2019湖南考研数学二真题(含答案).docx
年寒窗苦读日，只盼金榜题名时，祝你考试拿高分，鲤鱼跳龙门！加油！2019湖南考研数学二真题及答案一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、当时，若与 是 同阶无穷小量，则（ ）、 . 、. 、 . 、 .【答案】.【解析】因为 ，所以，选 .2、曲线的拐点是（ ）、 . 、 . 、 . 、.【答案】.【解析】，令 ，解得或。当时，；当时，所以是拐点。故选 .3、下列反常积分发散的是（ ）、. 、 . 、 . 、.【答案】.【解析】、，收敛；、，收敛；、，收敛；、，发散，故选。4、已知微分方程的通解为，则依次为（ ） 、 . 、 . 、. 、.【答案】D.【解析】 由题设可知是特征方程的二重根，即特征方程为，所以。又知是方程的特解，代入方程的。故选。5、已知积分区域，则（ ）、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。由 ，可得 【画图发现包含在圆的内部】，令，则 ，于是有 ，从而。令，则，。在内单调减少，在单调增加，又因为，故在内，即，从而。综上，选。6、设函数的二阶导数在处连续，则是两条曲线，在对应的点处相切及曲率相等的（ ）、充分非必要条件. 、充分必要条件. 、必要非充分条件. 、既非充分也非必要条件.【答案】.【解析】充分性：利用洛必达法则，由可得 及，进而推出 ，。由此可知两曲线在处有相同切线，且由曲率公式可知曲线在处曲率也相等，充分性得证。必要性：由曲线，在处相切，可得，；由曲率相等，可知或。当时，所求极限，而未必等于0，因此必要性不一定成立。故选。7、设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有2个向量，则（ ）。、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】因为方程组的基础解系中只有2个向量，所以，从而，则0，故选 。8、设是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵，若,且，则二次型的规范型为（ ）、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】设是的特征值，根据得，解得或；又因为，所以的特征值为1，-2，-2，根据惯性定理，的规范型为。故选。二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、.【答案】。【解析】.10、曲线在对应点处的切线在轴上的截距为 。【答案】.【解析】斜率 ，切线方程为 ，截距为。11、设函数可导，则 。【答案】.【解析】，12、曲线的弧长为 【答案】【解析】13、已知函数，则 【答案】【解析】设,则 .14、已知矩阵，表示元素的代数余子式，则 【答案】.【解析】由行列式展开定理得三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）已知函数，求，并求函数的极值【解析】当时，；当时， ； ，即在处不可导综合上述：；令得驻点；是函数的不可导点。当时，；当时，；当时，；当时，；故是函数的极小值点，极小值为；是函数的极小值点，极小值为；函数在处连续且有极大值16、（本题满分10分）求不定积分【解析】设 （1）两边同乘以且令，可得；（2）两边同乘以且令，可得；（3）两边分别令，可得；解得。则 ，于是。17、（本题满分10分）设函数是微分方程满足条件的特解（1）求的表达式；（2）设平面区域，求绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积【解析】（1）方程为一阶线性非齐次微分方程由通解公式可得，把初始条件代入，得，从而得到 （2）旋转体的体积为18、（本题满分10分）设平面区域，计算二重积分【解析】显然积分区域关于轴对称，由对称性可得 ；将化为极坐标，有 ，于是.19、（本题满分10分）设是正整数，记为曲线与轴所形成图形的面积，求，并求【解析】当时，；当时，故曲线与轴之间图形的面积应表示为 ，先计算， 作变量替换 ，于是有 .所以 ，因此 。20、（本题满分11分）已知函数满足关系式求的值，使得在变换之下，上述等式可化为函数的不含一阶偏导数的等式【解析】在变换之下， ，；把上述式子代入关系式，得到根据要求，显然当时，可化为函数的不含一阶偏导数的等式21、（本题满分11分）已知函数在上具有二阶导数，且，证明：（1）至少存在一点，使得；（2）至少存在一点，使得证明：（1）令，则，则由于在连续，则在上可导，且，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得，即；又因为，对在上用罗尔定理 ，则至少存在一点，使得；（2）令，显然 在具有二阶导数，且对分别在上用拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得；至少存在一点，使得；对在上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点，使得，又因为，故22（本题满分11分）已知向量组：；向量组：若向量组和向量组等价，求常数的值，并将用线性表示【解析】向量组和向量组等价的充分必要条件是（1）当时，显然， ，两个向量组等价此时，方程组的通解为，也就是，其中为任意常数；（2）当时，继续进行初等行变换如下：显然，当且时，同时，也就是，两个向量组等价这时，可由线性表示，表示法唯一：（3）当时，,此时两个向量组不等价.综上所述，综上所述，当向量组和向量组等价时，。23、（本题满分11分）已知矩阵 与 相似，（I）求；（II）求可逆矩阵，使得 .【解析】（I）由于与相似，根据矩阵相似必要条件，有 ，即，解得 。（II）矩阵是上三角矩阵，易得的特征值为。又因为与相似，所以的特征值也是。对于矩阵：解方程组，可得属于特征值的线性无关的特征向量为：，对于矩阵：解方程组，可得属于特征值的线性无关的特征向量为：，令， ，则有， 即 ，令 ，则有 ，证毕。
