2019年数学真题及解析_2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）.pdf

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标IU）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知集合A=-1,0,1,2,则 A D B=（）A.-1,0,1 B.0,1 C.-1,1 D.0,1,2）2.（5 分）若 z（1+z）=2 i,则 2=（）A.-1 -z B.-1+z C.1 -i D.1+/3.（5 分）西游记 三国演义 水浒传和 红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生，其中阅读过 西游记或 红楼梦的学生共有90位，阅读过 红楼梦的学生共有80位，阅读过 西游记且阅读过 红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过 西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.84.（5 分）（1+2?）（1+x）4的展开式中了 的系数为（）A.12 B.16 C.20 D.245.（5 分）已知各项均为正数的等比数列 如 的前4 项和为15,且。5=3。3+4,“，则”3=（）A.16 B.8 C.4 D.26.（5 分）已知曲线 在点（1,ae）处的切线方程为y=2x+，则（）A.a e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e b=D.a=e）,b=-1Q37.（5 分）函 数 丫=卫 _在-6,6 的图象大致为（）2x+28.（5 分）如图，点 N 为正方形A8CQ的中心，ECQ为正三角形，平面ECZ），平面ABCQ,C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM WEN,且直线BM,EN是异面直线9.（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的为 0.0 1,则输出s 的值等于（）A.2-1-24B.2-25C.2-A-26D.2-A _272 21 0.（5分）双曲线C：二_-2 一=1 的右焦点为尸，点 P在 C的一条渐近线上，O 为坐标4 2原点.若|P O|=|P F ,则的面积为（）A.B.2.C.2亚 D.3圾4 21 1.（5分）设/（x）是定义域为R的偶函数，且 在（0,+8）单调递减，则（）A.f(l o g 3 )f(2 7)f(2-T)42 3B.f(l o g sA)f(2-T)/(2-7)43 2C.f(2 2)/(2 3)f(l o g 3 )42 3D.f(2-3-)/(2 7)f(l o g 3 -)41 2.（5分）设函数/（x）=si n（3 x+匕）（30）,已知/（x）在 0,2n 有且仅有5个零5点.下述四个结论：/（x）在（0,2T T）有且仅有3个极大值点f（x）在（0,2T T）有且仅有2 个极小值点f（x）在（0,）单调递增10 3的取值范围是 丝，2 9）5 10其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3.（5分）已知a，b 为单位向量，且 a，b=0,若 c=2 a-近 E，则 c o s=.s1 4.（5分）记 S?为等差数列“”的前项和.若m W O,”2=3 m,则=.$52 21 5.（5分）设尸1,F 2为椭圆C：。岂 _=1的两个焦点，M 为 C上一点且在第一象限.若36 20 M FIF2 为等腰三角形，则 M 的坐标为1 6 .（5分）学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如图，该模型为长方体A 8 C C-4 8 1 C I。挖去四棱锥O-EF G H 后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,”分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A 4=4 a.3。打印所用原料密度为0.9 g/c 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:共 60分。1 7 .为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 2 0 0 只小鼠随机分成A、B两组，每 组 1 0 0 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图直方图：频率/组距 f 频率/组距a-0.30-10505O21A11OSSO.O.1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5百分比0.200.150.05o2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 百分比甲离子残留百分比直方图 乙禽子残留百分比直方图记 C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.7 0.