高中数学选择性必修二 专题5.1 导数的概念及其意义 同步练习.pdf

专题5.1 导数的概念及其意义知识储备1.导数的概念一般地，函 数 产1A X）在 x=x o处的瞬时变化率l i m 包=l i m +/（/）为 函 数 产 危）在工A S A x -A x=刈处的导数，记作，（X）或 y|X =X 0 即/（x o）=l i m 包=l i m 八/+一）一 /（/）.-A x 小 一。A x称函数/（x）=l i m ”区广8）二/（勺）为一X）的导函数.-A x2.导数的几何意义函数大灯在点X 0 处的导数r（x o）的几何意义是在曲线y=/（x）上点P（x o,/（x o）处的切线的斜率.相应地，切线方程为 y/U o）=f （x o）（x X o）.能力检测注意事项：本试卷满分1 0 0 分，考试时间4 5 分钟，试题共1 6题.答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、单选题1.（2020全国高二课时练习）甲、乙两厂污水的排放量W与时间，的关系如图所示，则治污效果较好 的 是（）【答案】BC.两厂一样D.不确定【解析】在 4处，虽然 有 喝&）=%&），但&-加）也&一 加），所以在相同时间/内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好.故选：B.2.（2020全国高二课时练习）已知函数/（x）和 g（x）在区间。,切上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A./(x)在a到b之间的平均变化率大于g(X)在a到5之间的平均变化率B./(%)在a到b之间的平均变化率小于g(X)在a到b之间的平均变化率C.对于任意x e(a/)，函数f(x)在x =x 0处的瞬时变化率总大于函数g。)在x =*o处的瞬时变化率D.存在与(。为)，使得函数/(X)在x =/处的瞬时变化率小于函数g(x)在x =x 0处的瞬时变化率【答案】D(解析】以X)在a到5之 间 的 平 均 变 化 率 是,b-ag(x)在a到b之间的平均变化率是g(2 g(“),b-a又f(b)=g(b),又a)=g(a),f(b)-于(a)_g(b)-g(a)一 fb-a b-a.A、B错误；易知函数/(x)在x =/处的瞬时变化率是函数f(x)在x =/处的导数，即函数/(x)在该点处的切线的斜率，同理可得：函数g(x)在X =X。处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数，即函数g(x)在该点处的切线的斜率，由题中图象可知：/e (a,与 时，函数/(X)在 尤=不处切线的斜率有可能大于g(x)在x =x O处切线的斜率，也有可能小于g(x)在x =x 0处切线的斜率，故C错误，D正确.故选：D.3.(2020全国高二课时练习)函数/(x)的图象如图所示，则下列数值排序正确的是(B.0 r(3)/(3)-/(2)r(2)c.0 尸(3)C(2)/(3)-/(2)D.0/(3)-/(2)f(2)f(3)【答案】B【解析】如图所示，/(2)是函数/(x)的图象在x=2(即点A)处切线的斜率占，/(3)是函数f(x)的图象在x=3(即点5)处切线的斜率一(=/(3)一/(2)=A:”是 割 线 的 斜 率.32由图象知，0 /总(占,即0 /(3)/(3)-2)-（2+加）-（2 x 2Z 2）=妈（7+2 4）=7,A/-0 Z 4 0 Z所以该质点在2s末的瞬时速度为7m/s.故选：C.8.（20 20全国高二课时练习）某质点的运动规律为5 =尸+3,则在时间（3,3 +/）内，质点的位移增量等于（）9A.6A/+（/）-B.64-A/H C.3 A/4 （A/）D.9 4-A/【答案】A【解析】位移增量=s(3 +A r)s(3)=(3 +A z)2+3-(32+3)=6A r +(A .故选：A.二、多选题9.(2020全国高二课时练习)(多选)已知函数.f(x)的定义域为R,其导函数/(X)的图象如图所示，则对于任意X 1,X 2G R(X 1，X 2),下列结论正确的是()A.(5-马)/(芭)-/(%2)0C/)%)+/D/(一+九2)J(xJ+X 2)【答案】AD【解析】由题中图象可知，导函数f(x)的图象在X轴下方，即/(x)0,且其绝对值越来越小,因此过函数.f(x)图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,A选项表示 -马 与/(王)一/(W)异号，即f(X)图象的割线斜率,一/为负，故A正确;X 一 工2B选项表示西-马 与/(%)/(9)同号，即/(X)图象的割线斜率八 八 为 正,故B不正X|一确；/百十、表示X|+x22对应的函数值，即图中点3的纵坐标，(西)+/()表示当尤二%和72X =X 2 时所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，显然有/(%|上)/(*)；/(玉),故 C 不正确，D正确.故选:AD.1 0.(2 0 2 0 全国高二课时练习)(多选)下列命题正确的是()A.若/(不)=0,则函数.f(x)在 七处无切线B.函数y =/(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点C.曲线y =/(x)在 x =l 处的切线方程为2 x-y =0,则 当 以 0时，/一八 猛=12 AxD.若函数f(x)的导数/*)=/一 2,且/(1)=2,则 f(x)的图象在x =l 处的切线方程为x+y-3=0【答案】BD【解析】若)(/)=0,则函数/(X)在 X。处的切线斜率为0,故选项A 错误；函数y =/(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数/(%)=/一 3x,在 x =l 处的切线为丁 =-2,与函数的图象还有一个公共点(-2,-2),故选项5正确；因为曲线y =/(x)在 x =l 处的切线方程为2 x-y =0,所以/(1)=2又 l i m/一 +/=_ l lim dlW-F。2AJ C 2 -Ar=-；r(i)=-I H I,故选项c错误;因为函数f M的导数r(x)=/一 2 ,所以/(l)=一 2 =-1,又/(I)=2,所以切点坐标为(1,2),斜率为一1，所以切线方程为丁一2 =一。-1),化简得x+y-3 =0,故选项。正确.故 选：BD.1 1.