河北省深州市2021-2022学年高三下学期一模考试数学试题含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀,一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，1 .若函数.f(x)=x l n x-奴2有两个极值点，则实数。的取值范围是()A.B.C.(1,2)D.(2,e)2.函数y =耳 普 二 在-6,6 的图像大致为A.JL B JL c.I TK3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且满足f(x)=/(2-x),当X G 0,1时,Y +4/(幻=/*)+一 在区间-9,1 0 上零点的个数为()1-2%A.9 B.1()C.18 D.204.如图是一个几何体的三视图，则 该 几 何 体 的 体 积 为()只有一项是符合题目要求的。X=x,贝!|函 数D.竽5.已知函数/(x)=A s i n(f t x +e)A 0,(y 0,0 0力 0）的右焦点为E，O为坐标原点，以O F为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点。及点AA.X2-3,则双曲线C的方程为（）2工=12 62C.-y 2=32 2D.士-匕=16 27.在四边形A B C D中，AD/BC,AB =2,4)=5,B C =3,N A =6 0,点E在线段C 3的延长线上，且A E =B E,点“在边C D所在直线上，则 府.耐 的 最 大 值 为（）7 1 5 1 “A.B.-2 4 C.D.-3 04 42 28.若双曲 线*-（=1的离心率为6,则双曲线的焦距为（）A.2瓜 B.25/5 C.6 D.89 .一辆邮车从A地往8地运送邮件，沿途共有地，依次记为4，A?,A”(4为A地，A,为B地).从4地出发时，装上发往后面-1地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达4,A.各地装卸完毕后剩余的邮件数记为q优=1,2,则4的表达式为().A.k(n-k +l)B.k(n-k-V)C.n(n-k)D.(x-l)s i n _ _ _ _-_ 1 x 31 0 .已知函数/(x)=J 2 ，一 一，若函数/(x)的极大值点从小到大依次记为q；“2?%，并记相应的2/(x-2),3 x 0)上有且仅有一对点加”，使得M A B 的面积是A M 4 B的面积的2 倍，则r的值为.1 5 .已知 a =l o g0 3 0.2,h =I o g2 0.2 ,贝ij a+B.ab(填“”或“=”或“)0)的 离 心 率 为 正，且以原点。为圆心，椭 圆C的长半轴长为半径的a2 b2 2圆与直线x+y -2 =。相切.(1)求椭圆的标准方程;（2）已知动直线,过右焦点F 且与椭圆C交于4、5两 点 已 知 点坐标为（%。），求如的值.1 8.（1 2 分）某企业现有A.5两套设备生产某种产品，现从4,5两套设备生产的大量产品中各抽取了 1 0 0 件产品作为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在 2 0,40）内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1 是从A设备抽取的样本频率分布直方图，表 1 是 从 8设备抽取的样本频数分布表.表 1：3设备生产的样本频数分布表质量指标值 1 5,2 0)2 0,2 5)2 5,3 0)3 0,3 5)3 5,40)40,45)频数21 8481 41 62（1）请估计A.8设备生产的产品质量指标的平均值；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在 2 5,3 0）内的定为一等品，每件利润2 40元；质量指标值落在 2 0,2 5）或 3 0,3 5）内的定为二等品，每件利润1 8 0 元；其它的合格品定为三等品，每件利润1 2 0元.根据图1、表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A,8两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？1 9.（1 2 分）已知二阶矩阵_一，矩 阵-属 于 特 征 值-_:的一个特征向量为叱一.，属于特征值-_.的一个特征向量为.求矩阵-.2 0.(1 2 分)如 图，已知在三棱台 A B C A4 G 中，A C =2 A B=2,B C =6，4 A _ L .(1)求证：A B 1 CC,；(2)过AB的 平 面 史 分 别 交 与G，AG于点。，E,且分割三棱台A B C-A&G所得两部分几何体的体积比为匕=匕BC-BDG =4：3 几何体A 3 C-E )G为 棱 柱,求4片 的长.提示：台体的体积公式丫=；(S +阿+s)(S ,S分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高).2 1.(1 2分)已知直线/与抛物线C:/=4 y交于M,N两点.(1)当点M,N的横坐标之和为4时，求直线/的斜率；1 1(2)已知点P(L-2),直线/过点Q(O,1),记直线P M,PN的斜率分别为.k2,当厂+不取最大值时，求直线/Av|Cv2的方程.2 2.(1 0分)如图，在四棱锥尸一4 3 C D中，四边形A B Q 9为平行四边形，BDA.DC,A P C。为正三角形，平面P C。，平面A 5 C。，E为P C的中点.(1)证明：4尸平面E B D；(2)证明：BEPC.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】试题分析：由题意得了(x)=l n x+l-2公=0有两个不相等的实数根，所 以/(x)=L -2 a =0必有解，则。0,X且考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(I)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求P (x)-求方程F (x)=0的根一一列表检验F (x)在F (x)=0的根的附近两侧的符号一 下结论.