（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.1 8 .八钻。的内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a s i n 3 2=%s i i V l.2(I)求 8：(2)若A A B C为锐角三角形，且c=l,求A A B C面积的取值范围.1 9.图1是由矩形A D E B、Rt Z X A B C和菱形B FG C组成的一个平面图形，其中A B=1,BE=BF=2,NFBC=60 .将其沿A B,B C折起使得B E与8 F重合，连结。G,如图2.图1图2(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面A B C,平面B C GE；(2)求图2中的二面角B-C G-A的大小.2 0 .已知函数/(x)=2J?-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得/(x)在区间 0,1 的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出小 匕的所有值；若不存在，说明理由.21 .已知曲线C：=标，。为 直 线 =-上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为4,B.(1)证明：直线A B过定点；(2)若以E(0,互)为圆心的圆与直线A 3相切，且切点为线段A B的中点，求四边形2AD B E的面积.(二)选考题：共1 0分。请考生在第22、2 3题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(1()分)22.如图，在极坐标系。r中，A(2,0),B(近,),C(泥，亚-),D(2,n),弧4 4AB-B C，而所在圆的圆心分别是(1,0),(1,),(1,n),曲线M i是弧第，曲线2是弧前，曲线M 3是弧而.(1)分别写出M l,M2,M 3的极坐标方程；(2)曲线M由M i,M 2,M 3构成，若点尸在M上，且|O P|=耳，求P的极坐标.选修4-5：不等式选讲（10分）2 3.设 x,y,z G R,且 x+z=1.(1)求(x -1)2+(y+1)2+(z+1)2 的最小值;(2)若(%-2)2+(y-1)2+(z-6 7)2 2!成 立，证明：。忘-3 或。2-32019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标IU）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知集合4=-1,0,1,2,B=4?W 1 ,则 A ng=（）A.-1,0,1 B.0,1 C.-1,1 D.0,1,2）【考点】I E：交集及其运算.【分析】解求出8中的不等式，找出A与8的交集即可.【解答】解：因为A=-1,0,1,2,B=x|/W l =x|-K W 1 ,所以 AC 8=-1,0,1 ,故选：A.【点评】本题考查了两个集合的交集和一元二次不等式的解法，属基础题.2.（5 分）若 z（1+）=2i,贝”=（）A.-i B.-1+/C.1 -/D.1+/【考点】A5：复数的运算.【分析】利用复数的运算法则求解即可.【解答】解：由z（1+/）=2i,得z=2i1+i-2=1+/.故选：D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法和除法法则，虚数单位i的基运算性质，属于基础题.3.（5分）西游记 三国演义 水浒传和 红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 1 0 0位学生，其中阅读过 西游记或 红楼梦的学生共有9 0位，阅读过 红楼梦的学生共有80位，阅读过 西游记且阅读过 红楼梦的学生共有6 0位，则该校阅读过 西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8【考点】B 2：简单随机抽样.【分析】作出维恩图，得到该学校阅读过 西游记的学生人数为7 0 人，由此能求出该学校阅读过 西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值.【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 1 0 0 位学生，其中阅读过 西游记或 红楼梦的学生共有9 0 位，阅读过 红楼梦的学生共有8 0 位，阅读过 西游记且阅读过 红楼梦的学生共有6 0 位，则该学校阅读过 西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：-I2_=O.7.100故选：C.【点评】本题考查该学校阅读过 西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.4.（5分）（1+2?）（1+x）4 的展开式中产的系数为（）A.1 2 B.1 6 C.2 0 D.2 4【考点】DA：二项式定理.【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解.【解答】解：（1+2?）（1+x）4 的展开式中F 的系数为：IX C4 X 13X c X1+2X C4 X 1 1 X C3 X 13=1 2-故选：A.