专题17三角函数与解三角形第四缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021年).pdf

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题17三角函数与解三角形第四缉1.2016年新疆预赛】函数f(%)=cos2x+2|sinx|的 最 大 值 为.【答案】I【解析】依题意知/(%)=1-2sin2x+2|sinx|=-2 (|sinx|+|.X|sinx|e 0,l 故当|s in x|=(时，/(x)取得最大值|.2.2 0 1 6年新疆预赛】设AABC的乙4、乙B、NC的对边分别为a、b、c,且满足acosB-bcosA=(c.则tan A _tanB.【答案】9【解析】由余弦定理得a.爷 打-b.爷 贮=45=a2-b2=-c2.5从而，由正弦定理得tan4 _ sinA cosB _ a _ a2+c2-b2 _ gtanB sinB cosA b2+c2-a2 b2+c2-a2 2bc3.2 0 1 6年四川预赛】若实数a、0、y构 成 以2为公比的等比数列，sina、sinp、siny构成等比数列，则c o s a=.【答案】【解析】设=2a,y=4a.由 sin?_ siny=sin2a _ sin4asina sinB sina sin2a2sina-cosa 2sin2a-cos2a=-：-=-=2 c o s-cosa-1=0sina sm2a=co sa=一/I.若co sa=1,则sin a=0 (舍 去).从而，co sa=4.20 1 6 年江西预赛】如图,P 为 正 方 形 ABCD 内切圆上的一点，记4/P C =%4 B P D=。则taM a+tan2。=.【答案】8【解析】如图，建立直角坐标系.设圆方程为/+y2=*则正方形顶点坐标分别为4(-r,-r),B(r,-r),c(r,r),d(-r,r)若P(rco s8,rsin。),则 直 线 P A、P B、P C、PD 的斜率分别为加4 =产 吗，七8 =-产 毁，kPC=-.1+C0SC7 1 cost7 1-cost?.l-s in 6Kpn=-1+COS02故tan 2a=)=4(co s0 sin 0)2tan2/?=(JP D-=4(co s0 +sinG)2V I +kP BkP DJ因此t an 2a+tan2j f f =8.5.【20 1 6 年江西预赛】设 x为锐角.则函数、=sin x ,s讥2x 的 最 大 值 为.【答案】竽【解析】由y =sin2%cosx/2sin2x +2C O S2X3 1 6 4 百=y，=4 sinx cos乙x y =当C O S?=1 时,以上各式等号成立.6.(20 1 6 年湖南预赛】方程1 6 sin?rx -C O S TTX=1 6 x +工的解集为.X【答案】gT【解析】当x 0 时，1 6 x +i 8,当且仅当x =(时，上式等号成立.又 1 6 sin 兀 co sn x =8 sin 2n x 0时，方程只有解x =4由奇函数的性质，知 =-;为另一解.4故方程的解集为7.(20 1 6 年甘肃预赛】已知函数/(%)=sincox+co sco x(a)O),x E R,若函数/(%)在区间(一口内单调递增,且函数/(%)的图像关于直线=3 对称，则3的值为.【答案】当【解析】由/(X)在区间(一3,3)内单调递增，旦/(X)的图像关于直线X=3对称，可得23 9且/3)=S in w2+COSOJ2-V 2 n sin(a)2+；)=1,所 以/+q =：=3 =/.考点:本题主要考查三角函数的性质.QR视频D8.20 1 6 高中数学联赛(第0 1 试)】设函数f(x)=(sing)4 4-(cos笨其中k是一个正整数.若对任意实数 a,均有/(x)|a x a+1=(/(x)|x G R ,则 k 的最小值为.【答案】1 6【解析】由条件知，f(x)=卜 也?+cos?、)-2sinzcosz 1.2%无 1 2kx,3=l-s in2-=;cos+?其中当且仅当工=等(1 6 2)时，加0 取到最大值.根据条件知，任意一个长为1 的开区间m，“+i)至少包含一个最大值点，从而弓 5赤反之，当上 5万时，任意一个开区间(a,a+1)均包含4 0的一个完整周期，此时/(%)|。x a+1=f(x)x e R成立.综上可知，正整数k的最小值为5兀+1=16.9.【2 0 1 5 年全国】若 ta n a =c o s a,则一-+co s a=.si n a【答案】2【解析】由 ta n a =co sa 有 包 3 =co sa,si n a =co s2a ,而si n 2。+co s2 a =1,求出co sa=co sa 2(负11 2值舍去)，所以-+co s4a =+co s,a =-尸si n a co s a-1 +。5=2。1 0.【2 0 1 5年全国】设为正实数.若存在a、b(7i a b 2T C),使得si n co a +si n 3b =2,则3 的取值范围是.