2021年北京顺义高三数学一模试卷及答案.pdf
2020北京顺义高三一模数 学考1.本试卷总分1 5 0 分，考试用时1 2 0 分钟。生2.本试卷共6页，分为选择题（40 分）和非选择题（1 1 0 分）两个部分。须3.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2 B 铅笔作答;第二知部分必须用黑色字迹的签字笔作答。4.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留。第一部分（选择题共40分）一、选择题共1 0 小题，每小题4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1 .已知集合A =x|3 x 2,B=3,2,0 ,那么4 n B =A.-2 B.0 C.-2,0 2 .在复平面内，复数:z =i（l +i）对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限3 .下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,+8）上为减函数的是A.y =x2 B.y =logix C.y=cosx24.抛物线y 2 =4%上的点与七焦点的距离的最小值为A.4 B.2 C.15 .若角Q的终边经过点P（l,-2）,则s i na的值为A.2 B.出5 5痘 n 275C.-U.-5 56.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A.6 B.8C.1 2 D.24D.-2,0,2 D.第四象限D.y =(|r正（主）视图 侧（左）视图俯视图第1页 共12页7.若a为任意角，则满足c os (a+k ：)=c os a的-一个k 值为A.2 B.4 C.6 D.88 .已知a,b,c C R,在下列条件中，使得a b成立的一个充分而不必要条件是a3 b3B.21-acD.Q2b29 .设 an 是各项均为正数的等比数列，S.为其前n项和，已知的“3 =1 6,S3 =1 4,若存在他使得的,a2,心。的乘积最大，则他的一个可能值是A.4 B.5 C.6 D.71 0 .已知函数f(x)=,若实数m G 一 2,0 ,则|/(x)-/(一1)|在区间 m,m +2 上的最大值的取值范I X LX,%N U围是A.1,4B.2,4C.1,3 D.1,2 第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共 2 5 分。1 1 .已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若 a 1 b,则实数 m =；1 2 .设 an 是等差数列，且的=2,。2 +。4=8,则。“的通项公式为,1 3 .若将函数丫=$2 的图象向左平移g个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为_,61 4.若直线/:y =x +a将圆C：/+y2=i 的圆周分成长度之比为1：3 的两段弧，则实数a 的所有可能取值是一1 5 .曲线C 是平面内到定点F(|,0)和定直线，:x =|的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线C 关于y 轴对称；若点P Q,y)在曲线C 上，则y 满足|y|4;若点尸(x,y)在曲线C 上，则1 PF b 0）的焦距和长半轴长都为2,过椭圆C的右焦点尸作斜率为k（k丰0）的直线1与椭圆C相交于P,Q两点。（I）求椭圆C的方程；（I I）设点4是椭圆C的左顶点，直线4 P,A Q分别与直线x =4相交于点M,N。求证：以MN为直径的圆恒过点F。21 .（本小题1 4分）给定数列的,a 2,。“.对2 =1,2,n -1,该数列前i项,干的最小值为4“后-i项%+1，见+2,即 的最大值记为与，令 山=金 一 A”（I）设数列 即 为2,1,6,3,写出心,d2,心的值；（I I）设出,。2,2 4）是等比数列，公比0 q 0,证明d i，d 2,d n-1是等比数列；（I I I）设盛,弓2,%t是公差大于0的等差数列，且%0,证明%,。2,是等差数列。第5页 共12页2020北京顺义高三一模数学参考答案一、选 择 题(共1 0题，每题4分，共4 0分)(1)C(2)B(3)A (4)C(5)D(6)B(7)D(8)B(9)A (1 0)D二、填 空 题(共5题，每 题5分，共2 5分)(1 1)2(1 2)an=n +l,n G N*(1 3)y=sin(2x+(1 4)a=l(1 5)注：第1 4题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得0分；第1 5题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。三、解 答 题(共6题，共8 5分)(1 6)(共 1 4 分)解：选：在A A 8 C中，cosC=i,根据余弦定理 2=a2+b2-2abcosC-2分且a +b =5,c=3,得到9=25 2必一言-6 分：.sinC-1 2 分所以三角形A A BC的面积是SA.BC=：absinC=2a-1 4分选在A A BC中，cosC=-|当co s C=土时，根据余弦定理 2=a2+b2-2abcosC-2分又Q+b =5,c=3,得到a b =1 2-8 分第6页 共12页此时方程组 彳;）;?,无解12分所以这样的三角形不存在-14分选：在A4BC中，因为sinC=手，所以cosC=5-2 分当cosC=时，根据余弦定理c?