，则RC AB=（）A1x x B11xx C11xx D12xx【答案】B【解析】|1RC Ax x，220=|210|12Bx xxxxxxx，则RC AB I11xx，故选：B【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题【例 2】（2021甘肃兰州一中高三其他（文）已知集合21|Ax log x，集合|2By yx，则AB（）A,2B,2C0,2D0,【答案】D【解析】|02Axx，|0By y，0,AB，故选D【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算一、因忽视集合中元素的互异性而致误一、因忽视集合中元素的互异性而致误【例 1】已知全集 U1，3，x33x22x和它的子集 A1，|2x1|，如果集合 A 在 U 中的补集为0，求实数 x 的值衡中数学一本通高分手册10/397【解析】因为 U1，3，x33x22x，且集合 A 在 U 中的补集为0，所以 0U，x33x22x0，解得 x10，x21，x32当 x0 时，A1，1，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；当 x2 时，A1，5U，不符合题意，故舍去；当 x1 时，A1，3U，符合题意综上所述，实数 x 的值为1二、忽视代表元素而致误二、忽视代表元素而致误【例 2】设 Py|yx2，xR，Qy|y2|x|，xR，求 PQ【错解】由yx2，y2|x|解得x1，y1或x1，y1，所以 PQ(1，1)，(1，1)【剖析】上述解法混淆了集合的代表元素，本题中两个集合中的代表元素是 y，而不是点的坐标【正解】因为 Py|yx2，xRy|y0，Qy|y2|x|，xRy|y2，所以 PQy|y0y|y2y|0y2三、因忽视区间端点而致误三、因忽视区间端点而致误【例 3】已知集合 Ax|2x3，集合 Bx|axa4，若 AB，求实数 a 的取值范围【错解】因为 Ax|2x3，Bx|axa4，要使 AB，需满足 a43，即 a3，所以实数 a 的取值范围是(，2)(3，)【剖析】上述解法的错误原因是忽视了集合 Ax|2x3的两个端点值 2 和 3，事实上，当 a3 时，Bx|3x7，满足 AB当 a42 即 a2 时，Bx|2x2，满足 AB【正解】因为 Ax|2x3，Bx|axa4，要使 AB，需满足 a3 或 a42，即 a3 或 a2，所以实数 a 的取值范围是(，23，)四、因忽视空集的特殊性而致误四、因忽视空集的特殊性而致误【例 4】已知集合 Ax|x23x20，Bx|x2axa10，Cx|x2mx20，且 ABA，ACC，求实数 a 及 m 的取值范围【错解】由题意得，A1，2，B1，a1由 ABA 知 BA，所以 a12，从而 a3由 ACC 知 CA，设方程 x2mx20 的两根分别为 x1，x2，则 x1x22由 A1，2知 CA，从而 mx1x23【剖析】上述解法存在两个方面的错误：一是忽略了集合 B 中方程有两等根的情况；二是忽视了 C的情况【正解】由题意得，A1，2，Bx|(x1)x(a1)0由 ABA，知 BA，所以可能有两种情况：a12，即 a3，此时 AB；a11，即 a2，此时 B1若 C，显然满足 ACC，此时，由m280 得2 2m2 2若 C，设方程 x2mx20 的两根分别为 x1，x2，则 x1x22由 ACC 知 CA，故有 CA，从而 mx1x23综上可知：a3 或 a2；m3 或2 2m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，若ab，则0ab，则0a 且ab，所以2a aa，则a ab b成立当1,2ab 时，满足a ab b，但ab不一定成立，所以ab是a ab b的充分不必要条件，故衡中数学一本通高分手册17/397选 A【例 2】（2021湖北高三月考）已知|12Axx，命题“2,0 xA xa”是真命题的一个充分不必要条件是（）A4a B4a C5a D5a【答案】C【解析】因为|12Axx，2,0 xA xa 为真命题，所以2maxax，xA，因为函数 2f xx在1,2上单调递增，所以2max4x，所以4a，又因为5,4,，所以命题“2,0 xA xa，|12Axx”是真命题的一个充分不必要条件为5a，故选 C考查逻辑联结词：考查逻辑联结词：【例 1】（2021安徽月考）已知命题p：函数221log22yxxa的定义域为R，命题q：函数5xya 是减函数，若pq和p都为真命题，则实数a的取值范围是（）A2a B24aC4a D2a 或4a【答案】A【解析】由pq为真命题，p为真命题，得p为假命题，q为真命题由p：函数221log22yxxa为假命题得，21202xxa在R上不恒成立，即4202aa 由q：函数(5)xya 是减函数，即：(5)xya是增函数，即514aa，所以：2a，故选 A【点睛】本题主要考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”，命题的真假判断，属于中档题【例 2】设命题 p：f(x)lg(ax24xa)的定义域为 R；命题 q：不等式 2x2x2ax 在 x(，1)上恒成立，如果命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，则实数 