广东省梅州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷.pdf

广东省梅州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷阅卷人、单选题(共8题；共16分)得分1.(2 分)已知2 =型，贝 反=()IA.l +3 i B.l-3 i C.3 +i【答案】B【解析】【解答】z=尊=l-3 io1l-l)故答案为：B.D.3-i【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z。2.(2 分)某高中开展学生视力水平的调查活动，已知该校高一年级有学生1 0 5 0 人，高二年级有学生 1 0 0 0 人，高三年级有学生9 5()人，现需要从全校学生中用分层抽样的方法抽取1 0 0 人进行调查,则应从高一学生中抽取的人数为()A.3 0 B.3 3 C.3 5 D.3 6【答案】C【解析】【解答】根据分层抽样的方法，应从高一学生中抽取的人数为1 0。x万 丽 喘 口 时A.U J vz I JL Vz U Vz I 7 J vz3 5。故答案为：C.【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，进而求出应从高一学生中抽取的人数。3.(2 分)已知0),B(0,1),C(3,-1).且A,B,C 三点共线，则m =()A.B.C.今 D.【答案】A【解析】【解答】由做m,0),B(0,1),C(3,一 1),得 通=(-巾，1),前=(3,-2),因为A,B,C 三点共线，所以南由，即(-m)x(-2)-l x 3 =0,解得m =|,所以m故答案为：A.【分析】利用已知条件结合三点共线与向量共线的等价关系，再结合向量共线的坐标表示，进而得出实数m的值。4.（2分）如图，A 4 0,夕是水平放置的 AO B的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知0,为坐标原点，顶点/、8,均在坐标轴上，且 AO B的面积为1 2,则08的长度为（）【答案】B【解析】【解答】画出 AO B的原图为直角三角形，且。4=OA=6,因为:0 8 x 0 4 =1 2,所以0B=4,所以。8=0 B =2。故答案为：B.【分析】利用已知条件结合斜二测画直观图的方法，从而画出A A O B的原图为直角三角形，一 且04=0 4 =6,再利用三角形的面积公式得出O B的长，再结合中点的性质，进而得出OB的长度。5.（2分）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，某运动选手从男子500米、男子1000米、男子1500米、男子5000米接力、混合团体2000米接力5 项中等可能的选3 项参赛，则该选手没有选择男子5()00米接力的概率为()A.1 B.1 C.|D.|【答案】C【解析】【解答】记男子500米、男子1000米、男子1500米、男子5000米接力、混合团体2000米接力分别为a,b,c,d,e，则从5 项中选3 项参赛的样本空间为：0=(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,c,d),(a,c,e),(a,d,e),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e),(c,d,e)共10个样本点，记“该选手没有选择男子5000米接力”的事件4则4=(a b,c),(a,b,e),(a,c,e),(b,c,e)共4 个样本点，由古典概型的计算公式，得所以P(4)=余=故答案为：C.【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出该选手没有选择男子5000米接力的概率。6.(2 分)设 m,n 是空间中两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若m _ L a,n 1/?,ml n,则a 1 夕B.若u a,n u B，a/?，则m/九C.若?n/a,n/S，a _ L .则zn 1 nD.若m u a,n u 0,m/n 则a/S【答案】A【解析】【解答】对于A,可在m 上取向量而作为平面a 的法向量，在 n 上取向量运作为平面 的法向量，则由m 1 几 可知记_L元，故a J.凡 A 符合题意；对于B,若m u a,n u 0,a位 则 m,n 可能是异面直线，B 不符合题意；对于C,若小a,n 用,a S，则 m,n 可能是平行直线，不一定垂直，C 不符合题意；对于D,若m u a,n u B，m/n 则a,可能相交，即当m,n 都和两平面的交线平行时，即有m/n,故a,不一定平行，D不符合题意。故答案为：A【分析 1 利用已知条件结合面面垂直的判定定理、线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法、面面平行的判定定理，进而找出说法正确的选项。7.