【点评】本题考查展开式中小的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.5.（5 分）已知各项均为正数的等比数列 ”的前4 项和为15,且。5=3。3+4 1,则3=（)A.16B.8 C.4 D.2【考点】88：等比数列的通项公式.2 3a 1 +a 1 q+a 0），根据条件可得aj q4=3a1q2+4aj解方程即可.【解答】解：设等比数列 珈 的公比为q(q 0),则由前4 项和为1 5,且 5 =3A3+4G,有 2 3aj+ajq+aj q+a1q=15.f ai=，E=a,则 B=&a,BE=.&2号&2=圾a,从而BM 手 EN.【解答】解：I 点N 为正方形ABC。的中心，ECO为正三角形，平面ECDJL平面ABC。,M 是线段ED的中点，.M u 平面 M E,ENu平面是BOE中。E 边上的中线，EN是BOE中 8 0 边上的中线，直线EN是相交直线，设）E=“，则 8）=&a,BE=,当a?B a?=MaBM=a,EN=./S 2 T 2=a,:.BM 手 EN,故选：B.【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题.9.（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 为0.01,则输出s 的值等于（）【考点】E F：程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：第一次执行循环体后，s=l,x=L,不满足退出循环的条件x 0.0 1；2再次执行循环体后，S=l+L,x=-V，不满足退出循环的条件X V O.O I；2 22再次执行循环体后，s=l+L+L,x=-L,不满足退出循环的条件x 0.0 1,而上一0.0 1,可得：26 27当s=i+L+x=L,此时，满足退出循环的条件x f(2 2)/(2 3)41 _2_ _ 2B.f(l o g 3)f(2 3)/(2 2)43 2C.f(2 2)/(2 3)f(l o g 3)42 3D.f(2 T)/(27)f(l o g 3)4【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断.3 2【分析】根据Io g 34 l o g 33=l,0 2 2 2 3 l o g 33=l,Q 2 2 2 3 2=r_ 3_ _ 2_0 2-7 2 f(2 3)f(l o g3y)故选：C.【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属基础题.12.(5 分)设 函 数/(X)=s i n(3尤+看)(3 0),已知/(x)在 0,有且仅有5个零点.下述四个结论：Q(x)在(0,2 n)有且仅有3 个极大值点f(x)在(0,2 n)有且仅有2 个极小值点f(x)在(0,2 L)单调递增10 3 的取值范围是 丝，29)5 10其中所有正确结论的编号是()A.B.C,D.【考点】H 2：正弦函数的图象.【分析】根据f(x)在 0,2E 有且仅有5个零点，可得5TTW如3+三6兀，解出3,5然后判断是否正确即可得到答案.【解答】解：当x 0,211 时，3X+工 日 工，如3+生 ,5 5 5V/(X)在 0,2E 有且仅有5个零点，.,.5 n 2n o)+.2L 6兀，5.丝 3 丝，故正确，5 10因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，下面判断是否正确，当 尤(0,)时，3X+2LW 2 L,(S+2)兀 ,1 0 5 5 1 0若/（x）在（0,）单调递增，10则（3+2）7T?L,即 33,10 2.丝（0 =5一【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【分析】根据向量数量积的应用，求出相应的长度和数量积即可得到结论.【解答】解：1 3=4（2二7）=2之2-相 篇2,7 c2=（2 病）2=吗2一4 5/+5,=9,；.|3=3,.cos=a c 2I a I I c|3故答案为：23【点评】本题主要考查向量夹角的求解，根据向量数量积的应用分别求出数量积及向量长度是解决本题的关键.s14.（5分）记S”为等差数列 珈 的 前 项 和.若m#0,a2=3ai,则=4.S5【考点】85：等差数列的前n项和.S【分析】根据s=3 m,可 得 公 差 然 后 利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 将 一 担 用 Gs5表示，化简即可.【解答】解：设等差数列 如 的公差为d,则由 mWO,-2=3/1 可得，d=2ai,.S1。l O a +a QS5-5（ai+&5）_ 2（2&i+9 d）2 +4 d_ 2（2 a1+1 8 a1）=-二 4，2 a 1 +8 a i故答案为：4.【点评】本题考查等差数列前项和性质以及等差数列性质，考查了转化思想，属基础题.2 21 5.（5分）设 尸 尸2为椭圆C：三_+=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若3 6 2 0 MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为（3,J T 3.