(3)已知极值求参数.若函数f (x)在 点(x o,y o)处取得极值，则F (x o)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.2.B【解析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由/(4)的近似值即可得出结果.【详解】设y =/(x)=-2 V-,则f(-x)=2(=-/(x),所以/W是奇函数，图象关于原点成中心对称,2 1+2-2-r+2v 2”+2 T7X43 9X63排除选项C.又/(4)=彳三 0,排除选项D；7(6)=7,排除选项A,故 选B.Z I，I J L【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择.本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.3.B【解析】+4由已知可得函数/(x)的周期与对称轴，函数尸(x)=/(x)在区间-9,1 0 上零点的个数等价于函数/(X)1-2%x +4与g(X)=-图象在-9,1 0 上交点的个数，作出函数/(X)与g (x)的图象如图，数形结合即可得到答案1-2%【详解】尤 +4x +4函数尸(x)=/(x)+-在区间-9,1 0 上零点的个数等价于函数/(X)与g(x)=-图象在-9,1 0 上交1-2%1-2%点的个数，由/(x)=f(2-x),得函数/(x)图象关于x=l对称，V/(x)为偶函数，取x=x+2,可得/(x+2)=/(-x)=/(x),得函数周期为2.又,当 x G 0,1 时，f(x)=x,且/(x)为偶函数，.,.当 x G -1,0 时，f(x)=-x,、x+4 x+4 1 9g(x)=-=-=-H-,l-2 x 2x-l 2 4 x-2作出函数/(x)与g(x)的图象如图：由图可知，两函数图象共1 0个交点，尤+4即函数尸(x)=/(x)+-在区间 9,1 0 上零点的个数为1 0.1-2%故选：B.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.4.A【解析】根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其 中，底面为直角三角形，AD=2,AE=9高 为AB=2.，该几何体的体积为V=-x2xV 3x2=2 2故选：A.【点 睛】本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.5.A【解 析】Q/y(、(Q先利用最高点纵坐标求出4,再 根 据 丁 =言 f 求出周期，再 将 高，1代 入 求 出9的 值.最 后 将 今 代 入 解 析式即可.【详 解】由图象可知A=L37 7 C (2TC T 2兀vT=n r Tj,所 以，.。=干=2(4.A/(x)=sin(2x+e),将 不，代入得I 7/F (p=卜 2/CTT,k e Z,结合 OVV,(p .6 2 2 3/(x)=5Zrt|2x+.71 71 71,71、sincos-cossin二3 4 3 4JV 2-V 64故选：A.【点 睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.6.C【解析】根据双曲线方程求出渐近线方程：y 再将点A1|,等）代入可得6 =。，连接B4,根据圆的性质可得至三=立，从而可求出c,再由0 2=/+即可求解.G 3【详解】2 2由双曲线C:3 一 当=1（a 0力 0）,ab则渐近线方程：y=-x,a连接B4,则用=2 =解得C=2,AO 也 a 3所以。2=/+从=4,解得/=3,从=1.2故双曲线方程为E-y 2=l.3故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.7.A【解析】依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据=求出E的坐标，求出边C。所在直线的方程，设加卜,-JIr+5百），利 用 坐 标 表 示 画 工 荻，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由A6=2,4）=5,BC=3,NA=60。,.-.A（0,0）,B（1,V3）,C（4,73）,D（5,0）因为点E在线段C8的延长线上，设E（x。，百），/3因为点M在边CO所在直线上，故设加卜,-g x +5 6）AM=（x,-y/3x+5-3砥=瓜.府 磁=x（-1-x）+（屈-4 码（-G x+5百）=-4x2+26x-60=-4x2+26%60当x=U时（而.而 应）=-4 /m ax 4故选：A本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.8.A【解析】依题意可得=4,再 根 据 离 心 率 求 出 即 可 求 出 c,从而得解;【详解】2 2解：.双曲线f一 亍=1的离心率为百，所以e2=l+,=3,./=2,.,=卡,双曲线的焦距为2遍.a故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.9.D【解析】根据题意，分析该邮车到第k 站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案.【详解】解：根据题意，该邮车到第攵站时，一共装上了(-1)+(-2)+(幻=(2-1丁)一件邮件,需要卸下1 +2+3+也-1)=二件邮件，mn Q n -l k)xk kx(k-V)贝(J ak =-=k(n-k),故选：D.【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题.1 0.C【解析】对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当x=2时有极大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定义域的循环,而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点a的通项公式4=2/7,且相应极大值 =2 T,分组求和即得【详解】当 时，r(x)=/co s(x；1,显然当x=2时有，/(为=0,.