=a2+62-2abcosC-4 分且a+b=5,c=3,得到9=2 5-2ab-等-6 分所以ab=6-8 分所以解得或-1。分所以三角形A48c的面积是SAABC=|absinC=22-12分当cosC=-3时,根据余弦定理c?=a2+h2-2abcosC又Q+6=5/c=3,得至Uab=12此时方程组 胱）誉 无解所以这样的三角形不存在-14分法二：在AABC中，因为a2+b 2 2 管 21=弓 2,根据余弦定理cosC=a+：C，得到cosC 0-2 分2ab因为sEC=誓，所以cosC=1-4 分根据余弦定理c?=a2+b2-2abcosC-6 分和a+b=5,c=3,得至ijab=6-10 分所以解得 MNC-分所以三角形2MBe的面积是SAABC=absinC=2 a-14分1 7.（共 14 份）解：（I）取BD中点0,联结40,G。：.BD LAO,BD 1 的0-2 分第 7 页 共 12页又：A0,GO u 平面4 G o._ L 平面AC1。-4 分又u 平面aCiO.:BD 1 ACj.-5 分(ID .二面角A-B D-G 是直二面角/Q 0 4 =90：.0 A.AOOA,OB,0 c l两两垂直-6 分.以。为原点，如图建系：A 0(0,0,0),4(1,0,0),8(0,1,0),0(0,-1,0),Ci(0,0,1)又E,F为中点.(0*，3，尸(右0).,.而=&H)，朝=(*)-8 分设五=(%,y,z)是平面OEF的一个法向量DF-n=-x +y+-Z=02 2DE.五=|y +1z=0令 y=1 得z=3,x=1 n=(1 4,-3)-11 分又OG J_平面AB。，平面/B D 的一个法向 量 西 =(0,0,1)-13分cos 五西Inl iocj 3 v li11平面DEF与平面4BD所成的锐二面角余弦值为等-14分1 8.(本题15分)解：(I)根据甲班的统计数据可知:甲班每天学习时间在5 小时以上的学生频率为0.5+0.25+0.05=0.8-2 分所以，估计高三年级每天学习时间达到5 小时以上的学生人数为600 x 0.8=480人-4 分(I I)甲班级自主学习时长不足4 小时的人数为：40X 0.05=2人乙班级自主学习时长不足4 小时的人数为：40 x 0.1=4人人-6 分X的可能值为：0,1,2第8页 共12页P(X=0)=1,P(x=1)=|,P(x=2)=1-9 分分布列为：；.X 的数学期望为E(x)=0 x|+1 x|+2 x 1=1-12 分X012P153515(I I I)D 申 0-6分即a W?恒成立，等价于。(分.-7分设 g(x)=,则 g(x)=-8 分令 g(x)=o 得%=1当 6 (0,1)时,“(%)0,g(x)在(1,+8)上单调递增；所以函数9(%)的最小值为以1)=：-11分所以a G (-8,1 12 分方法二：/(x)=ex-2ax若/(%)=靖 一%2 在(o,+8)上单调递增，则对任意 E (0,+8),都有尸(之0)-6分等价于(f(%)m 讥 0第9页 共12页设h(%)=ex 2axy(%)=ex 2a当 6 (0,+8)时,ex 1-7 分分类讨论：当2a W L即a q时，2 0 恒成立，所以九(%)=ex-2 a%在 G (0,4-oo)上单调递增，那么九(%)九(0)=1,所以时，满 足(%)N O-8分当2Q 1,即Q 凯寸，令九(%)=ex-2 a=0/得x=ln2a当 E(0,加2 a)时,h!x)0,九(%)在 G (伍2 a,+8)上单调递增；所以函数h(x)的最小值为h Qn 2 a)=2 a(l-/n 2 a)-10 分由2 a(1-Z n 2 a)0 解得a 所以!a|-11 分综上：a G (8,|12 分(I I I)2 个-14 分2 0.(本题14 份)2 c=2(I)由题意得 a=2 解得a=2,b=1-3分a2=h2 4-c2故椭圆C 的方程为。+4=1-5 分4 3(11)尸(1,0),4(-2,0),直线1的方程为、=fc(x-1)-6 分由了2=上(；得(3 +4/c2)x2-8 k2x+4 e 12 =0直线，过椭圆C 的焦点，显然直线/椭圆C 相交设P(X l，%),Q(%2，y 2)，则与+%2 =黑1，/2 =当 青-8 分直线4 P 的方程为y =毋。+2),令x=4,得y”=簧;即M(4,黑)同理：N(4,詈)-10 分 府=G景)，而=G，翳)第10页 共12页又 丽.两=9 +36yly2 _(X1+2)(X2+2)1 1分c 3 6/c(xx-1)-fc(x2-1)c,3 6 k 2区&-3+尤2)+1y -=y H-(X 1+2)(小+2)xTx2+2(X +&)+4?0,公比0 V q 0对1 Bi+1所以4+i =Bi+1 di+1 B i-di+1=Bi-di-d Bi 山=At,即4+i At-11 分又因为A+i =m i n i 4 i，ai+1),所以一+1=Al+1 At a,所以%ar a2 斯-i因此的,=B所以占=B2=Bn_i=an.at=At=dt=an-dt第11页 共12页因此对 i =1,2,n 2 都有七+1-a；=dj=di+1 d,即a i g,t 是等差数列-14分第12页 共12页