【答案】3 W ,1 U岸,+8)4 N 4【解析】由 si n o)Q+si n 3b =2 =si n co a =sna)b=1.而U 3兀,2 口兀,故已知条件等价于：存 在 整 数 晨 使 得a)7i 2 kn+V 2 In 4-无解；2 2 2 4(2)0)7 1 2 6 0 7 1,此时，-OL)-；2 2 4 2(/3r)、3 兀J w 9 n/1 37t/44.2 2 4 2 4综上，并注意到3 2 4也满足条件，知3e/U4,+8).4 2J 4故答案为:3 W U洋,+8)4 2 41 1.【2 0 1 5年浙江预赛】若1 6.与+1 6 3-=1 0,则c os 4 x=.【答案】【解析】设t=1 6si n 2 x(l t 1 6).|J1|1 6COS2X _ 1 6l-s in2x _ 华代入原方程得t+牛=1 0 =t=2 或 8.解得si Mx=*或 三.4 4从而，cos4x=12.2015年上海预赛】已知cos(6+*)3(sin50-cos50),其中，0 G-心兀.则。的取值范围是.【答案】卜兀，一 用U K，兀|【解析】注意到，cos(8+9 3(sin50 cos50)f c o s 6 +3coS56 Sin0+3Sin50.由/(无)=+3炉 为 R 上的增函数，知原不等式等价于/(COS0)/(s i n 0)(0 6 -7T,TT)cos。sin0(0 6 Jr,7r)3TT 7T -7T 0 或 丁4 8 兀4 413.【2015年上海预赛】有一个单摆，在夏季摆的周期T=1 秒，到了冬季，摆长缩短了厘米.在冬季这只单摆在24 小时中比在冬季大约快 _ _ _ _ _秒(精 确 到 1 秒).注：单摆周期公式为7=2 E,其中，周期T 的7g单位为秒，摆长1的单位为厘米，重力加速度g=980厘米/秒乙【答案】17【解析】将 T=1 秒代入公式得夏季摆长1 =七):=2 厘米，冬季摆长r=，-厘米，冬季摆的周期T=27r/秒.故 24小时内冬季摆比夏季的快约为24 x 60 x(T-T)=17秒14.【2015年新疆预赛】已知n 为正整数.则lgl2、lg75、馆(污一 I6n+947)这三个数能构成 个不同的三角形.【答案】5【解析】由三角不等式得lg(n2-16n+947)lg75-lgl2.则丑 n2-16n+947 900.12由为整数，知n 2-1 6 n +947也为整数.故7 W *16n+947 tan(a+0)=tana+tan/J1-tanatan/?1.因为a、6（0 5）,所以，a+/?=：.16.2015 年四川预赛】设%+sinx cosx-1 =0,2cosy 2y+T T 4-4=0,则sin(2x y)的值为【答案】-1【解析】由 +sinx cosx-1=0,得2%+sin2x=2；由2cosy 2丫 +兀 +4=0,得1 y+sin-V)=-2 设f (x)=x+sin.则/(%)=1 cosx 0.故/(%)在 R 上单调递增且为奇函数.由式、得/(2x)=2 J 6 _ y)=-2 =2x+g _ y =0=2%_y=_；=sin(2x-y)=1.1 7 J 2 0 1 5年安徽预赛】设a 为实数,且关于 的方程(a +co s%)(a -si n x)=1 有实根.则a 的取值范围是【答案】-l-,-l+u l-f,l+【解析】设 =Q+co sx,v=a si n x.方程有实根 双曲线u =1 与圆(-a)2+(v-a)2=1 有公共交点.注意到，圆心位于直线y=x 之上，只需找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可.当圆与双曲线切于点4(1,1)时,a=l+.当圆与双曲线切于点B(-l,-1)时，a=-l 士号因此，a的取值范围是卜1 日,1+曰 U 1 竽,1 +1 8 .【2 0 1 5 年陕西预赛】己知si n a+VSsi n/?=1,co sa+V3 co s/?=遮.则co s(a 3)的值为.【答案】0【解析】将已知两式平方相加得：4 4-2 V3(si n a-si n/?+co sa co s)=4 =co s(a-0)=0.1 9 .【2 0 1 5 年陕西预赛】在 4 B C 中，若t an?+t a n g=l,则t an g 的 最 小 值 为.【答案】74【解析】由题设知Y 4 A-Br 1 1-tan-tan-fan-2 2 id-A+B 一 .A B 2 tan tan-+tan-2 2 234当且仅当t an T =t an g =1 时，上式等号成立.故t an；的最小值为2 42 0 .【2 0 1 5 年山西预赛】若si n a+co sa=则|si n a co sa|=.【答案】:【解析】由条件得2 si n a-co sa=(si n a+co sa)2-1 二 一，=(sina-cosa)2=1-2sina cosa=,=|sina cosa|=21.【2015年山东预赛】方程sin。co s4 =1的解为.【答案】x=fcx+(fcGZ)【解析】由方程得：sin4%=1 4-cos4x 1,=cosx=0,sinx=1,=%=k7r+(fc 6 Z).22.