a 的取值范围为_【答案】1，2【解析】对于命题 p：0，故 a2；对于命题 q：a2x2x1 在 x(，1)上恒成立，又函数y2x2x1 为增函数，所以2x2x12，a1或a2，a1，故 1a2考查全称（特称）命题：考查全称（特称）命题：衡中数学一本通高分手册18/397【例 1】（2021黑龙江萨尔图大庆实验中学月考）已知命题p：R，5sincos4，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（）A()pqBpqC()()pq D()()pq【答案】D【解析】sincos2sin()24，524，5,sincos4R，故命题 p 为真命题；命题q：正数的对数都是正数是假命题，当 x=1 时，对数值为 0，p命题为假，q命题为真，()()pq 为真命题，故选 D【点睛】本题考查了特称命题、复合命题的真假判断、三角函数诱导公式的应用以及对数性质，属于中档题目，题目综合性较强，在解题过程中需要对知识点准确应用，尤其是复合命题的真假判断容易出错【例 2】若命题“x0R，x20(a1)x010”是真命题，则实数 a 的取值范围是()A1，3B(1，3)C(，13，)D(，1)(3，)【答案】D【解析】因为命题“x0R，x20(a1)x010，即 a22a30，解得 a3，故选 D讲方法讲方法充分条件与必要条件判定的三种方法1定义法：(1)若 pq，则 p 是 q 的充分条件；(2)若 qp，则 p 是 q 的必要条件；(3)若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件；(4)若 pq 且 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件；(5)若 p q 且 qp，则 p 是 q 的必要不充分条件；(6)若 p q 且 q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件2利用集合间的包含关系判断：记条件 p，q 对应的集合分别是 A，B，则(1)若 AB，则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件；(2)若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件，或 q 是 p 的必要不充分条件；(3)若 AB，则 p 是 q 的充要条件；衡中数学一本通高分手册19/397(4)若 AB，且 AB，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件3等价法：利用 pq 与qp，qp 与pq，pq 与qp 的等价关系【例 1】（2021渝中重庆巴蜀中学月考）设等比数列 na的公比为q，前n项的和为nS，则“0q”是“2132SSS”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】11Sa，211Saq，2311Saqq，故222222131111SS Saqqqa q，因为在等比数列 na中，10a，故21320SSSq，故“0q”是“2132SSS”的充要条件，故选 C【例 2】（2021四川成都月考）“10,3m”是“函数 314,1,1mxm xf xmx x是定义在R上的减函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为函数 314,1,1mxm xf xmx x是定义在R上的减函数，所以3100314mmmmm ，解得1 1,8 3m，因为1 1,8 3是10,3的真子集，所以“10,3m”是“函数 314,1,1mxm xf xmx x是定义在R上的减函数”的必要不充分条件，故选 B【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判断，可借助集合的方式进行判断，考查分段函数的单调性，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都递减，且要注意分界点处函数值的处理，是中档题衡中数学一本通高分手册20/397专题专题 03函数性质函数性质1【高考全国卷文数 10】设函数 331f xxx，则 f x（）A是奇函数，且在0,单调递增B是奇函数，且在0,单调递减C是偶函数，且在0,单调递增D是偶函数，且在0,单调递减【答案】A【思路导引】根据函数的解析式可知函数的定义域为0 x x，利用定义可得出函数 fx为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出【解析】函数 331f xxx定义域为0 x x，其关于原点对称，而 fxf x，函数 fx为奇函数又函数3yx在()0,+上单调递增，在(),0-上单调递增，而331yxx在()0,+上单调递减，在(),0-上单调递减，函数 331f xxx在()0,+上单调递增，在(),0-上单调递增故选 A2【高考全国卷文数 12 理数 11】若yxyx3322，则（）Aln10yxBln(1)0yxC0ln yxD0ln yx【答案】A【思路导引】将不等式变为2323xxyy，根据 23ttf