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10.中值定理电子课件2.5 2.5 中值定理中值定理山西职业技术学院山西职业技术学院-1-1-数学家罗尔数学家罗尔罗尔是法国数学家。1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究，发明了罗尔定理。数学家拉格朗日数学家拉格朗日拉格朗日是17、18世纪之交法国最重要的数学家、物理学家，一个举世罕见的科学天才，是数学分析的开拓者，其主要贡献是：（1）变分法；（2）微分方程数学家柯西数学家柯西柯西出生于巴黎，法国数学家。在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。1821年柯西提出极限定义的方法，把极限过程用不等式来刻画，后经魏尔斯特拉斯改进，成为现在所说的柯西极限定义。教学目标教学目标 知识目标知识目标熟悉罗尔中值定理，掌握拉格朗日中值定熟悉罗尔中值定理，掌握拉格朗日中值定理，知道柯西中值定理理，知道柯西中值定理能较好运用上述定理解决有关问题（如等能较好运用上述定理解决有关问题（如等式与不等式的证明等）式与不等式的证明等）技能目标技能目标运用中值定理解决问题运用中值定理解决问题(如等式与不等式如等式与不等式的证明等的证明等)-2-2-素质目标素质目标通过定理的证明，培养学生逻辑推理的能通过定理的证明，培养学生逻辑推理的能力力培养学生观察能力和分析能力培养学生观察能力和分析能力 -3-3-教学重点教学重点拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理教学难点教学难点罗尔中值定理与拉格朗日中值定理罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的证明的证明-4-4-一、罗尔（一、罗尔（）定理）定理若函数若函数 满足下列条件：满足下列条件：（1 1）在闭区间）在闭区间 上连续；上连续；（2 2）在开区间上）在开区间上 可导；可导；（3 3）；则在则在 内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得-5-5-实际上，切线和弦线实际上，切线和弦线ABAB平行平行-6-6-注意：注意：如果定理的三个条件中有一个不满足如果定理的三个条件中有一个不满足,定理的结论就可定理的结论就可能不成立能不成立.如图中四个图形均不存在如图中四个图形均不存在 ,使使-7-7-二、拉格朗日（二、拉格朗日（）中值定理）中值定理若函数若函数 满足条件满足条件(1)(1)在闭区间在闭区间 上连续；上连续；(2)(2)在开区间在开区间 内可导；内可导；则在则在 内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得 或或 -8-8-切线与弦线AB平行如何用罗尔定理如何用罗尔定理证明？证明？-9-9-证明证明 作辅助函数作辅助函数 （从几何上看，（从几何上看，为弧为弧 与弦与弦 的纵坐标之差）的纵坐标之差）由定理假设易知由定理假设易知 满足条件：满足条件：（1 1）在闭区间上）在闭区间上 连续（连续（2 2）在开区间）在开区间 内可导（内可导（3 3）因此因此,由罗尔定理得由罗尔定理得,至少存在一点至少存在一点 使得：使得：即即 证毕证毕.-10-10-推论推论1 1 如果函数如果函数 在区间在区间 内任意一内任意一点的导数点的导数 都等于都等于 0,0,则函数则函数 在在 内是一个常数内是一个常数.推论推论2 2 如果函数如果函数 与与 在区间在区间 内任意一点的导数内任意一点的导数 与与 都相等，则都相等，则这两个函数在区间这两个函数在区间 内至多相差一个常数内至多相差一个常数.-11-11-例例1 1 验证拉格朗日定理对函数验证拉格朗日定理对函数 在在 上的正确性上的正确性.例例2 2 证明不等式证明不等式 例例3 3 证明等式证明等式 -12-12-三、柯西（三、柯西（)定理定理若函数若函数 与与 满足条件：（满足条件：（1 1）在闭区）在闭区 上上连续；（连续；（2 2）在开区间）在开区间 内可导；（内可导；（3 3）在）在 内任意一点处内任意一点处 都不等于零；则至少存在一点都不等于零；则至少存在一点 ,使得使得-13-13-