(2015年山东预赛】在4A B C 中，乙4 /B sina+sm(i 4-siny=0,其中,a=Z.A ,B =Z.B p y =zC-p则2sin史色 cos七止 一2sin竺 cos竺 =0,2 2 2 2A.a B.y 八=4sm-sin-sin-=0,2 2 2故/A、ZB,/C 中至少有一个为泉又乙4 ZB-o 4-j =2rtanAD Ctan tan 工Acos J 2sinA s _=_ =.B C cosAsin 2 ,sin 之ABC=cosA=4sin sin sin 2 2 2=cosA 1+(cosF+cosC)=cosB+cosC=1V2n cosC=1 .26.2015年吉林预赛】已知函数f (%)=sin(ax+：)sin(ax+：)(3 0)的最小正周期为兀则f (%)在区间上 的 值 域 为.【答 案】o,等【解 析】由题意可得：f(x)=C O SO J X X /(si n co x +co sco x)=x V2 si n(2 AB+AC+AP2=画2 +|可+|AP|2+2 荏-AC+2 而 AP+2 AC-APs i n2a 4-co s2a s i n2a 4-cos2a cos2a s i n2 a 4 5=-4A s-m22-a-1-c-o s27 a-F 10=4 s i.n z2a -c-o s72 a 4A cos2a sin2a,45 49.,:，-y-4sin2a cos2a 4 4当 且 仅 当 磊=鬻，即t ana=净寸，府+芯+硒取得最小值最3 0 .2 0 1 5 年黑龙江预赛】已知、y G p-QWR,且/+s i n%2 a=0,4 y 3 +s i n2 y +a=0,则co s(x +2 y)的值为 o【答案】1【解析】联立方程，消去a得x =-2 y=co s(x +2 y)=1.3 1 .【2 0 1 5 年河南预赛】设f。)=誓(6 (0,1).则g(x)=f(x)+“l-x)的 最 小 值 为.【答案】8【解析】由 已知得 7r x co s 7r x-2 s i n7r x ,()_(.6-n2x2)sinnx-2 nxcosnx接下来证明(6 7r2x2)s i n7r x 2 nxcosnx 0.设t =兀 (0,T T).则(6 n2x2 y)snnx 2 nxcosnx=(6 -t2)s i nt 2 t co s t =p(t).于 是,p(t)=(4 -t2)co s t.易知，p(t)在区间(o)上递增，在区间C，2)上递减，在区间(2,兀)上递增.又p(o)=o,p(o)o,故t e (o,x)时，p(t)o,即x 6 (0,1)时，f M o.从而，/(x)为区间(0,1)上的下凸函数.由琴生不等式，知当(0,1)时，“X)+；(1T)2 /(x+(；T)=/=4.故g(x)8,等式根号成立当且仅当x=因此，所求g(x)的最小值为83 2.【2015年甘肃预赛】已知AABC的外接圆半径为R,且ZR G iM A-sin2c)=(近 a-b)sin B,其中,a、b 分别为/A、/B 的对边则N C 的大小为.【答案】45。【解析】题设等式结合正弦定理得:a2 c2=(V2a b)b,=a2+62 c2=y/2abr a2+b2-c2 yfl=cost=-=2ab 2=Z.C=45.3 3.【2015年福建预赛】若sin+sin券+sin景=an芸 则正整数徨 的最小值为.【答案】4【解析】注 意 到,2s 呜 2：/吟 户 W 1(8 S 空 一 8S 智”C O S -C O S 4 7 1 7 r n(2n+1)T T n n(2n+1)T T(2n+l)rr=tan sin =cos cos-0 cos =cos cos-=cos-=09 18 18 18 18 18 18 18=n=9fc+4(fc G Z).故正整数ri的最小值为4.3 4.12015高中数学联赛(第01试)】若实数a满足cosa=ta n a,则一一+cos4a的值为.sina【答案】2【解析】由条件知cos?。=s iu m 反复利用此结论，并注意到cos?。+sin?。=1,得一 +cos4a=s +sjn2a=(1+sina)4-(1 cos2a)=2 4-sina cos2a=2.sma sina、/35.2015高中数学联赛(第01试)】设3为正实数,若存在a,b(jr a&2冗)，使得sindia+sin3 b=2,则3的 取 值 范 围 是 .【答案】居喟,+8)【解析】由siiuoa+sin3 b=2知sin3 a=sin3 b=1,a)b Q a)n,2a)n,故题目条件等价于：存在整数2,/(Z/),使得3 7r42/OT+2 h r+423 7r 当3%时，区间 3兀,23兀 的长度不小于4兀，故必存在4,/满足式.当0 3 4时，注意到 3兀,23兀 U(0,8兀)，故仅需考虑如下几种情况：3 7r4 9 ”23兀，此 时 阻无解；2 2 2 4()3 714竽 V 23 7T,此时有:4 3 4 g；(iii)S7T手 V 14 2t07r,此时有竽4 3之，得手4 3 V 4.综合情形，07),5 1),并注意到34亦满足条件，可知34,汕降+8).