小学四年级奥数举一反三.pdf

小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲（全精品）目录第1讲 找 规 律（一）第2讲 找 规 律（二）笫3讲 简 单 推 理第4讲 应 用 题（一）第5讲 算 式 谜（一）第6讲 算 式 谜（二）第7讲最优化问题第8讲 巧 妙 求 和（一）第9讲 变 化 规 律（一）第10讲 变 化 规 律第11讲 错 中 求 解 第12讲 简 单 列 举第 13讲 和 倍 问 题 第 14讲 植 树 问 题第 15讲 图 形 问 题第 16讲 巧 妙 求 和第 17讲 数 数 图 形第 18讲 数 数 图 形第 19讲 应 用 题第 20讲 速 算 与 巧 算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周 平均数问题第二十三周 定义新运算第二十四周 差倍问题第二十五周 和差问题第二十六周 巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题 第三十一周还原问题 第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周 应用题（四）第三十九周盈亏问题 第四十周数学开放题第1讲 找 规 律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展 和变化规律,在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律:1 .根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所 要填的数；2 .根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填 的数；3 .要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规 律；4 .数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之 有理，所得出的规律都可以认为是正确的。二、精讲精练【例 题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号 里填上适当的数。1,4,7,1 0,(),1 6,1 9【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3,即每 一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数 为：1 0+3=1 3 或 1 6 3=1 3。像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上 适当的数。(1)2,6,1 0,1 4,(),2 2,2 6(2)3,6,9,1 2,(),1 8,2 1(3)3 3,2 8,2 3,(),1 3,(),3(4)5 5,4 9,4 3,(),3 1,(),1 9(5)3,6,1 2,(),4 8,(),1 9 2(6)2,6,1 8,(),1 6 2,()(7)1 2 8,6 4,3 2,(),8,(),2(8)1 9,3,1 7,3,1 5,3,(）,（）,1 1,3.【例题2】先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。1,2,4,7,(),1 6,2 2【思路导航】在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1,2,3o由此可以推算7比括号里的数少4,括号里应填:7+4=1 1。经验证，所填的数是正确的。应填的数为:7+4=1 1或1 6-5=1 1。练习2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当 的数。(1)1 0,1 1,1 3,1 6,2 0,(2)1,4,9,1 6,2 5,(3)3,2,5,2,7,2,(2(4)5 3,4 4,3 6,2 9,(1 1,9,8(5)8 1,6 4,4 9,3 6,(1,0(6)2 8,1,2 6,1,24,1,2 0,1(7)3 0,2,2 6,2,2 2,2,1 4,2),3 1),4 9,6 4),(),1 1,),18,(),),1 6,(),4,(),(),(),(),1 4(8)1,6,4,8,7,1 0,(),(),1 3,【例题3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。2 3,4,2 0,6,1 7,8,(),(),1 1,1 2【思路导航】在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数,第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个 数，第四个数加上2的和是第六个数依此规律，8 后面的一 个数为:1 7-3=1 4,1 1 前面的数为：8+2=1 0练习3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。(1)1,6,5,1 0,9,1 4,1 3,(),()(2)1 3,2,1 5,4,1 7,6,(),()(3)3,2 9,4,2 8,6,2 6,9,2 3,(),(),1 8,1 4(4)2 1,2,1 9,5,1 7,8,(),()(5)3 2,2 0,2 9,1 8,2 6,1 6,(),(),2 0,1 2(6)2,9,6,1 0,1 8,1 1,5 4,(),(),1 3,4 8 6(7)1,5,2,8,4,1 1,8,1 4,(),()(8)3 2 0,1,1 6 0,3,8 0,9,4 0,2 7,(),()【例题 4】在数列 1,1,2,3,5,8,1 3,(),3 4,5 5 中，括号里应填什么数？【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开 始，每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律，括号里 应填的数为：8+1 3=2 1或3 4-1 3=2 1上面这个数列叫做斐波那切(意大利古代著名数学家)数列,也 叫 做“兔子数列”。练习4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。