考点10 平面向量（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考）(教师版）.pdf

考点1 0平面向量（核心考点讲与练）-考 点 考 向I一、平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量;向量的大小叫做向量的长度（或模）如 a,AB零向量长度等于零的向量:其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a,与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a加一共线（平行）向量如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作b相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量,或相等的向量如 AB=a相反向量与向量a反向且等长的向量,叫做a的相反向量记作一a2.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算a+b/ZJha三角形法则a平行四边形法则(1)交换律：a+b b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a三角形法则ab=a+(b)数乘求实数乂与向量a的积的运算 I Aa=|4|当4 0时，与a的方向相同a;4 a的方向当4VoA(pa)=A pa；(H +)a=-a+4(a+b)-a+4b时，4 a 的方向与a 的方向相反;当 儿=0 时，4 a=。3.共线向量定理向量a(a#0)与 6 共线的充要条件是存在唯一一个实数A,使得6=4a二、向量的分解与向量的坐标运算L 平面向量的基本定理如果a 和 e-是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a”a2,使2=向+a2a.其中，不共线的向量&,:叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为8,&.aei+a?2 叫做向量a关于基底匕，匐的分解式.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的 向 量,叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设 a=(x i,R，6=(沏 ，则a+6=(xi+xz,%+世),a6=(小a,/%)，乂 a=(x i,儿 M),al=、/岔+.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设 4(小，%)，Bkxi,度)，则49=(%；用,火 一”)，|48|=A/(X：；XI)+(.%一.万4.平面向量共线的坐标表示设 8(xi,%),b=(加 度)，则 all Zxnxi，一眼.必=0.三、平面向量的数量积及其应用1.两个向量的夹角 定 义：已知两个非零向量，和 Z),作而=a,O B=b,则 称 作 向 量 a 和向量6 的夹角，记 作 a,b .Joz-a-A(2)范围：向量夹角 a,6的范围是 0,子,且 a,检=6,a).(3)向量垂直：如 果(a,玲=-,则 a 与 6 垂直，记作a工b.2.向量在轴上的正射影已知向量a 和 轴/（如图），作应=&过 点 0,4 分别作轴/的垂线，垂足分别为。，4,则向量而 叫做向量 a 在轴/上的正射影（简称射影），该射影在轴/上的坐标，称 作 a 在轴/上的数量或在轴/的方向上的数量.而=。在轴/上正射影的坐标记作&,向量a 的方向与轴/的正向所成的角为0,则由三角函数中的余弦3.向量的数量积（1）平面向量的数量积的定义：I a 161cos a,b）叫做向量a 和人的数量积（或内积），记作a 6,即 a 6=|&d|c o s a,6.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=（x i,力），6=（如 ，夕为向量a,6 的夹角.数量积：a*b=a b cos 8=汨尼+必先.模：=a夹角：CO S好 鬲 丽=6+.凹+/两非零向量a_Lb的充要条件：a 6=0=为尼+3%=0.|a b a b（当且仅当36 时等号成立）=|汨 X2+%2|忘年+云 4.平面向量数量积的运算律 a b=b a（交换律）.（2）4a 6=4（a 6）=a （4 为（结合律）.（3）（a+6）c=a,c+b c（分配律）.I方 法 技 巧）1.