（2 分）已知圆锥的侧面展图为一个半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比为（）A.1：9 B.1：8 C.1：4 D.1：3【答案】C【解析】【解答】由题意可知，设圆锥的母线长为2,半径为r,则因为圆锥的侧面展图为一个半圆，所以基 2 兀”，=加 2,解得 =2 r,圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设内切球半径为七,设圆锥的一个轴截面为A P A B,如图所示，则内切圆的半径为圆锥内切球的半径，在P A B 中，PA=PB=/,C 为4 B 的中点，AB=2r=I,所以 P A 8 为等边三角形,贝啧-PA-PB-si n6 0 =如/4 +PB+AB）,即以/x，x卑=聂式，+l +2r）,解得=电/,所以圆锥内半径最大的球的表面积为S =4 叫 2 =4 兀X 隐）=飙 2,又 P A B 夕卜接圆的直径为2/?2 =峥1，/sin600 3所以圆锥的外接球的半径4=争，2所以圆锥外接球的表面积为S2=4亚 2=4兀X(学)=，2,所叫白故答案为：C.【分析】由题意可知，设圆锥的母线长为1,半径为r,再利用圆锥的侧面展图为一个半圆结合弧长公式和圆的周长公式，进而得出l=2 r,再利用圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设内切球半径为Ri，设圆锥的一个轴截面为a P A B,则三角形APAB内切圆的半径为圆锥内切球的半径，在APAB中，PA=PB=I,C为AB的中点，A B 2 r =l,所以三角形 P4B为等边三角形，再利用三角形的面积公式得出再利用球的表面积公式得出圆锥内半径最大的球的表面积，再利用正弦定理得出三角形APAB外接圆的直径，从而求出圆锥的外接球的半径，再利用球的表面积公式得出圆锥外接球的表面积，进而得出该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比。8.(2 分)同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用 x 表示红色骰子的点数，y 表示绿色骰子的点数，设事件4=x+y=7，事件B=xy为奇数”，事件C=3”，则下列结论正确的是()A.4 与B对立 B.P(BC)=1C.4 与C相互独立 D.B与C相互独立【答案】C【解析】【解答】依题意，样本空间为：/2=(1.1).(1.2),(1.3).(1,4).(1,.5).(1,6).(2.1).(2.2).(2.3).(2,4).(2.5).(2,6),(3.1),(3,2).(3,3),.(3.4),(3,5),(3,6).(4,1),(4,2).(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6.1),(6,2),(6,3).(6,4).(6,5).(6,6)；共 36种，事件A包含的基本事件为：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6种，,P =4 事件B包含的基本事件为：(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共 9 种，9 1 P=希=靖事件C包含的基本事件为:(4.1).(4,2).(4.3).(4,4).(4,5),(4,6),(5.1),(5,2),(5,3),(5,4).(5,5),(5,6),(6.1).(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共1 8种,0”、_ 1 8 _ 1P(G 3 6 2,对于A,事件A与事件B互斥，不对立,A不符合题意;事件B与事件C同时发生的基本事件为:(5,1),(5,3),(5,5),共 3 种,P（B C）=余=B不符合题意;事件4与事件C同时发生的基本事件为:(4,3),(5,2),(6,1).共 3 种,3 1 P H。)=%=套,对于 C,P(4 7)=P G 4)P(C),C 符合题意;对于D,P（B C）手P（B）P（C）,D不符合题意.故答案为：C.【分析】利用已知条件结合对立事件的定义、独立事件乘法求概率公式、独立事件的定义，进而找出结论正确的选项。阅卷人得分二、多选题（共4题；共8分）9.（2分）下图为我国2 0 2 0年2月至1 0月的同城快递量与异地快递量的月统计图:我国月快递量统计图同城快递量（单 位：万件）一异地快递量（单 位：万件）2月 3月 4月 5月6月 7月 8月9月 10月根据统计图，下列结论正确的是（A.异地快递量逐月递增B.同城快递量，9月份多于1 0月份)C.同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同D.同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同【答案】B,D【解析】【解答】对于A,异地快递量6月份为613818.6万件大于7月份为572812.9万件，所以错误；对于B,同城快递量9月份为113215.1万件，多于10月份为97454.2万件，所以正确；对于C,由图可以看出，同城的月快递量达到峰值为10月份，异地的月快递量达到峰值为6月份，所以错误；对于D,由图可以看出，同城快递量的月增长率达到最大的为3月份，异地快递量的月增长率达到最大的为3月份，所以正确.故答案为：BD.【分析】利用已知条件结合折线图中的数据，再结合统计的知识，进而得出结论正确的选项。10.（2分）欧拉公式/x =cosx+isinx（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）A.*+1=0B.复数e2i在复平面内对应的点位于第二象限C.复数e率的共粗复数为好畀D.复数e仇（。e R）在复平面内对应的点的轨迹是圆【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A,0讥+1=cosTT+isinTr 4-1=-1 4-0 +1=0,A符合题意；对于 B,e2t=cos2+isin2,v cos2 0,，复数於在复平面内对应的点位于第二象限，B符合题意；对于c,/=cos等+内 喈=鼻 身,共貌复数为二 争，C不符合题意;对于D,ei0=cos0+isin0（0GR）,在复平面内对应的点为（cos。