t的单调性知xy，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果【解析】由2233xyxy得：2323xxyy，令 23ttf t，2xy 为R上的增函数，3xy为R上的减函数，f t为R上的增函数，xy，0yxQ，11yx，ln10yx，则 A 正确，B 错误；xyQ与1的大小不确定，故 CD无法确定，故选 A衡中数学一本通高分手册21/3973【高考全国卷理数 9】设函数 ln 21ln 21f xxx，则 f x（）A是偶函数，且在1,2单调递增B是奇函数，且在11,22单调递减C是偶函数，且在1,2 单调递增D是奇函数，且在1,2 单调递减【答案】D【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出 f x为奇函数，排除 AC；当1 1,2 2x 时，利用函数单调性的性质可判断出 f x单调递增，排除 B；当1,2x 时，利用复合函数单调性可判断出 f x单调递减，从而得到结果【解析】由 ln 21ln 21f xxx 得 f x定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln1 2ln21ln 21ln 21fxxxxxf x ，f x为定义域上的奇函数，可排除 AC；当1 1,2 2x 时，ln 21ln 1 2f xxx，ln 21yxQ在1 1,2 2上单调递增，ln 1 2yx在1 1,2 2上单调递减，f x在1 1,2 2上单调递增，排除 B；当1,2x 时，212ln21ln 12lnln 12121xfxxxxx，2121x 在1,2 上单调递减，lnf在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f x在1,2 上单调递减，D 正确故选 D4【高考全国卷理数 12】若242log42logabab，则（）衡中数学一本通高分手册22/397A2abB2abC2abD2ab【答案】B【思路导引】设2()2logxf xx，利用作差法结合()f x的单调性即可得到答案【解析】设2()2logxf xx，则()f x为增函数，22422log42log2logabbabb，()(2)f afb2222log(2log 2)abab22222log(2log 2)bbbb21log102 ，()(2)f afb，2ab2()()f af b22222log(2log)abab222222log(2log)bbbb22222logbbb，当1b 时，2()()20f af b，此时2()()f af b，有2ab；当2b 时，2()()10f af b ，此时2()()f af b，有2ab，C、D 错误，故选 B5【高考全国卷理数 12】已知544558,138设5813log 3,log 5,log 8abc，则（）AabcBbacCbcaDcab【答案】A【思路导引】由题意可得a、b、0,1c，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由8log 5b，得85b，结合5458可得出45b，由13log 8c，得138c，结合45138，可得出45c，综合可得出a、b、c的大小关系【解析】解法一：由题意可知a、b、0,1c，222528log 3lg3 lg81lg3lg8lg3lg8lg241log 5lg5 lg522lg5lg25lg5ab，ab；由8log 5b，得85b，由5458，得5488b，54b，可得45b；由13log 8c，得138c，由45138，得451313c，54c，可得45c 综上所述，abc故选 A解 法 二：易 知(0 1)a,b,c,，由2225555558log 3log 8log 24log 32log 3 log 81log 5444ab，知衡中数学一本通高分手册23/397ab8log 5b，13log 8c，85b，138c，即5585b，44138c又5458，45138，445541385813cbb，即bc综上所述：abc，故选 A一、考一、考向分析向分析：二、考二、考向讲解向讲解考查内容解题技巧单调性1、用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(2)有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式如若已知 f(a)0，f(xb)0，则 f(xb)0，设函数 f(x)2 018x12 0162 018x1(xa，a)的最大值为 M，最小值为 N，那么 MN()A2 016B2 018C4 032D4 034【答案】D【解析】由题意得 f(x)2 018x12 0162 018x12 01822 018x1因为 y2 018x1 在a，a上是单调递增的，所以 f(x)2 01822 018x1在a，a上是单调递增的，所以 Mf(a)，Nf(a)，所以 MNf(a)f(a)4 03622 018a122 018a14 034【例 2】（2021四川泸州高三一模）函数()lnln(2)f xxx的最大值为_【答案】0【解析】由2()lnln(2)ln(1)1f xxxx，且02x，令21(1)()xt x，()lnf tt，即()t x在01x为单调递增，12x为单调递减，而()f t为增函数，()f x在01x上单调递增，12x上单调递减，max()(1)0f xf【例 3】对于任意实数 a，b，定义 mina，ba，ab，b，ab。