向量线性运算的三要素向 量 的 线 性 运 算 满 足 三 角 形 法 则 和 平 行 四 边 形 法 则，向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 要 素 是“首尾相接，指 向 终 点”；向 量 减 法 的 三 角 形 法 则 要 素 是“起 点 重 合，指 向 被 减 向 量”；平行四边形法则 要 素 是“起 点 重 合”.2.三个常用结论（1）0为 A 3 C的 重心的充要条件是万1+为+加=0;(2)四 边 形A B C。中，E为AD的 中 点，F为BC的中点、,则方+灰7=2前；(3)对 于 平 面 上 的 任 一 点O,0 A,为 不 共 线，满足。=X醇+.丫 为(x,y d R),则P,A,B共线=x+y =1.注意向量共线与三点共线的区别.3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并 且 是 平 面 向 量 正 交 分 解 的 理 论 依 据，也是向量的坐标表示的基础.4.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.5.用平面向量 基 本 定 理 可 将 平 面 中 任 一 向 量 分 解 成 形 如a=/h e i+1 2 0 2的形式.6.计算向量数量积的三种方法定 义、坐 标 运 算、数 量 积 的 几 何 意 义，要 灵 活 运 用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.7.求向量模的常用方法利用公式2=屋，将模的运算转化为向量的数量积的运算.8.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.考 点 练：芝曳平面向量的概念及线性运算及基本定理1.(2 0 2 0安徽滁州市定远县育才学校月考)如图，D、E、F分别是A A B C的边A B、BC、C 4的中点，则下列等式中错误的是()A.FD+DA+DE=0 B.AD+BE+CF=OC.FD+DE+AD=AB D.AD+EC+FD=BD【答案】D【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.【详解】尸万+而+诙=两+诙=0,A正确;A D +BE+CF =A D +D F +FA 8 正确；而+诙+诟=而+通=通+丽=通，C 正确；A D +E C+F D=A D+0=A D =DB B D-。错误，故选：D.2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是（）A.若向量由，由共线，则向量而，r f i的方向相同&向 量 丽 与 向 量 丽 是 共 线 向 量，则4 B,C,。四点在一条直线上C.AABC 中，o 是 BC 中点，则 AB=5（A0+AC）D.若W/6,则m 入eR使9=麻【答案】C【分析】根据向量共线的定义，可知AB错误；O选项忽略了零向量的情况，所以错误；C选项可通过向量加法运算得到，所以C正确.【详解】A选项：共线，则向 量 万 方向相同或相反，可知A错误；B选项：丽和 共 线 即 通/而，则 未 必 在 同 一 条 直 线 上，可知3错误；4C选项：根据向量线性运算中的加法运算法则，可得一，可知C正确；30选项：若M 为非零向量，B为零向量，则。/5,此时不存在;leR,使得口 =几5，可知O错误.本题正确选项：C3.（2020湖南省娄底市模拟）已知A（0,1）,3（0,3）,贝 力 荏 卜（）A.2 B.V10 C.4 D.2 M【答案】C【分析】根据向量模的坐标表示，可直接得出结果.【详解】因为A（0,-1）,3（0,3）,所 以 丽=（0,4）,则 网=4.故选：C.平面向量的数量积及其应用1.（2022河北省沧州市高三9 月教学监测）如图，“1BC中，A5=2AC=6,P,。分别是B C 的三等分点，若 正.衣=一 3,则 靠 而=（）A.-1 B.2 C.3 D.6【答案】D【分析】以 通，为 基底，表示出Q,而，根据数量积公式代入数据化简即可.【详解】由题意得，A C-A P =A C(A B +BP=A C(A B +-B C =A C-(A B+-A C-A B L 3 J I 3 3 J=A C 一AB+AC=-A C A B +-A C =-A C A B +3=-3,所以 衣 血=一 6.U 3 J 3 3 3 3_ _ _ _ _ (_ _ 2 _ A _ _ 9 _ 2 _ A所 以 荏 湎 二 丽 丽+团 二 赢 A B-A C一一A B 3 7 3 3 J=A B-(-A B+-A c(3 3)AB-AC+-AB=-6+-x 62 6 .3 3 3故选:D2.