(1)2,2,4,6,1 0,1 6,(),()(2)3 4,2 1,1 3,8,5,(),2,()(3)0,1,3,8,2 1,(),1 4 4(4)3,7,1 5,3 1,6 3,()()(5)3 3,1 7,9,5,3,()(6)0,1,4,15,56,()(7)1,3,6,8,16,18,(),(),76,78(8)0,1,2,4,7,12,20,()例 题5下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合 的，在口里填上适当的数。(8,4)(5,7)(10,2)(,9)【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的 两个数相加的和都是12。根据这一规律，口里所填的数应为：12-9二3练习5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在口 里填上适当的数。(1)(6,9)(7,8)(10,5)(,)(2)(1,24)(2,12)(3,8)(4,)(3)(18,17)(14,10)(10,1)(,5)(4)(2,3)(5,9)(7,13)(9,)(5)(2,3)(5,7)(7,10)(10,)(6)(64,62)(48,46)(29,27)(15,)(7)(100,50)(86,43)(64,32)(,21)(8)(8,6)(16,3)(24,2)(12,)第2讲 找 规 律(二)一、知识要点对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面 来思考：1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活 地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一 种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往 与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破 口。3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式 中的所有算式。二、精讲精练【例 题1】根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：1 2+6=1 8,8+7=1 5,即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=1 2o练 习1：找规律，在空格里填上适当的数。【例 题2】根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个 图形的括号里应填什么数?【思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5 x 1 2 4-1 0=6 4 x 2 04-1 0=8根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8 x 3 0:1 0=2 4.；_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _I练习2：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。(1)(2)(3)【例题3】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的 规律，并根据规律直接写出后几题的得数。1 2 3 4 5 6 7 9 x 9=1 2 3 4 5 6 7 9 x 18=1 2 3 4 5 6 7 9 x 5 4=1 2 3 4 5 6 7 9x 8 1=【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是1 2 3 4 5 6 7 9,它是有趣的“缺 8 数”，与 9 相乘，结果是由九个1 组成的九位 数，即：l l l l l l l l l o 不难发现，这组题得数的规律是：只要看 每道算式的第二个因数中包含几个9,乘积中就包含几个 l l l l l l l l l o因为：1 2 3 4 5 6 7 9 x 9=1 1 1 1 1 1 1 1 1所以：1 2 3 4 5 6 7 9 x 1 8=1 2 3 4 5 6 7 9 x 9 x 2=2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 7 9 x 5 4=1 2 3 4 5 6 7 9 x 9 x 6=6 6 6 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 7 9 x 8 1=1 2 3 4 5 6 7 9 x 9 x 9=9 9 9 9 9 9 9 9 9.练习3：找规律，写得数。(1)1+0 x9=2+1x9=3+12x9=4+123x9=9+12345678x9=(2)1x1=11x11=111x111=111111111x111111111=(3)19+9x9=118+98x9=111 7+987x9=11116+9876 x 9=111115+98765x9=【例题4】找规律计算。(1)81-18=(8-1)x9=7x9=63(2)72 27=(7-2)x9=5x9=45(3)63-36=(-)x9=nx9=n【思路导航】经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交 换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，只要用十位与个位 数字的差乘9,所得的积就是这两个数的差。练习4：1.利用规律计算。(1)53 35(2)82-28(3)92-29(4)61-16(5)95-592.找规律计算。6 2+2 6=(6+2)x 1 1=8 x 1 1=8 8(2)8 7+7 8=(8+7)x l l=1 5 x l l=1 6 5 (3)5 4+4 5=(+)x l l=n x l l=n【例 题 5】计 算(1)2 6 x 1 1 (2)3 8 x 1 1【思路导航】一个两位数与1 1相乘，只要把这个两位数的 两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。(1)2 6 x 1 1=2 (2+6)6=2 8 6 (2)3 8 x 1 1=3 (3+8)8=4 1 8注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。