【考点】K 4：椭圆的性质.【分析】设M（机，），m,n 0,求得椭圆的a,b,c,e,由于M为C上一点且在第一象限，可得M F 1 F 2为等腰三角形，可能|M F i|=2 c或|MF2|=2C,运用椭圆的焦半径公式，可得所求点的坐标.2 2【解答】解：设 ），?，0,椭圆 C：+=1 的 a=6,/=2A/5,C=4,3 6 2 0e=g=Z,a 3由于M为C上一点且在第一象限，可得M F 1 F 2为等腰三角形，可能|M F i|=2 c或|MF2|=2C,即有 6+Z w=8,即 m 3,nyl536-2W=8,即机=-3 V O,舍去.3可 得 何（3,V 1 5）.故答案为：（3,V 1 5）.【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查分类讨论思想方法，以及椭圆焦半径公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.1 6.（5分）学生到工厂劳动实践，利用3 0打印技术制作模型.如图，该模型为长方体A B C D-AIBICIDI挖去四棱锥O-E/G”后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,”分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,4 4 i=4 c?.3 D 打印所用原料密度为0.%距 m 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为1 1 8.8 公【考点】L F：棱柱、棱锥、棱台的体积.【分 析】该 模 型 体 积 为 VA B C D_A BCD Vo EFGH=6 X6 X4-(4X6-4X X3X 2)X 3=13 2(c n?),再由 3。打印所用原料密度为 0.9 g/c?3,3 2不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量.【解答】解：该模型为长方体A B C Q-A 1 81 C 1 D 1,挖去四棱锥0 -E FGH后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H,分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA4cm,该模型体积为：V/A 邛 口 一=6X6X4-9(4 X 6-4 X yX 3 X 2)X 3=1 4 4-1 2=1 3 2 (c/n3),V3D打印所用原料密度为0.9 g/0/,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为：1 3 2 X 0.9=1 1 8.8(g).故答案为：1 1 8.8.【点评】本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:共 60分。1 7.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 2 0 0 只小鼠随机分成A、B两组，每 组 1 0 0 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，8 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图直方图：频率/组距 f 频率/组距0.30-1 0 0505O21-11O0.0.S0.1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5百分比0.200.150.05O2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 百分比甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记 C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中小b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【考点】B 8：频率分布直方图.【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中”,b.（2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值.【解答】解：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C）的估计值为0.70.则由频率分布直方图得：fa+0.20+0.15=0.7,IO.05+b+0.15=1-0.7解得乙离子残留百分比直方图中。=0.3 5,6=0.1 0.（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：xv 甲E=2 X 0.15+3 X 0.20+4 X 0.30+5 X 0.20+6 X 0.10+7 X 0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值为：3 X 0.05+4 X0.1+5X0.15+6X 0.35+7 X 0.2+8 X 0.15=6.00.