,sin。），又 （cos。-0）2 4-（sin。-0）2=1,.在复平面内对应的点的轨迹是圆.故答案为：ABD.【分析】利用已知条件结合复数的运算法则、复数的几何意义、复数与共朝复数的关系、圆的定义，进而找出结论正确的选项。11.（2 分）在 ABC中，下列正确的是（）A.若 前 瓦？0，则 ABC为钝角三角形B.若|南+照|=|荏 一 而 则 ABC为直角三角形C.若（而+元）（荏 一 近）=0，则 ABC为等腰三角形D.已知面+而+瓦=6，且|函|=|通|=|泥则 ABC为等边三角形【答案】B,C,D【解析】【解答】对 A,尼 瓦？0，B|J|C|.ABcosA 0,可得cosA 0,不能证明 ABC为钝角三角形，A 不符合题意；对 B,AB+AC=AB-A C A B2+AC2+2AB-AC=AB2+AC2-2A B-A C 解得丽羽=0，故24=90。，B 符合题意；对 C,若（而+而）.（而 一 而）=0，则南2 一元2=0,故|而|=|而故 ABC为等腰三角形，C 符合题意；对 D,因为01+而 +沆=6,故|万？+而=|一沆，gP|o|2+0B+20A-OB=|0C|2 又|01|=0B=|0C|，所以|万?+2|初|.砺|COSN/OB=0，故cosN AOB=-；，故乙40B=1 2 0,同理z/OB=/HOC=zBOC=12 0,结合|耐|=|而|=|前|可得|荏|=|而|=|玩故 ABC为等边三角形，D 符合题意；故答案为：BCD【分析】利用已知条件结合数量积的定义、数量积求向量的模公式、数量积的运算法则、平行四边形法则，进而判断出三角形的形状，从而找出正确的选项。12.（2 分）如图，已知正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为2,点M 为CCi的中点，点 P 为正方形A iB C Q i上的动点，则（）A.满足MP平面BD&的点P 的轨迹长度为在B.满足MP 1 AM的点P 的轨迹长度为孥C.存在点P,使得平面AMP经过点BD.存在点P 满足PA+PM=5【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A,取/C i 的中点Q,。1的的中点N,又点M为CQ的中点,由正方体的性质知MQ4 D,NQ/BD,MQ CNQ=Q,所以平面MQN 平面B D a,又MP u 平面M Q N,二MP|平面B/Mi，故点P的轨迹为线段MQ=VTTT=V2.A 符合题意；以。为原点，分 别 以 DC,D%为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则/(2,0,0),M(0,2,1),设P(x,y,2),且0W xW 2,0 y 1 1,AP=(x-2,y,2)，MP=(x,y-2,1),AM=(-2,2,1)对于 B,AM-T1P=-2x+2(y-2)+1=-2%+2y-3=0.即y=%+|，又0S xW 2,0 y 2,则点P的轨迹为线段EF,E(0,|,2),F(1,2,2)且EP=机|3 =乌，B 不符合题意；y 4 4 2对于 C,设 p(x,y,2),且0 S x S 2,0 y 2,若平面AMP经过点B,则 丽=aDA+bDB+c丽，且a+b+c=1,又 加=(x,y,2),DA=(2,0,0),DB=(2,2,0),DM=(0,2,1),所以Q,y,2)=a(2,0,0)+b(2,2,0)+c(0,2,1),即(久，y,2)=(2a+2b,2b+2c,c),任=2a+2b因此 y=2b+2c,、2=cJ a 3 a AM=22+22+32=717 4,故存在点P满足P4+PM=5,D 符合题意.故答案为：ACD【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、线线垂直的判断方法、点的轨迹求解方法、点与平面的位置关系、三点共线、点与点关于平面对称的求解方法和几何法求最值的方法，进而找出正确的选项。阅卷人-三、填空题（共4题；共4分）得分13.（1 分）某班数学兴趣小组8 名同学的数学竞赛成绩（单位：分）分别为：80,68,90,70,88,96,89,9 8,则该数学成绩的第80百分位数为.【答案】96【解析】【解答】由题意可知，将 8 名同学的数学竞赛成绩按从小到大的顺序排列分别为：68,70,80,88,89,90,96,98,由8 x 80%=6.4,得该数学成绩的第80百分位数为96o故答案为：96【分析】利用已知条件结合百分位数的求解方法，进而求出该数学成绩的第80百分位数。14.（1分）平面向量方与方的夹角为120。，5=（2,0）,历|=1，则|2不+由=【答案】g【解析】【解答】|2a+d|2=3 2 +=4 x 4+4|e|#|cosl20+1=1 6-4 +1=13-所以|2d+B|=g。故答案为：-713【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则以及数量积的定义，进而求出|21+&的值。15.（1分）某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了 C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为45。，30。，在水平面上测得乙BCD=120。