练 习5：计算下面各题。(1)2 7 x 1 1 (2)3 2 x 1 1(3)3 9 x 1 1 (4)4 6 x 1 1 (5)9 2 x 1 1 (6)9 8 x 1 1第3讲 简 单 推 理一、知识要点解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突 破口。推理要有条理地进行，要充分利用已经得出的结论，作为 进一步推理的依据。二、精讲精练【例 题1】一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4袋 牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的 重量？【思路导航】根 据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量=一包巧克力的重量”可推出：两袋饼干 的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的重量=两袋牛肉干 的重量。练 习1：(1)一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重 量等于一只菠萝的重量，一只梨子的重量等于几根香蕉的重量？(2)3包巧克力的重量等于两袋糖的的重量，1 2袋牛肉干 的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉干的 重量？(3)一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等 于4只鸭的重量。一只小猪的重量等于几只鸭的重量？【例 题2】一头象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量 等于3匹小马的重量，一匹小马的重量等于3头小猪的重量。一 头象的重量等于几头小猪的重量？【思路导航】根 据“一头象的重量等于4 头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小马的重量“可推出：”一头象的重量 等于1 2 匹小马的重量“，而”一匹小马的重量等于3 头小猪的 重量”，因此，一头象的重量等于3 6 头小猪的重量。练习2：(1)一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，1 个菠萝的重 量等于4 个苹果的重量，1 个苹果的重量等于两个橘子的重量。1 只西瓜的重量等于几个橘子的重量？(2)一头牛一天吃草的重量和一只兔子9 天吃草的重量相 等，也和6 只羊一天吃草的重量相等。已知一头牛每天吃青草 1 8 千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？(3)一只小猪的重量等于6 只鸡的重量，3 只鸡的重量等 于4 只鸭的重量，两只鸭的重量等于6 条鱼的重量。问：两只小 猪的重量等于几条鱼的重量？【例题3 根据下面两个算式，求。与各代表多少？。+。+o=1 8 o +n=1 0【思路导航】在第一个算式中，3 个。相加的和是1 8,所以。代表的数是：1 8+3=6,又由第二个算式可求出口代表的数是：1 0-6=4.练习3：(1)根据下面两个算式，求与各代表多少？+=3 2 0=2 0(2)根据下面两个算式，求。与各代表多少？。+。+o=1 5。+。+口 +口 +口=40(3)根据下面两个算式，求。与各代表多少？。一=8 +=0【例题4】根据下面两个算式，求。与各代表多少？o=2 o +o +A=56【思路导航】由第一个算式可知，比。多2；如果将第二个 算式的。都换成,那么5 个=56+2 x 2,=1 2,再由第一个算 式可知,o=1 2-2=1 0.练习4：(1)根据下面两个算式求与。各代表多少？o=8 口 +口 +。+。=2 0(2)根据下面两个算式，求与。各代表多少？+0 +o=7 8 +0+0 +0=7 2(3)根据下面两个算式，求与各代表多少?+=1 2 +=2【例 题5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生,在区运动会上他们分别获得跳高、跳远和垒球冠军。已知：二小 的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军，甲不是跳高冠军；乙既不 是二小的也不是跳高冠军。问：他们三个人分别是哪个学校的？获得哪项冠军？【思路导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军 是一小或三小的；因 为“一小的不是垒球冠军”，所以一小一定 是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军，乙 既不是二小的也不是跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军，二 小的丙是跳远冠军，三小的乙是垒球冠军。练 习5：(1)有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿 花的，一个穿白的，一个穿红的。但不知哪一个姓王、哪一个姓 李、哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓王的既不是穿 红裙子，也不是穿花裙子。你能猜出这三个女孩各姓什么吗？(2)小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参加1 0 0米比赛，比 赛结束后小猴说：“我比小猫跑得快。小狗说：小鹿在我前面冲过终点线。“小兔说：“我们的名次排在小猴前面，小狗在 后面。”请根据它们的回答排出名次。(3)五个女孩并排坐着，甲坐在离乙、丙距离相等的座位 上，丁坐在离甲、丙距离相等的座位上，戌坐在她两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐？第 4 讲 应 用 题(一)一、知识要点解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析 题目中数量间的关系，通过对条件进行比较、转化、重新组合等 多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。二、精讲精练【例 题 1】某玩具厂把630件玩具分别装在5 个塑料箱和 6 个纸箱里，1 个塑料箱与3 个纸箱装的玩具同样多。每个塑料 箱和纸箱各装多少件玩具？【思路导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。