*乙【点评】本题考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.18.AABC的内角A、B、C 的对边分别为“，b,c.己知asinA，=bsinA.2(1)求 B；(2)若AABC为锐角三角形，且 c=l,求aA B C 面积的取值范围.【考点】HT：三角形中的几何计算.【分析】(1)运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；(2)运用余弦定理可得从 由三角形A 8C为锐角三角形，可得次+2-。+1 且l+a2-a+a2,求得。的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围.【解答】解：(1)asinA t=6sinA,即为 asin2L_=acos=bsinA,2 2 2可得 siMcosR=sinBsinA=2sin-R2-cRos-sinA.2 2 2VsinA0,/.cos=2sin-cos,2 2 2若 cos丝=0,可得8=(2火+1)IT,依Z 不成立，2sin=,2 2由O V B VTT,可得B=L；3(2)若aA B C 为锐角三角形，且 c=l,由 余 弦 定 理 可 得 一 次+1 -2中1 y。寻=序团由三角形ABC为锐角三角形，可得/+4 2”+1 1且+-a+a2,解得上 a A C=(2,-1,0),设平面A C G O的法向量n (x，y，z),则,yyx+z=0,取 =3,得 短 6,-b）,.A C n=2 x-y=0又平面B C G E的法向量为7=（0，1，0）,，二面角B-C G-A的大小为3 0 .【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题.2 0.已知函数/(x)=2J?-ax1+b.(1)讨论/(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得/(x)在区间 0,1 的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出a,。的所有值；若不存在，说明理由.【考点】6 E：利用导数研究函数的最值.【分析】(1)/(x)=6x2-2ax=6x(x -).令 f(x)=6x(x -A)=0.解得 x3 3=0,或旦.对分类讨论，即可得出单调性.3(2)对a分类讨论，利 用(1)的结论即可得出.【解答】解：(1)，(x)6x2-2ax=6x(x -A).3令 f (x)6x(x -)=0,解得 x=0,或且.3 3a=0时，f(x)=6/N 0,函数/(x)在R上单调递增.a0时，函数/(x)在(-8,0),(旦，+8)上单调递增，在(0,A)上单调递3 3减.QV O 时，函数/(x)在(-8,旦)，(0,+8)上单调递增，在(2，0)上单调递减.(2)由(1)可得：a W O 时，函数 f (%)在 0,1 上单调递增.则/(0)=b=-1,/(I)=2-a+b=l,解得力=-1,。=0,满足条件.0时，函数/(x)在 0,旦 上单调递减.3221,即23时，函数/(x)在 0,1 上单调递减.则/(0)=6=1,/(1)=2-+b最小值/()=2X仔)=-1,解得人=1,。=4,满足条件.0 V旦V I,即 0 Va V 3 时，函数/(X)在 0,且)上单调递减，在(2，1 上单调递增.则3 3 33 -。义 仔)2+Q-1,3化为：-且 _+力=-1.而/(0)=4/(1)=2-+。，,最大值为6或 2-+江273若：-鬲+/?=-1,b=,解得。=3料 3,矛盾，舍去.3L若：-2+。=-1,2-a+b=1,解得。=土 3,或 0,矛盾，舍去.27综上可得：存在，b,使得/(x)在区间 0,1 的最小值为-1 且最大值为1.”，匕的所有值为：卜=。，或 卜=4lb=-l I b=l【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.2 12 1.已知曲线C：=底，。为直线y=-的 动 点，过 力 作 C的两条切线，切点分别为A,B.(1)证明：直线A B 过定点；(2)若以E(0,竺)为圆心的圆与直线A 8相切，且切点为线段A B 的中点，求四边形2A D 8 E 的面积.【考点】K 8：抛物线的性质.2【分析】(1)求得y=%_的导数，可得切线的斜率，可得切线Z M,的方程，求得交点。的坐标，可得A B 的方程，化简可得4 B 恒过定点；（2）设直线A B 的方程为丫=区+工，由（1）可得XI+X2=2Z,XX2=-1,求得A B 中点2H（k,M+1），由”为切点可得E到直线A B 的距离即为|四，求得k,再由四边形AO 8 E2的面积为S BE+SAABD,运用点到直线的距离公式和弦长公式，计算可得所求值.2【解答】解：（1）证明：），=方-的导数为y =x,2 2设切点 A（xi,y i）,B（x2,2）,即有y i=-,=二 2 _,2 22切线 D 4 的方程为 y -y i=xi （x-xi）,即为 y=xi x-?,2切线D B的方程为y=w -,联立两切线方程可得x=L（X1+X2）.2可得 y=LlX 2=-L,即 X1 X2=-1,2 2直线A B的方程为y -3 _=工1 二 W G-xi）,2 X j-x22即为=2_（X1+X2）（X-XI）,2 2可化为 y=L（xi+%2）x+,2 2可得A B 恒过定点（0,1）；2（2）法一：设直线A B 的方程为），=+工，2由（1）可得 Xl+A2 =2 匕 X1 X2=-1 ,A S中点”（k,必+1），2由，为切点可得E到直线A B 的距离即为E 4 ,山用 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _可 得 左 言=八 2 +。