经单调性分析知x=2为A x)的第一个极值点又.Q v xM lO O时，/(x)=2/(x-2)x=4,x=6,x=8,，均为其极值点函数不能在端点处取得极值,4“=2，1 H 49,e Z.对应极值a =2 T,1/?0）的 圆 心（2,0）到 直 线AB的 距 离d=H r泮1=，V 2 2由AM4 8的 面 积 是AAA3的 面 积 的2倍 的 点M,N有且仅有一对，可 得 点M到A B的 距 离 是 点N到 直 线A B的 距 离 的2倍，可 得 过 圆 的 圆 心，如 图：山5夜,，5夜 .曲徂 5夜由-F r=2（-7*）,解得 r=-2 2 6故答案为：旦1.6【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题.15.【解 析】注 意 到。1 l,b 0,故有出?8.又由L+LulogozO.S+logozZulogozOScl,a b故有 a+bab.故答案为：.【点睛】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16.19【解析】先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得sin a+cos a=逆，平方可得sin 2 a.3【详解】V 3 cos 2a=4 sin(-a),:.3(cos a+sin a)(cos a-sin a)=2 夜(cos a-sin a 4则 sin a+cos a=2/2,平方可得 sin 2a=3 9故答案为：一 大.9【点睛】本题主要考查三角恒等变换，倍角公式的合理选择是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。r2 717.(1)+/=1；(2).2 16【解析】(1)根据椭圆的离心率为变，得到c=a,根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到2 2a=6,从而求得。=1,进而求得椭圆的方程;(2)分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果.【详解】（1）由离心率为Y2,可得e =4 Z,2a 2.-.c=a,且以原点。为圆心，椭 圆C的长半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=2,22因与直线x+y-2=0相切，则有1 5 =。，即4=，。=1,.-2=1,故而椭圆方程为+/=1.（2）当直线/的斜率不存在时，A ,B 1,-,2 2当直线/的斜率为0时，A（V 2,0）,B（-V 2,0）,当直线/的斜率不为。时，设直线/的方程为x=）+1,A（x”X），B（x2,y2）,2由 X =+l 及+y2=1,得（产+2）+2少一1 =0,有1 0，；.）1%=-/xi=tyl+l,x2=ty2+l,.,）1 2-i%）=（电 一|（以 一|+%=（/+1）=凹%（凹+%）+焉/2 I 1 2t 1 2产一2+产 I 7 +2 4 尸+2 16 2（产+2）16 16-7综上所述：Q A Q B =-.16【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目.18.（1）引=3 0.2,4 =29；（2）8 设备【解析】(1)平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；(2)要注意指标值落在 20,40)内的产品才视为合格品，列出4、5设备利润分布列，算出期望即可作出决策.(D 4设备生产的样本的频数分布表如下【详解】质量指标值 15,20)20,25)25,3 0)3 0,3 5)3 5,40)40,45)频数41640121810=0.04x17.5+0.16 x22.5+0.40 x27.5+0.12x3 2.5+0.18 x3 7.5+0.10 x42.5=3 0.2.B设备生产的样本的频数分布表如下根据样本质量指标平均值估计A设备生产一件产品质量指标平均值为30.2.质量指标值XB 15,20)20,25)25,3 0)3 0,3 5)3 5,40)40,45)频数2184814162xB=17.5 x 0.02+22.5x0.18 +27.5 x 0.48 +3 2.5 x0.14+3 7.5 x0.16 +42.5 x 0.02=29(2)4 设备生产一件产品的利润记为X,8 设备生产一件产品的利润记为匕根据样本质量指标平均值估计B设备生产一件产品质量指标平均值为29.X240180120P20431443943Y240180120P_|_2 _3_6E(X)*(2 4 0 x 2 0+18 0 x 14+120 x9)=19 5.3 5E(y)=240 x-+18 0 x-+120 x-=2002 3 6E(x)0时，k k2 2 t+6 2 27 8 1+6 3;tQ 1 o当且仅当 =,即r=8 Z 3 =9时，解得攵=：时，取f号,t 21 1 1 4/1 1当/=（）时，1 =-F -=；k2 2*+6/+8 1 2 31 1 1 4f 1 4 5 1、当，,从而可证8E _ L尸C.【详解】证明：(1)连结A C交3 0于点。，连 结0 E因为四边形A B C D为平行四边形为 AC中点，又 E 为 PC中点，故 A尸 0E,又 APN平面EBD,OEU平面E8O所以AP平面E5。；(2)为正三角形，E为PC中点所以PCDE因为平面尸CD_L平面ABCD,平面PC。平面A5cD=C。，又 8u 平面 ABCD,BDA.CD.BOI,平面 PCD又尸C u平面P C D,故PCLBD又 BDnDE=D,BZ)u 平面 80E,ZEu 平面 BOE故 PCJ_平 面 BDE又 BEU平面BDE,所以BEPC.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，线面平行一般转化为线线平行来证明，直线与直线垂直通常利用线面垂直来进行证明，侧重考查逻辑推理的核心素养.