因为3 个纸箱与 一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样，5 个塑料箱装的玩具件数和7 个塑料箱装的就同样多。由 此，可求出一个塑料箱装多少件。练习1：（1）百货商店运来3 0 0 双球鞋分别装在2 个木箱和6 个纸 箱里。如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多，每个木箱和每 个纸箱各装多少双球鞋？（2）新华小学买了两张桌子和5 把椅子，共付款1 9 5 元。已知每张桌子的价钱是每把椅子的4 倍，每张桌子多少元？（3）王叔叔买了 3千克荔枝和4千克桂圆，共付款1 5 6 元。已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每 千克桂圆各多少元？【例题2】一桶油，连桶重1 8 0 千克，用去一半油后，连桶 还有1 0 0 千克。问：油和桶各重多少千克？【思路导航】原来油和桶共重1 8 0 千克，用去一半油后，连 桶还有1 0 0 千克，说明用去的一半油的重是1 8 0 1 0 0=8 0（千克）,一桶油的重量就是8 0 x 2=1 6 0 （千克），油桶的重量就是1 8 0 1 6 0=2 0 （千克）。练习2：(1)一筐梨，连筐重3 8 千克，吃去一半后，连筐还有2 0 千克。问：梨和筐各重多少千克？(2)一筐苹果，连筐共重3 5 千克，先拿一半送给幼儿园小 朋友，再拿剩下的一半送给一年级小朋友，余下的苹果连筐重 H 千克。这筐苹果重多少千克？(3)一只油桶里有一些油，如果把油加到原来的2 倍，油 桶连油重3 8 千克；如果把油加到原来的4倍，这里油和桶共重 4 6 千克。原来油桶里有油多少千克？【例题3】有 5 盒茶叶，如果从每盒中取出2 0 0 克，那么5 盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有 多少克？【思路导航】由条件”每盒取出2 0 0 克，5 盒剩下的茶叶正 好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出，拿出的2 0 0 x 5=1 0 0 0 (克)茶叶正好等于原来的5 4=1 (盒)茶叶的重量。练习3：(1)有 6 筐梨子，每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出 4 0 个，6 筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等。原 来每筐有多少个？(2)在5个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个木箱中 拿出6 0个橘子，那 么5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于 原来两个木箱里橘子个数的和。原来每个木箱中有多少个橘子？(3)某食品店有5箱饼干，如果从每个箱子里取出2 0千克,那么5个箱子里剩下的饼干正好等于原来3箱饼干的重量。原来 每个箱子里装多少千克饼干？例 题4 一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产6 0 张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。原 计划要生产多少张课桌？【思路导航】这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比 原计划提前1天完成任务，这就相当于把原计划最后1天的任务 平均分到前面的几天去做，正好分完。实际比原计划每天多生产 4张，所以实际生产的天数是6 0+4=1 5天，原计划生产的天数是 1 5+1=1 6天。所以原计划要生产6 0 x 1 6=9 6 0张。练习4：(1)电视机厂接到一批生产任务，计划每天生产9 0台，可以按期完成。实际每天多生产5台，结果提前1天完成任务。这 批电视机共有多少台？(2)小明看一本故事书，计划每天看1 2 页，实际每天多看 8页，结果提前2 天看完。这本故事书有多少页？(3)修一条公路，计划每天修60 米，实际每天比计划多修 1 5米，结果提前4 天修完。一共修了多少米？【例题5】有两盒图钉，甲盒有7 2 只，乙盒有4 8 只，从甲 盒拿出多少只放入乙盒，才能使两盒中的图钉相等？【思路导航】由条件可知，甲盒比乙盒多7 2-4 8=2 4 只。要 盒两盒中的图钉相等，只要把甲盒比乙盒多的2 4 只图钉平均分 成 2 份，取其中的1 份放入乙盒就行了。所以应拿出2 4+2=1 2 只。练习5：(1)有两袋面粉，第一袋面粉有2 4 千克，第二袋面粉有 1 8 千克。从第一袋中取出几千克放入第二袋，才能使两袋中的 面粉重量相等？(2)有两盒图钉，甲盒有7 2 只，乙盒有4 8 只。每次从甲 盒中拿4 只放到乙盒，拿几次才能使两盒相等？(3)有两袋糖，一袋是68 粒，另一袋是2 0 粒。每次从多 的一袋中拿出6 粒放到少的一袋里，拿几次才能使两袋糖同样 多？第5讲 算 式 迷（一）一、知识要点算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的 算式。解决这类问题，可以根据已学过的知识，运用正确的分析 推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号Q由于这类题目的 解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏，所以，我们把这类题目 称 为“算式谜题”。_解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数 据之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析求解，通常要运用 倒推法、凑整法、估值法等。二、精讲精练【例 题I在下面算式的括号里填上合适的数。【思路导航】根据题目特点，先看个位：7+5=1 2,在和的 个 位（）中填2,并向十位进一；再看十位，（）+4+1的和个 位 是1,因此，第一个加数的（）中只能填6,并向百位进1；最后来看百位、千位，6+0+1的和的个位是2,第二个加数的（）中只能填5,并向千位进1；因此，和 的 千 位（）中应 填8。练 习1：（1）在括号里填上合适的数。（2）在方框 里填上合适的数。1（3）下面的竖式里，有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数字的和。