函数 f(x)x3，g(x)log2x，则函数 h(x)minf(x)，g(x)的最大值为_【答案】1【解析】依题意知，h(x)log2x，02。当 02 时，h(x)3x 是减函数，则 h(x)maxh(2)1衡中数学一本通高分手册27/397考查对称性：考查对称性：【例 1】（2021定远县育才学校高三月考）函数 f（x）=913xx的图象A关于原点对称B关于 x 轴对称C关于 y 轴对称D关于直线 y=x 对称【答案】C【解析】函数91()=333xxxxf x的定义域为R，且满足()=33()xxfxf x，故该函数为偶函数，图象关于y轴对称，故选 C【名师点睛】函数中常见的几种对称关系：（1）函数()f x关于x轴对称，则有()=-()f xf x；（2）函数()f x关于y轴对称，则有()=()f xfx-；（3）函数()f x关于原点对称，则有()=()f xf x；（4）函数关于直线yx对称，则()f x与其反函数是同一个函数考查单调性奇偶性周期性综合问题考查单调性奇偶性周期性综合问题【例 1】【2019 年高考江苏】设(),()f x g x是定义在 R 上的两个周期函数，()f x的周期为 4，()g x的周期为2，且()f x是奇函数当2(0,x时，2()1(1)f xx，(2),01()1,122k xxg xx，其中 k0若在区间(0，9上，关于 x 的方程()()f xg x有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是【答案】12,34【解析】作出函数()f x，()g x的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f xx的图象与衡中数学一本通高分手册28/3971()(12,34,56,78)2g xxxxx 的图象仅有 2 个交点，即在区间(0，9上，关于 x 的方程()()f xg x有 2 个不同的实数根，要使关于x的方程()()f xg x有 8 个不同的实数根，则2()1(1),(0,2f xxx与()(2),(0,1g xk xx的图象有 2 个不同的交点，由(1,0)到直线20kxyk的距离为 1，可得2|3|11kk，解得2(0)4kk，两点(2,0),(1,1)连线的斜率13k，1234k，综上可知，满足()()f xg x在(0，9上有 8 个不同的实数根的 k 的取值范围为1234，【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大正确作出函数()f x，()g x的图象，数形结合求解是解题的关键因素【例 2】（2021 四川宜宾高三一模）已知定义在R上的奇函数()yf x满足，2()f xf x，若12,0,1x x且12xx时，都有11222112()()()()x f xx f xx f xx f x，则下列四个结论中：()yf x图象关于直线2022x 对称；(2022)0f；()yf x在2019,2021上为减函数；13()()32ff其中正确的个数（）A1B2C3D4【答案】A【解析】因为 f x为奇函数，所以 fxf x，所以 2f xf xfx，所以对称轴为1x，因为 2f xf x，所以 42f xf xf x，所以周期为 4，所以对称轴1 4xk kZ，故2022x 不符合，所以不正确；20224 505220ffff，因为 f x是定义在R上的奇函数，所以 00f，所以(2022)0f，所以正确；因为12,0,1x x且12xx时，都有11222112()()()()x f xx f xx f xx f x，衡中数学一本通高分手册29/397所以 112212xf xf xxf xf x，即 12120 xxf xf x，所以 f x在0 1，上为增函数，所以 f x在41,4kkkZ上为增函数，所以()yf x在2020,2021上为增函数，所以不正确；因为311222fff，1123ff，所以1332ff，所以不正确，即正确的个数为 1个，故选 A【名师点睛】本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合 2f xf x，得到 2f xf xfx 和 42f xf xf x，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出1212()()0 xxf xf x，得到函数的单调性二次函数给定区间上的最问题【典例】求 f(x)x22ax1 在区间0，2上的最大值和最小值【解析】f(x)(xa)21a2，对称轴为 xa(1)当 a0 时，由图可知，f(x)在区间0，2上是增函数，所以f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a(2)当 0a1 时，由图可知，对称轴在区间0，2内，所以 f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a(3)当 12 时，由图可知，f(x)在0，2上为减函数，所以 f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1【点评】上题由于对称轴 xa，而 a 的取值不定，从而导致了分类讨论由于抛物线的对称轴在区间0，2所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是 f(0)，也有可能是 f(2)，故应分四类讨论与二次函数有关的最值问题还有以下三类：(1)求二次函数在某定区间上的最小求二次函数在某定区间上的最小(大大)值值【变式 1】求二次函数 f(x)x22ax2 在2，4上的最小值【解析】函数图象的对称轴是 xa，当 a4 时，f(x)在2，4上是减函数，f(x)minf(4)188a当 2a4 时，f(x)minf(a)2a2衡中数学一本通高分手册30/397f(x)min64a，a4.