（2022湖北省黄石市高三9 月调研）已 知 向 量 的 夹 角 为（，=（1,正），|B|=G，贝 1“3-2 万|=（）A.721 B.21 C.3 D.9【答案】C【分析】利用平方的方法求得正确答案.详解|=Vl+2=/3,a-b=5/3-V 3-c o s=a-2b 市二讨=J a-4 a-b+4 b2=3-4 x|+4x3=3.故选：C3.（2 0 2 2 贵州省贵阳第一中学高三月考卷）已知向量Z =（1,2）,B =（1,3）,且（痴+怎）1 尻 贝 叶=（）A.-B.C.2 D.-22 2【答案】D【分析】利用（而+怎）列方程，化简求 得:【详解】因为”=（1,2）,S =（-l,3）,所以加 +病=（加一,2/九+3 ），又因为（+）_ L 5,所以ma+nb-b=-（m-n）+3（2 m+3 n）=Q,化简得 二=-2.故选：D4.（多选题）已知向量。=（6，1），=（co s6,si n。），则下列说法正确的是（）J TA.存在。6（0,万），使得2_ L BjrB.存在。（0,5），使得M/BIT -C.对于任意。（0,5），b（l,2 D.对于任意6G（0,工），|）-年 1,也）2【答案】B C DT T【分析】A垂直的数量积为0,列出等式，看解出的6是否在（0,耳）上；T TB山平行的坐标表示列出等式，看解出的8是否在（0,）上；C先由向量数量积的坐标运算，列出和三角函数有关的式子，再求其值域即可；D先表示出模，转化为三角函数求值域问题求解.【详解】对 A：无 6 =&c o s e +si n e =2 si n（e+|o ,若 工 B，则 2 si n（e +（）=0 ,因为。6（0,）,此时。无解，故 A错误；对 B：?i a 11b 则 si n 夕一co s。=0，因为。6（。，,），所以。=w ,故 B 上确；77 7 T T T T T 5 T T 对 C：a-b=2sin（0+）,因为。（0,）,所以夕+（,-）,则 si n（e +?w（Q,1 ,所以。石=2 si n（，+工）（1,2 J,故 C 正确;3对 D：1 4 61=J5 4co s（0 ）,因为 8G（0,）,则 6 ,一）,所以V 6 2 6 6 3co s6 e(-,1 ,贝!|-5但1,6)，故 D 正确;故选：B C D.5.(2 0 2 2北京八一学校高三上学期开学考试)设函数 月=而 不，其中向量而=(2 co sx,l),n=(co s x,V 3 si n 2 x)(1)求函数/(x)的最小正周期与单调递减区间;(2)在AABC中，。、b、c分别是角A、B、。的对边，已知/(A)=2,b=l,AA S C的面积为 干，判断A B C的形状，并说明理由.TT 2 7 r【答案】(1)最小正周期是万，单调递减区间是伙乃+一，后r+,Ze Z；(2)直角三角形，理由见解析.6 3【分析】(1)由数量积坐标运算求得了(幻，并由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得最小正周期和减区间：(2)先求得A角，由面积公式求得C,再由余弦定理求得。，可判断三角形形状.【详解】(1)fx-m-n=2co s2x+V3 sin2 x=co s2 x+/3 sin2 x+1 =2 sin(2 x+)+1,6所以最小正周期是T =7T,22 +2 x+2k7r,解得我 +工%AA H 4 =5万 ,A.T C,6 6 6 6 6 3O 1 7 4 1 .兀 J 3 c5,A Rr=/?csin A =-xl xcxsin=，c=Z ,2 2 3 21jra2=b2+c2-2 Z?cco s A =l +4-2 xl x2 x=3,c2=a2+Z?2,C =,2 2A B C是直角三角形.供 典 真 题1.(2 0 2 1年全国高考乙卷)已知向量Z=(2,5),B =(Z 4),若)，则/1=.Q【答案】I【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于丸的方程，解方程即可求得实数4的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2 x4-/l x5 =0,Q解方程可得：2 =-.Q故答案为：51.(2 0 2 1年全国高考乙卷)已知向量Z=(1,3),B =(3,4),若0-万)，否，则；1=3【答案】一5【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.【详解】因为一筋=(1,3)4(3,4)=(1 3 4,3 4/1),所以由(3 一万)，3可得，3(1 3 4)+4(3 4 4)=。