【例 题2】下面各式中“巨 、龙、腾、”飞分 别代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表 什么数字时，下列的算式成立。【思路导航】先看个位，3个飞”相加的和的个位数字是1,可 推 知“飞”代表7；再看十位，3个 腾 相 加，再加上个位进来的2,所得的和的个位是0,可推知“腾”代表6；再看 百位，两 个“龙”相加，加上十位进上来的2,所得和的个位是 0,“龙”可能是4 或 9,考虑到千位上的“巨 不可能为0,所 以 龙 只能代表4,巨 只能代表1。练习2：【例题3】下面各式中的 兵、炮、马、“卒”各代表09 这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相 同的数字。这些汉字各代表哪些数字？【思路导航】这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和卒”相加和的个位数字仍然是 卒，这个数字只能是0。确 定“卒”是。后，所 有 是“卒”的地方，都是0。注意到百位上 是兵 +兵 =卒 ，容易知道兵”是5,“车”是1；再由十位上的情况可推知 马”是4,进而推得 炮”是2。练习3：【例 题4】将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和 方格内，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算 式。O X O=a=O-rO【思路导航】要求用七个数字组成五个数，这五个数有三个 是一位数，有两个是两位数。显然，方格中的数和被除数是两位 数，其他是一位数。0和1不能填入乘法算式，也不能做除数。由于2 X 6=1 2 （2 将出现两次），2 x 5=1 0（经试验不合题意），2 x 4=8 （7个数字中没有8),2 x 3=6 (6 不能成为商)。因此，0、1、2 只能用来 组成两位数。经试验可得：3 x 4=1 2=6=4-5.练习4：(1)将 0、1、3、5、6、8、9 这七个数字填在圆 圈和方筐里，每个数字恰好出现一次组成一个整数算 式。O X O=D=O-O(2)填入 1、2、3、4、7、9,使等式成立。+(3)用 1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式：(1+3)x 7=2 8 o 请你用0、1、2、3、4、6 这六个数字列成一个算式。【例题5】把“+、一、X、分别放在适当的圆圈中(运 算符号只能用一次)，并在方框中填上适当的数，使下面的两个 等式成立。3 6 o 0o l 5=1 5 2 1 o 3 o 5=n【思路导航】先从第一个等式入手，等式右边是1 5,与等 式左边最后一个数1 5 相同，因为0+1 5=1 5,所以，只要使3 6 与 0 的运算结果为0 就行。显然，3 6 x 0+1 5=1 5因为第一个等式已填 X 、,在第二个等式中只有 一 、可以填，题目要求在方框中填整数，已知3 不能被 5 整除，所以只能填在2 1 与 3 之间，而 3与 5 之间填练 习5：(1)把“+、一、X、+”分别填入下面的圆圈中,并在方框中填上适当的整数，使下面每组的两个等式成 立。9。1 3。7=1 00 1 4o 2 o 5=n 1 7 o 6 o 2=1 00 5 o l 4o 7=a(2)将19这九个数字填入口中(每个数字只能用一次)，组成三个等式。+=*=第6讲 算 式 谜(二)一、知识要点解决算式谜题,关键是找准突破口，推理时应注意以下几点:1 .认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选 择有特征的部分作出局部判断；2 .利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字;3 .试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范 围，达到快速而准确的目的；4 .算式谜解出后，要验算一遍。二、精讲精练【例 题1】在下面的方框中填上合适的数字。【思路导航】由积的末尾是0,可推出第二个因数 的 个 位 是5；由第二个因数的个位是5,并结合第一个因数与 5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第 一个因数为3 7 6与 积 为3 1口 口0,可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。练 习1 ：在口里填上适当的数。【例题2】在下面方框中填上适合的数字。【思路导航】由商的十位是1,以及1 与除数的乘积的最高位是 1 可推知除数的十位是1。由第一次除后余下的数是1,可推知 被除数的十位只可能是7、8、90如果是7,除数的个位是0,那么最后必有余数；如果被除数是8,除数的个位就是1,也不 能除尽；只有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的 个位为6,正好除尽。完整的竖式是：练习2：在口内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。【例 题3】下 面 算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什 么数字？思路导航】因为四位数a b e d乘9的积是四位数，可 知a是1；d和9相 乘 的 积的个位是1,可 知d只 能 是9；因为 第 二 个 因 数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所 以b只 能 是0 （1已经用过）；再 由b=0,可 推 知c=8 0练 习3：求下列各题中每个汉字所代表的数字。【例题4】在 1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间 加 上“+、一 两种运算符号，使其结果等于1 0 0 （数字的顺序 不能改变）。23456789=1 0 0【思路导航】先凑出与1 0 0 比较接近的数，再根据需要把相 邻的几个数组成一个数。比如：1 2 3 与 1 0 0 比较接近，所以把前三个数字组成1 2 3,后面的数字凑出2 3 就行。因为4 5 与6 7 相差2 2,8与9 相差1,所以得到一种解法：1 2 3+4 5 6 7+8 9=1 0 0再比如：8 9 与 1 0 0 比较接近，7 8 与6 7 正好相差1 1,所此 可得另一种解法：1 2 3+4 5 6 7+8 9=1 0 0.练习4：（1）在下面等号左边的数字之间添上一些加号,使其结果等于9 9 （数字的顺序不能改变）。