2 _ 2）2,解得k=0或左=1,即有直线A B的方程为y=y=土x+工，2 2由 y=L 可得|A 8|=2,四边形 AOBE 的面积为 S“BE+5A4BO=LX2X（1+2）=3；2 2由 尸 x+,可得|AB|=A/1+1W 4+4=4,1|1号蒋I此 时 力（1,-）到直线AB的距离为幺 2=&；2V2白 工 I _E（0,空）到直线AB的 距 离 为2=加,2 V2则四边形AOBE的面积为SAABE+S“BD=/4 X （扬&）=4&；法二：（2）由（1）得直线AB的方程为=田+工.2（1Y=tx+y由，2,可得/-2 fx-l=0.X于是 xi+x2=2f,xx2=-1,y i+*=f（XI+JC2）+1=2尸+1,|AB|=Vl+t2 I X j-X2|=Vl+t2X7（x1+x2）2-4x1x2=2（/2+l）-设 di,42分别为点。，E 到直线AB的距离，则 由=砥 1,4 2=-产V t2+1因此，四边形AQBE的面积S=/A B|(di+d2)=(?+3)J 3不设 M 为线段A 8 的中点，则+L).2由于EM1AB，而 而=(t,t2-2 AB与 向 量 力 平 行，所 以 什(人 2)r=0.解得，=0 或 r=l.当 f=0 时，5=3；当，=1 时，S=4A A.综上，四边形AQBE的面积为3 或 4&.【点评】本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线的位置关系，以及直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于难题.(-)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)2 2.如图，在极坐标系Ox中，4(2,0),B(V 2-工)，C(加，之三)，D(2,TT),弧4 4AB.BC，&所在圆的圆心分别是（1，0）,（1,2L）,（1,7 T）,曲线M i 是弧篇，曲线2M 2 是弧筱，曲线M 3 是弧而.（1）分别写出M l,Ml,M 3 的极坐标方程；（2）曲线M 由M i,M 2,历3构成，若点尸在历上，且|O P|=J W 求 P的极坐标.【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程.*.y r【分析】（1）根据弧AB，BC，C I W 在圆的圆心分别是（1，0）,（1,）,（1,n）,结2合极坐标方程进行求解即可；（2）讨论角的范围，由极坐标过程|O P|=y 巧，进行求解即可得P的极坐标；【解答】解：（1）由题设得，弧 窟，BC，&所在圆的极坐标方程分别为p=2 co se,p=2 si n 0,p=-2 co s0,则 M l 的极坐标方程为p=2 co s0,（OWOWZL）,M 2 的极坐标方程为p=2 si n。，（2Lw。4 44M3 的极坐标方程为 p=-2 co s。，（WZLWOWTT）,4（2）设 P （p,0）,由题设及（1）知，若 由 2 co se=c os e=Y,得 e=3 _,4 2 6若由 2 s i ne=V5 fm s i nO=,得4 4 2 3 3若二 WBWTT,由-2COS8=号 COSO=-乂土，得。=旦 1 _,4 2 6综上户的极坐标为（M，）或 心 2L）或（声，空）或（如,I 2 L）.6 3 3 6【点评】本题主要考查极坐标方程的应用，结合极坐标过程公式求出对应点的极坐标方程是解决本题的关键.选修4-5：不等式选讲（10分）2 3.设 x,yf z G R,且 x+y+z=l.（1）求（%-1）2+（y+1）2+（z+1）2 的最小值；(2)若(x -2)2+(y-1)2+(z-)成立，证明：-3 或-1.3【考点】R6：不等式的证明.【分析】(1)运用柯西不等式可得(12+12+12)(%-1)2+(尹1)2+(z+1)2 (x-l+y+1+z+l)2=4,可得所求最小值；(2)运用柯西不等式求得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 的最小值，由题意可得上不大3于最小值，解不等式可得所求范围.【解答】解：(1)x,y,z G R,且 x+y+z=l,由柯西不等式可得(12+12+12)(x -1)2+(y+1)2+(z+l)2 (x-l+y+1+z+l)2=4,可 得(X-1)2+(y+1)2+(z+l)2&,3即 有(J C -1 )2+(y+1)2+(z+l)2 的最小值为旦；3(2)证明：由x+y+z=l,柯西不等式可得(12+12+12)(x -2)2+(y-1)2+(z-。)2 (x -2+y-1+z-。)2=(。+2)2,2可 得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 2 包冥_,32即有 G-2)2+(-1)2+(Z-4)2 的最小值为3由题意可得包222工，3 3解得-1 或-3.【点评】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题.