，解得4 =：.3故答案为：一.5【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 =(%,)范=(尤2，%)，ah a-h=0 xlx2+yly2=0 ,注意与平面向量平行的坐标表示区分.3.(2 0 2 1年全国高考甲卷)若向量 石 满足同=3,口-=5,7 3 =1 ,贝胭=.【答案】3亚【分析】根据题目条件，利 用 模 的 平 方 可 以 得 出 答 案【详解】.平一q=5二,一 囚=a+b-2 a-=9 +|-2 =2 5U=3&.故答案为：3亚.4.(2 0 2 1年全国新高考I卷)已 知O为坐标原点，点片(co s a,sin a),(co s,-sin),(cos(a+/7),sin(cr+/?),A(1,O),则()A.|网=|网 B.|/=|碉C.OA OP3=OP,OR,D.OA OPOP,0【答案】AC【分析】A、B写出 西，强、丽，丽 的 坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误：C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详 解】A：0F=(cosa,sin a),OB,=(cos/7,-sin/?),所以|O1|=Jcos?a +sin?=1，|OP,|=7(cos/7)2+(-sin/?)2=1.故|的|=|*I，正确；B：AP=(cos a-I,sin a),Af=(cos p-1,-sin/?),所以I AP|=/(cosa-1)2+sin2 a=Vcos2 6Z-2cosa+l+sin2 a-,2(1-cosa)=4 sin2 y =2 1 sin5|，同理|A引=J(cos-l)2+sin=2|sin，|,故|福布|不一定相等，错误；C：由题意得：OA-OF=lxcos(a+/?)+Oxsin(a+尸)=cos(z+/?)，OF OPy=cos a-cos 尸+sin a (sin 0)=cos(a+p),正确；D：由题意得：。4。吁=lxcosa+Oxsina=cosa,OP2 OPy cos 3 x cos(+/?)+(sin 尸)xsin(a+尸)=cos(p+(a+p)=cos(a+23),故一般来 说 丽.丽 工 漉.诬 故错误；故选：AC一、单选题1.(2022.全国.模拟预测)中国古塔多为六角形或八角形.己知某八角形塔的一个水平截面为正八边形A B C D E F G H,如图所示，若A8=2 a,则 衣.诟=()DCA.（4 +40）/B.（4 +20犷 c.（8 +20）/D（8 +40）/【答案】D【分析】连 接 CE,山正八边形的性质与余弦定理求出4C,再由对称性得到AC与 A E 的关系，从而根据向量的数量积的运算公式求得结果.【详解】连接CE,因为正八边形A B C Q E F C”的每一个内角都是1 3 5。，且 A 8 =8 C =北，所以 AC2=AB2+BC2-2A B BC COS 1 3 5 =（8 +4 7 2 ）cr,由正八边形的对称性知ACJ_ CE,且 N C4=4 5 ,所以A E =&AC，则 急.而=国.|AE|COS4 5 =网可 x 曰=（8 +40”，故选:D.2.（2 0 2 2 全国模拟预测）己知抛物线f=4y,P为直线x =l 上一点，过 P作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,则月屋尸方的最小值为（）2 5 5A.-B.-1 C.-D.-21 6 4【答案】A 2 /2 /【分析】设 A 公,B称 学，利用导数的几何意义可求直线B4,尸 3,进而可得P 三 上，号，I 4 J -4 J 1 2 4 J然后利用数量积的坐标运算结合二次函数的性质即得.【详解】设五、丫2.lily=二 求导得y4X2?2则直线 PA:y=2 x 辽，直线 PB:y=x-2,2 4 2 4联立方程可得PX+工22由尸在直线无=1上，得X I+x,=2,且 也1 L，即国入2 轴，建立直角坐标系，求出A 6,C的坐标，因为点P是该圆上的动点，设P（2cose,2sine）,表示 出 丽 丽+而 1，用辅助角求出最值即可.【详解】如图，等边三角形ABC,O为等边三角形A8c的外接圆的圆心，以。为原点，A。所在直线为y轴,建立直角坐标系.因为AO=2,所以A（0,2）,等边三角形ABC的边长为4,则-=2H=4,所以。=2 6，则 3（百,一1）,。