8 7 6 5 4 32 1 =9 9(2)一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方,使其结果等于1 0 0 (数字的顺序不能改变)。1 2 3 4 56 7 8 9 =1 0 0(3)添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。1 2 3 4 5 =1 0 0【例题5】在下面的式子里添上括号，使等式成立。7 x 9 +1 2 4-3-2 =2 3【思路导航】采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如 最后一步是用前面计算的结果减2,那么前面式子的运算结果应 等2 5,又因为2 5 x 3=7 5,而前面7 x 9+1 2 又正好等于7 5,所以，应给前面两步运算加括号。(7 x 9+1 2)4-3-2 =2 3练习5：1 .在下面的式子里添上括号，使等式成立。(1)7 x 9+1 2 4-3-2 =7 5 (2)7 x 9+1 2 4-3-2 =4 7 (3)8 8+3 3-1 1 4-1 1 x 2 =52.在 1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“十、“两种运算符号，使其结果等于1 0 0 (数字的顺序不能改变)。第7讲 最 优 化 问 题一、知识要点在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一 件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类 问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省、”面 积 最 大 、损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情 况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。二、精讲精练【例 题1】用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个 饼需要2分 钟（规定正反面各需要1分钟）。问煎3个饼至少需 要多少分钟？【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两 个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第 三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去,再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。所以，煎3个饼 至少需要3分钟。练 习1：L烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即 烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子，一次只能放两 片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？2.用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的 一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？3.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要 用4分 钟（每面各需要2分钟）。可小华烙6个大饼只用了 6 分钟，他是怎样烙的？【例 题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟,烧开水需要1 5分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？【思路导航】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样 可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水 不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进 行。根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着 烧开水用1 5分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏 茶，共需要1 6分钟。练习2：L小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要1 0分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要 4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟？2.小强给客人沏茶，烧开水需要1 2分钟，洗茶杯要2分钟,买茶叶要8分钟,放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶,你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？3.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3 分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语3 0分钟，吃早餐1 0分钟，收碗 擦 桌5分钟，收听广播3 0分钟。最少需要多少分钟？【例 题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达 学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布 需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室 的时间总和最短？【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间 长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样,三位同学留在卫生室的时间分别是:李佳1分钟，赵1+3=4分钟,赵 明1+3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=1 4分钟。