(2 0 2 0 无锡市第一中学高三月考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为w=f(t),用-国 二 的 大 小 评 价 在 a,勿这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙b-a两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论，其中正确结论为()A.在，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B.在，2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；C.在4时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；D.甲企业在 0/,上 山 ，也 这 三 段 时 间 中，在 0/J的污水治理能力最强.【答案】ABC【解析】-必匕 丛。表示区间端点连线斜率的负数，b-a在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；A正确；甲企业在 0在,412,国，3这三段时间中，甲企业在，,可这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在 彳,修的污水治理能力最强.D错误；在 右时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B正确；在G时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；c正确；故选：ABC.12.(2020长沙市湖南师大附中高二期末)若直线/与曲线。满足下列两个条件：直线/在点(方,为)处与曲线c相切；曲线。在点P附近位于直线/的两侧，则称直线/在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是()A.直线/：y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=/B.直线=在点尸(1,0)处，切过，曲线C:y=lnxC.直线/：y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinxD.直线/：y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x【答案】AC D【解析】A项，因为y =3 f,当*=0时，9 =0,所以/：y =0是曲线C：y =d在点P(0,0)处的切线.当了 0时，y0时，y 0,所以曲线。在点P附近位于直线/的两侧,结论正确；B项，了=！，当=1时，y =l,在P(L0)处的切线为/：y =x-l.X令 (x)=x-1 -I nx,则“(x)=1 =-(%0),x x当x l时，(x)0；当0 x l时，(x)0时，曲线。全部位于直线/的下侧(除切点外)，结论错误；C项，y=co s x,当x =0时，y =l,在尸(0,0)处的切线为/:y =x,由正弦函数图像可知，曲线C在点尸附近位于直线I的两侧,结论正确;D项，y =-V，当x =0时，y =l,在P(0,0)处的切线为/：y =x,co s X由正切函数图像可知，曲线。在点P附近位于直线I的两侧,结论正确.故选：AC D.三、填空题/-川-2 x)2y/3x1 3.(2 02 0全国高二课时练习)设函数y =/(x)为可导函数，且满足li m则曲线.y =fix)在点(1,/(1)处切线的倾斜角为【答案】1 2 0/-/(l-2 x)2也x【解析】V li ml i m -2 x)7 i o -2x lim-=-75,3-2x即 尸 =JL曲线在点（1,/（1）处切线的斜率k=尸（1）=-V 3,所以倾斜角为120。.故答案为：120。.14.（2020北京高三期中）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间f 的关系为c=/Q）,甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间（变化的关系如下图所示.给出下列四个结论：在乙时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；在 G 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；在 心，引这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；在 用 2 1 山2，引两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】在外时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故正确；甲、乙两人在J时刻的切线的斜率不相等，即两人的/。2）不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故不正确；根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是,故正确；在 e 2 时间段，甲的平均变化率是，在 国 闻 时间段，甲的平均变化率是/（幻一/色）,显然不相等，故正确.故答案为：15.（2020全国高三月考）若曲线 x）=e +aln（x +l）-2（”0）在点（0 J（0）处的切线也是曲线8(%)=耳/+工+。-1 的切线，贝二.【答案】:94【解析】由已知得r(x)=e +官，所以 0)=-1,r(O)=l+a,所以切线方程为y =(1 +)工一1 .由 g(X)=g%3+x +Q-1 得/(l)=1 2+1 ,令 g x)=/+l =l+Q,解得x =G.代入切线 y =(l+a)x 1,求得切点为(6,(1+。)&-1),(一而,-(l+a)G l).1 Q Q将切点坐标代入曲线g(x)=d +x+a-l,求得a=.故答案为：j四、双空题1 6.(2 0 2 0 全国高二课时练习)过曲线,=尤2 +1 上两点尸(1,2)和 Q(l+A r,2 +A y)作曲线的割线,当A x=0.1 时，割 线 的 斜 率 为；当A x=0.0 0 1 时，割 线 的 斜 率 为.【答案】2.1 2.0 0 1【解析】V A y=(1 +A x)2+1 -(12+1)=2 A x+(A x)2,.包=2 +A x,A r割线斜率为2 +Ax,当以=0.1 时，割线P Q 的斜率为2 +0.1 =2 1.当A r=0.0 0 1 时，割线P Q 的斜率为2 +0.0 0 1 =2.0 0 1.故答案为：2.1；2.0 0 1.