sin A sin 600 又因为尸是该圆上的动点，所以设P（2cosa2sin。），夕式0,2句，PA=（-2cos 2-2 sin-A/3-2 cos-1-2 sin 0,PC=/3-2cos e,-l-2 sin e）.P A -P B +P B -P C=-2 cos e(-V -2 cos e)+(2-2 s i n e)(-l-2 s i n 6)+(-G-2 cos e)(G-2 cos 6)+(-l-2 s i n 6)(-1-2 s i n 6),因为6 e 0,2句，6 +y e丽 丽+丽 无 的最大值为8.=3 +l +2 s i n +2A/3C O S=4 +4 s i n 0+4.（2 0 2 2辽宁大东模拟预测）AA B C中4?=4,A C =2,。为A B的中点，B E =2 E C，则 丽.通=（）A.0 B.2 C.-2 D.-4【答案】A【分析】取 通，为 基底，衣示出 丽，荏即可求解.【详解】在4 B C 41，。为A B的中点，B E =2 E C 取 而，为 基底，所 以 通=通+丽=通+彳/=丽+1（/一 通）=1通+2恁，C D=A D-A C =-A B-A C.2所 以 函.醺=（；而/（；丽+1=：而2_|/21 -2 2 *2 1 ,2因为A B =4,A C=2 所以一A B A C =x 1 6 x 4 =0.6 3 6 3即 丽 荏 =0cE-D-、B故选：A5.(2022山东临沂一模)设 向 量 =(l,x),l =(x,9),若 /区，则 =()A.-3 B.0 C.3 D.3 或一3【答案】D【分析】根据向量平行的坐标表示可得/一 9=o 求解即可.【详解】由题设，有/.9=0,可得x=3.故选：D6.(2022.全国.模拟预测)已知等边 A B C的边长为2,点。，E分别为AB，8 c 的中点，若DE=AEF(/IGR),且 赤 豆=；，则 2=()A.B.1 C.2 D.42【答案】C【分析】由题意画出图形，把向 量 通 用向量而 和 而 表示，结 合 而 比=g 可求得4 的值.【详解】由己知条件,图形如卜.图所示：AF=AE+AF-BC=-AB+（-+-AC-BC-AB-BC+（-+-AC-BC_ 2 （2 2 2 12 2 2 J1）ccl 1=x 2 x 2 x|+d-x 2 x 2 x=2 2）U 2 2 J 2 2解得2 =2.故选：C.7.（2 0 2 2广东高州二模）己知向量 =（1,2）,B =（加,-4）,且R +刀 ,则“的 值 为（）A.-2 B.2 C.-4 D.4【答案】A【分析】利用向量平行的坐标，即可求解.【详解】a=（7?2+1,-2）,=（1,2）,.伍+5）/,2（加+1）=-2,解得：m =2.故选：A8.（2 0 2 2.浙江.模拟预测）跳舞的线是一款音乐类游戏，要求玩家用双眼观察障碍物与陷阱，用双耳聆听节奏，根据音乐引线条通过多重地形，最终抵达终点.玩家每点击一次屏幕，线条将会旋转9 0、且为顺时针、逆时针交替转向.如图是游戏中“沙漠”一关的截图，线条从A点前进到8点有两条路径：和.假设转弯不改变线条的速度，则两条路径所需时间一定相同，这一点可以由某定理保证.这个定理是（）A.平面向量基本定理B.共线向量基本定理C.有一内角为直角的平行四边形是矩形 D.两直线平行，同旁内角互补【答案】A【分析】根据平面向量的基本定理可得出结论.【详解】由图可知，从点A到点3的两条路径和，这两条路径的起点和终点都相同,由平面向量的基本定理可知，若转弯不改变线条的速度，结合图形可知，两条路径在行进的两个方向的路程相同，则两条路径所需时间一定相同.故选：A.二、多选题9.（2 0 2 2全国模拟预测）已知向量玩拓=（2,3,。0,b 0,则下列说法正确的是（）A.若。+。=1,则而分有最小值5 +2 6B.若 必=1,则决不有 最 小 值 C.若二 二,则l g式玩.万）的值为-13D.若正，几 则2 2 a 3a的值为1【答案】A【分析】根据向量的坐标运算，求得晶不，结合向量平行和垂直的坐标运算以及基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.对 A：a+b 1 则沅万=+=5 +生+3 2 5 +2=5 +2，r 1 q当且仅当 一 =丁，即。=#2，b=3-瓜取得等号，故选项A正确；a b对B：若ab=l,则初万=2 +3 2 2/2.3 =2，a b a b当且仅当。=见、b=l,取得等号，故选项B错误;3 2u 1 1 3 3对C：若 加，则一x二一 1 x 2 =0,即刈=不，a b 2则 log.3(m-)=log32 2故选项c错误;对 D：因为a0,b0,所 以 抄+3a0,22b+3a 1 -则D不正确.故选：A.10.（2022全国模拟预测）如图，在等腰梯形A8CO中，AB=2A=2CD=2BC,E是8C的中点，连接AE,8。