练 习3：1 .甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到 达开水供应点打热水。热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的 次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？2 .甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三 人需要的时间分别是1 0分钟、1 6分钟和8分钟。怎样安排，使 3人所花的时间最少？最少时间是多少？3 .甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把 需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需要1 0分钟，丁 用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序，使他们所花的 总时间最少？最少时间是多少？【例题4】用1 8厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和 宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少？【思路导航】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的 和 是1 8+2=9厘米。显然，当长与宽的差越小，围成的长方形的 面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5 厘米，宽是4厘米时，围成的长方形的面积最大：5 x4=2 0平方 厘米。练习4：1.用长2 6厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度 都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少？2.一个长方形的周长是2 0分米，它的面积最大是多少？3.一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都 是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米？【例 题5】用36这四个数字分别组成两个两位数，使这 两个两位数的乘积最大。【思路导航】解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大 数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。所以应把6和5 这两个数字放在十位，4和3放在个位。根 据“两个因数的差越 小，积越大”的规律，3应放在6的后面，4应放在5的后面。63x54=3402.练 习5：1.用14这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位 数的乘积最大。2.用58这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位 数的乘积最大。3.用38这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位 数的乘积最大。第8讲 巧 妙 求 和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为 项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为 等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式和“项 数公式”。通项公式：第门项=首项+（项数-1）x公差项数公式：项数=（末 项-首 项）+公差+1二、精讲精练【例 题1】有一个数列：4,1 0,1 6,22.5 2.这个数列共有多少项?【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6,首项 是 4,末项是5 2.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。项数=(5 2-4)+6+1=9,即这个数列共有9 项。练习1：1 .等差数列中，首项=1.末项=3 9,公差=2.这个等差数列共 有多少项？2 .有一个等差数列：2.5,8,1 1.,1 0 1.这个等差数列共 有多少项？3 .已知等差数列差.1 6,2 1.2 6,1 0 0 1.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7,1 1.1 5,，这个等差数 列的第1 0 0 项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4,项数是 1 0 0 o 要求第1 0 0 项，可根据“末项=首项+公差X (项数一1)”进行计算。第 1 0 0 项=3+4 x(1 0 0-1)=3 9 9.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=1 0,它的末项是多少？2.求1.4,7,1 0 这个等差数列的第3 0项。3.求等差数列2.6,1 0,1 4 的第1 0 0项。【例 题3】有这样一个数列：1.2.3.4,，9 9,1 0 0 o请求 出这个数列所有项的和。【思路导航】如果我们把1.2.3.4,，9 9,1 0 0与 列1 0 0,9 9,3.2.1 相加，则 得 到(1+1 0 0)+(2+9 9)+(3+9 8)+.+(9 9+2)+(1 0 0+1),其中每个小括号内的两个数的和都是1 0 1.一共有1 0 0个1 0 1相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再 除以2.就是所求数列的和。1+2+3+9 9+1 0 0=(1+1 0 0)x 1 0 0 4-2=5 0 5 0上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列 都可以用下面的公式求和：等差数列总和二(首项+末 项)X项数+2这个公式也叫做等差数列求和公式。练 习3：计算下面各题。(1)1+2+3+.+4 9+5 0(2)6+7+8+.+7 4+7 5(3)1 0 0+9 9+9 8+.+6 1+6 0【例题4】