(2)已知二次函数的最大已知二次函数的最大(小小)值，求参数值，求参数【变式 2】已知函数 yx22ax(0 x1)，且 ymaxa2，求实数 a 的取值范围【解析】yx22ax(xa)2a2(0 x1)，函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴为 xa又ymaxa2，且 0 x1，0a11a0实数 a 的取值范围是1，0(3)求二次函数在某动区间上的最大求二次函数在某动区间上的最大(小小)值值【变式 3】设 f(x)x24x4，xa，a1(aR)，求函数 f(x)的最小值 g(a)的解析式【解析】f(x)(x2)28，xa，a1，当 2a，a1时，即 1a2 时，g(a)f(2)8当 a12，即 a2 时，f(x)在a，a1上是增函数，g(a)f(a)a24a4综上可知，g(a)a22a7，a2.【小结】（1）求)0()(2acbxaxxf在区间,nm上的最值，下面分析0a的各情况：1若对称轴abx2在区间,nm内，则最小值为)2(abf，最大值为)(),(nfmf中的较大者；若mab2，则)(xf在区间,nm内为增函数，则最大值为)(nf，最小值为)(mf；2若nab2，则)(xf在区间,nm内为减函数，则最小值为)(nf，最大值为)(mf专题专题 04函数与导数函数与导数1（高考全国卷理数 6）函数 432f xxx的图像在点 1,1f处的切线方程为（）A21yx B21yx C23yxD21yx【答案】B衡中数学一本通高分手册31/397【解析】432f xxx，3246fxxx，11f，12f ，因此，所求切线的方程为121yx ，即21yx，故选 B2（2019 浙江高考）已知,a bR，函数32,0()11(1),032x xf xxaxax x若函数()yf xaxb恰有 3 个零点，则Aa1，b0Ba0Ca1，b1，b0【答案】C【解析】当 x0 时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得 x=?1?，则 yf（x）axb 最多有一个零点；当 x0 时，yf（x）axb=13x312（a+1）x2+axaxb=13x312（a+1）x2b，2(1)yxax，当 a+10，即 a1 时，y0，yf（x）axb 在0，+）上单调递增，则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0 得 x(a+1，+），此时函数单调递增，令 y0 得 x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3 个零点函数 yf（x）axb 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如图：?1?0 且?013(?+1)312(?+1)(?+1)2?0，解得 b0，1a0，b 16（a+1）3，则 a1，b0，解集在定义域内的部分为单调递增区间。（4）解不等式 f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。3、根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集。(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解。4、划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点。5、个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0 在 x0 时取到)，f(x)在 R 上是增函数。导数与函数极值、最值1、函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况。先找导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号。（2）已知函数求极值。求 f(x)求方程 f(x)0 的根列表检验 f(x)在 f(x)0 的根的附近两侧的符号下结论。（3）已知极值求参数。若函数 f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则 f(x0)0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反。2、求函数 f(x)在闭区间a，b内的最大值和最小值的思路：若所给的闭区间a，b不含有参数，则只需对函数 f(x)求导，并求 f(