且C,D的距离为15米,【答案】15【解析】【解答】如图所示:B设旗杆的高度为九，所以B C =-=BD=o=V 3/i,tan 4 5 tan 3 0在 B C D 中，由余弦定理得B D?=BC2+CD2-2BC-CD-co sl2 0 即(遮八)2 =/i2+1 52-2 x /i x 1 5 x (-J),即2 1 2 -1 5 九 2 2 5 =0,解得h=1 5 或九=7.5 (舍去)。故答案为：1 5。【分析】利用已知条件结合余弦定理和解一元二次方程的方法，进而得出满足要求的旗杆的高度。771 6.（1 分）如图，在 A B C 中，乙4 B C=w，点。在线段A C 上，S.AD=2DC,BD=3,则 A B C 面积的最大值为【答案 您O【解析】【解答】设4 B =c,BC=a,DC=x(c 0,a 0,x 0)，贝露。=2 x,AC=3 x.在 A B D 中，由余弦定理，得cos 乙 B DCBD2-DC2-BC2 2 B D D C-32+%2-均2 _ 9+十22 x 3 x x 6x在 4 B D 中，由余弦定理，得cosZ.BDA=BD2+AD2-AB2-2BD A D-3 2+(2X)2 2 lct2 x -c2+，c=2ac，即Q c 0,解得爪 b,=-4y73-s i.n BD，所以2Q-b=sinA -与 sinB=(2snA-sinB)473 27T2 2sinA sin(-2 A)27r27r3(2sinA sin-=-coSi4 4-cos-sinA)KJ *_/373 1(2siib4 2-cosA sinA)竽冬A）714sin(7l-g)锐角 ABC 中，0 4 o -A ，所以看 4 ,所以0 力一强 多，所以0 sin（4 看）冬所以。4 s in G 4-$3 5 0 M,且M袋沙田柚成本相同，所以该经销商采用方案2所得利润更大.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等腰各小组的频率，再利用频率之和等于1,进而得出实数a的值，再利用频率分布直方图求平均数的方法，进而用样本估计该经销商采购的这批沙田柚的平均得分。（2）利用已知条件结合两种方案的方法，再结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合利润与成本和售价之间的关系，进而结合比较法得出该经销商采用方案2所得利润更大。试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：88分分值分布客观题（占比）26.0(29.5%)主观题（占比）62.0(70.5%)题量分布客观题（占比）14(63.6%)主观题（占比）8(36.4%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）填空题4(18.2%)4.0(4.5%)解答题6(27.3%)60.0(68.2%)多选题4(18.2%)8.0(9.1%)单选题8(36.4%)16.0(18.2%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(45.5%)2容易(27.3%)3困难(27.3%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1用样本的频率分布估计总体分布2.0(2.3%)92直线与平面所成的角10.0(11.4%)213频率分布直方图10.0(11.4%)224占典概型及其概率计算公式2.0(2.3%)55平面与平面垂直的判定2.0(2.3%)66相互独立事件的概率乘法公式2.0(2.3%)87复数的基本概念12.0(13.6%)10,178正弦定理10.0(11.4%)209复数代数形式的乘除运算12.0(13.6%)1,1710三点共线4.0(4.5%)3,1211旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）2.0(2.3%)712相互独立事件2.0(2.3%)813轨迹方程2.0(2.3%)1214余弦定理11.0(12.5%)16,2015平面向量共线（平行）的坐标表示2.0(2.3%)316空间中直线与直线之间的位置关系2.0(2.3%)617直线与平面平行的判定12.0(13.6%)12,1918平面向量数量积的含义与物理意义13.0(14.8%)11,14,1819三角形的形状判断2.0(2.3%)1120众数、中位数、平均数10.0(11.4%)2221复数的代数表示法及其几何意义14.0(15.9%)1,10,1722平面与平面平行的判定2.0(2.3%)623棱柱、棱锥、棱台的体积10.0(11.4%)1924二面角的平面角及求法10.0(11.4%)2125斜二测画法直观图2.0(2.3%)426复数求模10.0(11.4%)1727函数模型的选择与应用10.0(11.4%)2228平面向量数量积的运算13.0(14.8%)11,14,1829直线与平面垂直的判定10.0(11.4%)2130三角函数的最值10.0(11.4%)2031基本不等式在最值问题中的应用1.0(1.1%)1632平面向量的基本定理及其意义10.0(11.4%)1833三角形中的几何计算3.0(3.4%)4,1634互斥事件与对立事件2.0(2.3%)835用样本的数字特征估计总体的数字特征1.0(1.1%)1336余弦定理的应用1.0(1.1%)1537频率分布折线图、密度曲线2.0(2.3%)938分层抽样方法2.0(2.3%)239平面向量数量积的坐标表示、模、夹角3.0(3.4%)11,1440球的体积和表面积2.0(2.3%)7