相交于点尸，连接C E则下列说法正确的是（）T 1 f 2 TC.BF=AB+-AD5 5T 1 T 3 fD.CF=AB一一AD10 5【答案】ABD【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.【详解】对于A选项,1 1 Z 产“A%f 1(f f 3 f=AB+-AB+AD+-AB =-A B+-A D,2(2 J 4 2故A选项正确;对于B选项，因为B,F,。三点共线,A F =x A B+(l-x)AZ)*由A尸 所以存在唯一实数4,使得AF /I AE,结合A可知,x A3+(1 x)AO=4(a AB+5 A0)x-丸)A3=1万丸-1 +x)A0,因为 AO 不共线，所以n x=不，所以A.F=AB-AD,故B选项正确;-Z-l+x=0 5 5 52f f t 2 f 2 f对于C选项，结合B,BF=AF-AB=-A B+-A D ,故C选项错误；f 1 3 f O 1 Q 对于 D 选项，结合 B,CF=CD+DA+AF=一一AB-AD+-AB+-AD=AB A O,故 D 选项正2 5 5 10 5确.故选：ABD.11.（2022 广东深圳一模）四边形ABC。为边长为1的正方形，M为边CO的中点，则（）A.AB2MD B DM-CBAM C.AD+MC=MA D.AM-BC=l【答案】BD【分析】如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可.【详解】如图,A：AB=2DM=-2MD 故 A 错误；B：AM=AD+DM BC+DM D M-C B 故 B 正确：C：MA=MD+DA=-D M-AD =CM-AD 故 C 错误：D：7J BC=（AD+DM）BC=AD BC+DM BC,由5c_LD W,得方必.前=0，所以册=通 就+o=|反 于=1,故D正确.故选：BD12.（2022广东韶关一模）已知向量。=（1,%）石=（2-4,一3）,则下列说法正确的是（）A.若k手3,则向量乙5可以表示平面内任一向量B.若卜一5卜 忖+5卜则左2C.若 2 (&2,则左3D.若女 g,则商与5的夹角是锐角【答案】B C【分析】A选项，根据平行得到&的范围；B选项，根据条件得到两向量垂直，进而求出的值；C选项,列出不等式，求出k的范围；D选项，举出反例.【详解】当M与方不共线，用石可以表示平面内任一向量，所以3乂1一女(2-2)，0,解得：左。3且左W-1,A错误；若卜一句=忻+5 ,则1工 人 所以10k)+(3)不=0,得：k=；,B正确；若 2(厅,有1 +1(2-幻2+9,解得：上3,C正确；当我=1时，。与5平行，夹角不是锐角，D错误.故选：B C.1 3.(2 0 2 2重庆模拟预测)己知AABC中，A B =2,就 在荏方向上的投影为3,。为AC的中点，E为BD的中点，则下列式子有确定值的是()A.AB BD B.BD-AC C.CE-AB D.CE.BD【答案】A C【分析】如图，以A为原点，丽 的 方向为轴正方向建立平面直角坐标系，根据题意设出点的坐标，然后逐个计算即可【详解】如图，以A为原点，荏 的 方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，因 为 睨 在 而 方向上的投影为3,所以点C的横坐标为5,设。点坐标为(5,y),A(O,O),B(2,O),因为。为AC的中点，E为8。的中点，对于A,丽 丽=(2,0 己,马=1，所以A正确,2 2-1 y 5 V2对于B,34C =(一,2)(5,y)=/+L,所以B 错误，2 2 2 2 11 3 11对于 C,C E A B =(一一,-y)-(2,0)=一一，所以 C 正确，4 4 2对于 D,CE SD=(-,=所以 D 错误,4 4 2 2 8 8故选：AC14.（2022全国模拟预测）已 知 平 面 向 量 日 满 足 M=（l,2）,W=a b=-，则cos B）=.【答案】#0.52【分析】根据向量的数量积公式示 B=|如 W cos卜,5）即可求出cos&5）.【详解】由题可得同=石，572故-（哂=希房故答案为：215.（2022全国模拟预测）已知平面向量，b,c 满足|。|=1，卜|=2,Q+B+C=0,B=-1,则W=-【答案】下【分析】山题意得=-二-，直接平方即得结果.【详解】由 题;二 工，两边同时平方得了=2+2石+川 4=忸一1,得W=6.故答案为：、/?.16.(2022 全国模拟预测)已知向量；(-2,1),b=(-1,1),2=(丸,3),若R +可，2,则实数几=【答案】2【分析】由题可得+石=(-3,2),再利用数量积的坐标公式即求.【详解】因为:=(一2,1),B=(1,1),所以+5=(-3,2).又=(4,3),所以-32+6=0,解得4=2.故答案为：2.